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4.1　二项式定理的推导
4.2　二项式系数的性质
　　　　　　 　　　　　 　　　　　 基础巩固
1.(2a+b)5的展开式的第3项是(　　)
A.23 B.23a3b2
C.23 D.23a2b3
【解析】 B　由二项展开式的通项公式得T2+1=(2a)3b2=23a3b2.故选B.
2.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(　　)
A.x4 B.(x-1)4
C.(x+1)4 D.x4-1
【解析】 A　(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=(x+1)4+(x+1)3×(-1)+(x+1)2×(-1)2+
(x+1)×(-1)3+(-1)4=[(x+1)-1]4=x4.故选A.
3.(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0-a1+a2-a3+a4等于(　　)
A.1 B.3 C.0 D.-3
【解析】 C　令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=(1-1)4=0.故选C.
4.(1-x2)(x-)6的展开式中,含x2的项的系数是(　　)
A.-20 B.5 C.15 D.35
【解析】 D　二项式(x-)6的展开式的通项Tk+1=x6-k(-)k=(-1)kx6-2k,
则含x2的项的系数为1·(-1)2-1··(-1)3=35.故选D.
5.“杨辉三角”是我国古代数学文化的瑰宝之一,在数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中记载.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如图),记第2行的第3个数为a1,第3行的第3个数为a2,…,第n(n≥2)行的第3个数为an-1,则a1+a2+a3+…+a9等于(　　)
A.165 B.180 C.220 D.236
【解析】 A　由题意得,a1=,a2=,a3=,…,a9=,
则a1+a2+a3+…+a9=+++…+==165.故选A.
6.在(x2-)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式中的常数项是(　　)
A.-15 B.-20
C.15 D.20
【解析】 C　因为只有第4项的二项式系数最大,得n=6,所以(x2-)n的展开式的通项为Tk+1=(x2)6-k·(-)k=(-1)kx12-3k.令12-3k=0,得k=4,所以展开式中的常数项是(-1)4=15.
故选C.
7.在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9展开式中,含x2项的系数是　　　　.
【答案】 120
【解析】 因为(1+x)n展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤n且r∈N),
所以(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中,含x2项的系数是+++…+=+++…+=++…+=+…+=…=+==120.
8.化简:42n×+42n-2×+42n-4×+…+42×=　　　　.
【答案】 17n-1
【解析】 因为(42+1)n=×(42)n-0×10+×(42)n-1×11+×(42)n-2×12+…+×(42)1×1n-1+
×(42)0×1n=×42n+×42n-2+×42n-4+…+×42+=×16n+×16n-1+×16n-2+…+
×16+×160=(16+1)n=17n,
所以42n×+42n-2×+42n-4×+…+42×=17n-1.
9.用二项式定理展开:
(1)(a+)9;
(2)(-)7.
【解】 (1)(a+)9=a9+9a8+36a7+84a6b+126a5b+126a4b+84a3b2+36a2b2+9ab2+b3.
(2)(-)7=-+-+70-168+224-128.
10.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并对其求解.条件①:前三项的二项式系数之和为16;条件②:第三项与第四项的二项式系数相等;条件③:所有项的系数之和为1 024.
在(+3x2)n的展开式中,已知　　　　　.(填序号)
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
【解】 (1)选条件①:前三项的二项式系数之和为++=16,即1+n+=16,
化简得n2+n-30=0,解得n=5或n=-6(舍去),故n=5.
选条件②:因为第三项与第四项的二项式系数相等,所以=,即=,n≥3,n∈N+,化简得1=,解得n=5.
选条件③:令x=1,有4n=1 024,解得n=5.
(2)(+3x2)5的二项展开式通项为Tr+1=·(3x2)r=3r·,
所以当r=2,5时为有理项,对应的项分别为
T3=32x6=90x6,T6=35x10=243x10,
故展开式中的有理项为90x6与243x10.
能力提升
11.(多选)对于(x2-)6的展开式,下列说法正确的是(　　)
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为64
C.常数项为1 215
D.系数最大的项为第3项
【解析】 ABC　(x2-)6的展开式中所有项的二项式系数和为26=64,A正确;
在(x2-)6中,令x=1,得(1-3)6=64,B正确;
展开式的通项为Tk+1=(x2)6-k(-)k=(-3)kx12-3k(0≤k≤6,k∈N),
令12-3k=0,得k=4,所以常数项为(-3)4×=1 215,C正确;
由C的分析可知第2,4,6项系数为负值,第1项系数为1,第3项系数为(-3)2×=135,第5项系数为(-3)4×=1 215,第7项系数为(-3)6×=729,则系数最大的项为第5项,D不正确.
故选ABC.
12.(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
【解析】 C　法一　(x2+x+y)5的展开式的通项为Tr+1=(x2+x)5-r·yr,令r=2,则T3=(x2+x)3y2,又因为(x2+x)3的展开式的通项为Tk+1=(x2)3-k·xk=x6-k,令6-k=5,则k=1,所以(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为=30.故选C.
法二　运用组合的观点,(x2+x+y)5看成5个因式(x2+x+y)相乘,x5y2的系数是5个因式中的2个x2,1个x,2个y相乘后的系数,即=30.故选C.
13.已知f(x)=(+3x2)n的展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
【解】 令x=1,则展开式中各项的系数之和为 f(1)=(1+3)n=4n,
又展开式中各项的二项式系数之和为2n,
由题意知,4n-2n=992,
所以(2n)2-2n-992=0,
所以(2n+31)(2n-32)=0,
所以2n=-31(负值舍去)或2n=32,所以n=5.
(1)由于n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=()3·(3x2)2=90x6,
T4=()2·(3x2)3=270.
(2)展开式的通项为Tk+1=·3k·,
假设Tk+1项系数最大,则
所以
即所以≤k≤,
因为k∈N,所以k=4,所以展开式中系数最大的项为T5=(3x2)4=405.
应用创新
14.在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中,含x的项的系数是(　　)
A.120 B.240 C.274 D.282
【解析】 C　在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中含x的项即从5个因式中取4个常数,
1个x,所以含x的项为2×3×4×5x+1×3×4×5x+1×2×4×5x+1×2×3×5x+1×2×3×4x=274x,
所以含x的项的系数是274.故选C.4.1　二项式定理的推导
4.2　二项式系数的性质
　　　　　　 　　　　　 　　　　　 基础巩固
1.(2a+b)5的展开式的第3项是(　　)
A.23 B.23a3b2
C.23 D.23a2b3
2.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为(　　)
A.x4 B.(x-1)4
C.(x+1)4 D.x4-1
3.(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0-a1+a2-a3+a4等于(　　)
A.1 B.3 C.0 D.-3
4.(1-x2)(x-)6的展开式中,含x2的项的系数是(　　)
A.-20 B.5 C.15 D.35
5.“杨辉三角”是我国古代数学文化的瑰宝之一,在数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中记载.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如图),记第2行的第3个数为a1,第3行的第3个数为a2,…,第n(n≥2)行的第3个数为an-1,则a1+a2+a3+…+a9等于(　　)
A.165 B.180 C.220 D.236
6.在(x2-)n的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式中的常数项是(　　)
A.-15 B.-20
C.15 D.20
7.在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9展开式中,含x2项的系数是　　　　.
8.化简:42n×+42n-2×+42n-4×+…+42×=　　　　.
9.用二项式定理展开:
(1)(a+)9;
(2)(-)7.
10.在下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并对其求解.条件①:前三项的二项式系数之和为16;条件②:第三项与第四项的二项式系数相等;条件③:所有项的系数之和为1 024.
在(+3x2)n的展开式中,已知　　　　　.(填序号)
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
能力提升
11.(多选)对于(x2-)6的展开式,下列说法正确的是(　　)
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为64
C.常数项为1 215
D.系数最大的项为第3项
12.(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
13.已知f(x)=(+3x2)n的展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
应用创新
14.在(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)的展开式中,含x的项的系数是(　　)
A.120 B.240 C.274 D.282

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