资源简介

1.1　直线拟合
1.2　一元线性回归方程
基础巩固
1.(多选)下列散点图中,变量X,Y可用直线拟合的是(　　)
A B
C D
2.某工厂为研究某种产品产量X(单位:t)与所需某种原材料Y(单位:t)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据如下表所示:
X 3 4 6 7
Y 2.5 3 4 m
根据表中数据,得出Y关于X的线性回归方程为Y=0.7X+0.25,则表中m的值为(　　)
A.4.5 B.5 C.5.25 D.5.5
3.下表是关于某设备的使用年限X(X∈N+)(单位:年)和所支出的维修费用Y(单位:万元)的
统计表:
X/年 2 3 4 5 6
Y/万元 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8
由上表可得线性回归方程Y=0.81X+,若规定:维修费用Y不能超过10万元,一旦大于10万元时,该设备必须报废.据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为(　　)
A.11年 B.8年 C.9年 D.10年
4.已知X与Y之间的几组数据如下表:
X 1 2 3 4 5 6
Y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归方程为Y=X+,某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则下列结论正确的是(参考公式:=,=-) (　　)
A.>b′,>a′ B.>b′,C.a′ D.5.已知X,Y的取值如下表,由散点图知,X,Y线性相关,且Y=X+0.7,则下列说法正确的是(　　)
X 1 2 3 4
Y 1.4 1.8 2.4 3.2
A.回归直线一定过点(2.2,2.2)
B.X每增加1个单位,Y就增加1个单位
C.当X=6时,Y的估计值为4.3
D.X每增加1个单位,Y就增加0.7个单位
6.已知数据(x,y)的三对观测值为(1,3),(3,5),(5,4),用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度,则效果最好的是(　　)
A.Y=X+ B.Y=X+
C.Y=X+3 D.Y=X+
7.由最小二乘法得到5组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)的线性回归方程为Y=2X+3,若xi=25,则 yi=　　　　.
8.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720,则家庭的月储蓄Y对月收入X的线性回归方程为　　　　　　　.
9.某社区在健身广场举办生活垃圾分类大型宣传活动,号召一部分垃圾分类志愿者用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量.某垃圾站的日垃圾分拣量Y(单位:kg)与垃圾分类志愿者人数X(单位:人)的数据统计如下表:
垃圾分类志愿者 人数X/人 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量Y/kg 25 30 40 45 60
根据散点图(题中未画出),发现日垃圾分拣量Y与垃圾分类志愿者人数X有线性相关关系.
(1)求线性回归方程Y=X+;
(2)试预测日垃圾分拣量为80 kg时,需要的垃圾分类志愿者人数.
参考公式:=,=-.
10.已知两个变量Y与X线性相关,某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次试验,得到10个样本点.研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点,剩余的8个样本点(xi,yi)
(i=1,2,3,…,8)满足xi=32,yi=132,根据这8个样本点求得的线性回归方程为Y=3X+(其中∈R).后为稳妥起见,研究小组又增加了2次试验,得到2个偏差较小的样本点(2,11),(6,22),根据这10个样本点重新求得线性回归方程为Y=X+(其中,∈R).
(1)求的值;
(2)证明回归直线Y=X+ 经过点(4,16.5),并指出与3的大小关系.
参考公式:线性回归方程Y=X+,其中=,=-.
能力提升
11.某学习小组用计算机软件对8对数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)进行回归分析,甲同学首先求出线性回归方程Y=2X+5,样本点的中心为(2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查,发现甲将数据(3,7)误输成(7,3),数据(4,6)误输成(4,-6),将这两个数据改正后得到线性回归方程Y=X+,则实数等于(　　)
A.-6 B.- C. D.
12.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到下表数据:
日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日
温差 10 11 13 12 8
发芽数/颗 23 26 32 26 16
根据表中12月2日至12月4日的数据,求得线性回归方程Y=X+中的 =3,则为　　　　,若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,则求得的线性回归方程　　　　(填“可靠”或“不可靠”).
13.经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数X(0使用年数X 2 4 6 8 10
销售价格Y 16 13 9.5 7 4.5
(1)试求Y关于X的线性回归方程;
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格W(单位:万元)与使用年数X(0附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.
应用创新
14.用模型y=aekx拟合10组数(xi,yi)(i=1,2,…,10),若x1+x2+…+x10=10,y1y2…y10=e70,设z=ln y,得变换后的线性回归方程为Z=X+4,则ak等于(　　)
A.12 B.3e4 C.4e3 D.71.1　直线拟合
1.2　一元线性回归方程
基础巩固
1.(多选)下列散点图中,变量X,Y可用直线拟合的是(　　)
A B
C D
【解析】 AB　由题可知A,B中的点落在一条直线附近,故其变量X,Y近似呈线性关系;C,D中的点没有落在一条直线附近,故其变量X,Y不具有近似的线性关系.故选AB.
2.某工厂为研究某种产品产量X(单位:t)与所需某种原材料Y(单位:t)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据如下表所示:
X 3 4 6 7
Y 2.5 3 4 m
根据表中数据,得出Y关于X的线性回归方程为Y=0.7X+0.25,则表中m的值为(　　)
A.4.5 B.5 C.5.25 D.5.5
【解析】 D　由表格数据可得 =×(3+4+6+7)=5,=×(2.5+3+4+m),
由回归直线必过点(,),
将=5代入可得 =0.7×5+0.25=3.75,
所以×(2.5+3+4+m)=3.75,
解得m=5.5.
故选D.
3.下表是关于某设备的使用年限X(X∈N+)(单位:年)和所支出的维修费用Y(单位:万元)的
统计表:
X/年 2 3 4 5 6
Y/万元 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8
由上表可得线性回归方程Y=0.81X+,若规定:维修费用Y不能超过10万元,一旦大于10万元时,该设备必须报废.据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为(　　)
A.11年 B.8年 C.9年 D.10年
【解析】 D　由已知表格,得=×(2+3+4+5+6)=4,=×(3.4+4.2+5.1+5.5+6.8)=5,因为回归直线恒过点(,),所以5=0.81×4+,解得=1.76,所以线性回归方程为Y=0.81X+1.76,由Y≤10,得0.81X+1.76≤10,解得X≤≈10.17,由于X∈N+,所以据此模型预测,该设备使用年限的最大值约为10年.故选D.
4.已知X与Y之间的几组数据如下表:
X 1 2 3 4 5 6
Y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归方程为Y=X+,某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=b′x+a′,则下列结论正确的是(参考公式:=,=-) (　　)
A.>b′,>a′ B.>b′,C.a′ D.【解析】 C　由题意得b′==2,a′=0-2×1=-2,
xiyi=0+4+3+12+15+24=58,=3.5,=,=1+4+9+16+25+36=91,所以==,
=-×3.5=-,所以a′.故选C.
5.已知X,Y的取值如下表,由散点图知,X,Y线性相关,且Y=X+0.7,则下列说法正确的是(　　)
X 1 2 3 4
Y 1.4 1.8 2.4 3.2
A.回归直线一定过点(2.2,2.2)
B.X每增加1个单位,Y就增加1个单位
C.当X=6时,Y的估计值为4.3
D.X每增加1个单位,Y就增加0.7个单位
【解析】 C　由已知得,==2.5,
==2.2,故A错误;
由回归直线Y=X+0.7恒过样本中心点(2.5,2.2),得2.2=×2.5+0.7,解得=0.6.所以线性回归方程为Y=0.6X+0.7.
X每增加1个单位,Y就平均增加0.6个单位,故B,D错误;
当X=6时,Y的估计值为4.3,故C正确.故选C.
6.已知数据(x,y)的三对观测值为(1,3),(3,5),(5,4),用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度,则效果最好的是(　　)
A.Y=X+ B.Y=X+
C.Y=X+3 D.Y=X+
【解析】 A　当拟合直线为Y=X+时,预测值与实际观测值的偏差的平方和为S1=(-3) 2+
(4-5)2+(-4)2=.
当拟合直线为Y=X+时,预测值与实际观测值的偏差的平方和为S2=(-3)2+(3-5)2+(-4)2=.
当拟合直线为Y=X+3时,预测值与实际观测值的偏差的平方和为S3=(-3)2+(4-5)2+
(-4)2=.
当拟合直线为Y=X+时,预测值与实际观测值的偏差的平方和为S4=(3-3)2+(4-5)2+(5-4)2=2.故S1最小,即效果最好的是Y=X+.故选A.
7.由最小二乘法得到5组数据(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)的线性回归方程为Y=2X+3,若xi=25,则 yi=　　　　.
【答案】 65
【解析】 由xi=25可知,==5,
又回归直线Y=2X+3过点(,),
所以=2×5+3=13,故yi=5=5×13=65.
8.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720,则家庭的月储蓄Y对月收入X的线性回归方程为　　　　　　　.
【答案】 Y=0.3X-0.4
【解析】 由题意知n=10,=xi==8,
=yi==2,
又-10=720-10×82=80,xiyi-10 =184-10×8×2=24,
由此得==0.3,=-=2-0.3×8=-0.4,故所求线性回归方程为Y=0.3X-0.4.
9.某社区在健身广场举办生活垃圾分类大型宣传活动,号召一部分垃圾分类志愿者用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量.某垃圾站的日垃圾分拣量Y(单位:kg)与垃圾分类志愿者人数X(单位:人)的数据统计如下表:
垃圾分类志愿者 人数X/人 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量Y/kg 25 30 40 45 60
根据散点图(题中未画出),发现日垃圾分拣量Y与垃圾分类志愿者人数X有线性相关关系.
(1)求线性回归方程Y=X+;
(2)试预测日垃圾分拣量为80 kg时,需要的垃圾分类志愿者人数.
参考公式:=,=-.
【解】 (1)==4,
==40,
(xi-)(yi-)=(2-4)×(25-40)+(3-4)×(30-40)+(4-4)×(40-40)+(5-4)×(45-40)+(6-4)×(60-40)=85,
(xi-)2=(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2=10,
所以===8.5,
=-=40-8.5×4=6.
所以线性回归方程是Y=8.5X+6.
(2)当Y=80时,80=8.5X+6,解得X≈9.
所以需要的垃圾分类志愿者人数约为9.
10.已知两个变量Y与X线性相关,某研究小组为得到其具体的线性关系进行了10次试验,得到10个样本点.研究小组去掉了明显偏差较大的2个样本点,剩余的8个样本点(xi,yi)
(i=1,2,3,…,8)满足xi=32,yi=132,根据这8个样本点求得的线性回归方程为Y=3X+(其中∈R).后为稳妥起见,研究小组又增加了2次试验,得到2个偏差较小的样本点(2,11),(6,22),根据这10个样本点重新求得线性回归方程为Y=X+(其中,∈R).
(1)求的值;
(2)证明回归直线Y=X+ 经过点(4,16.5),并指出与3的大小关系.
参考公式:线性回归方程Y=X+,其中=,=-.
(1)【解】 这8个样本点横坐标的平均数为
=xi=×32=4,
纵坐标的平均数为=yi=×132=16.5,回归直线Y=3X+经过点(,),
则=-3=16.5-3×4=4.5.
(2)【证明】 样本点(2,11),(6,22)分别记为(x9,y9),(x10,y10),
所以这10个样本点横坐标的平均数为
′=xi=(x9+x10+xi) =×(2+6+32)=4,
纵坐标的平均数为′=yi=(y9+y10+yi) =×(11+22+132)=16.5.
根据线性回归方程系数公式得,=′-′=16.5-4,故回归直线Y=X+ 过点(4,16.5).
根据8个样本点的线性回归方程,可得
3=,
可知=<3,故<3.
能力提升
11.某学习小组用计算机软件对8对数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)进行回归分析,甲同学首先求出线性回归方程Y=2X+5,样本点的中心为(2,m).乙同学对甲的计算过程进行检查,发现甲将数据(3,7)误输成(7,3),数据(4,6)误输成(4,-6),将这两个数据改正后得到线性回归方程Y=X+,则实数等于(　　)
A.-6 B.- C. D.
【解析】 D　样本点的中心为(2,m),将其代入Y=2X+5,可得m=2×2+5=9,假设甲输入的(x1,y1)为(7,3),(x2,y2)为(4,-6),则7+4+x3+x4+…+x8=2×8=16,3-6+y3+y4+…+y8=9×8=72,得x3+x4+…+
x8=5,y3+y4+…+y8=75,改为正确数据后,得3+4+x3+x4+…+x8=12,7+6+y3+y4+…+y8=88,此时样本点的中心为(,11),将其代入Y=X+,可得=11-×=.故选D.
12.某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到下表数据:
日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日
温差 10 11 13 12 8
发芽数/颗 23 26 32 26 16
根据表中12月2日至12月4日的数据,求得线性回归方程Y=X+中的 =3,则为　　　　,若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,则求得的线性回归方程　　　　(填“可靠”或“不可靠”).
【答案】 -8　不可靠
【解析】 由题得 ==12,
==28,
所以样本中心点为(12,28),
所以28=3×12+,所以=-8.
所以Y=3X-8.
12月4日的估计值为Y=3×12-8=28,28-26=2,超过1.
所以求得的线性回归方程不可靠.
13.经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数X(0使用年数X 2 4 6 8 10
销售价格Y 16 13 9.5 7 4.5
(1)试求Y关于X的线性回归方程;
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格W(单位:万元)与使用年数X(0附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.
【解】 (1)由表格可知,==6,==10,
由最小二乘法得==-1.45,
=-=10-(-1.45)×6=18.7,
所以Y关于X的线性回归方程为Y=-1.45X+18.7.
(2)据(1)中所求的线性回归方程Y=-1.45X+18.7可知,
Z=Y-W=
由二次函数的性质可知,Z=-0.05X2+0.3X+1.5=-0.05(X-3)2+1.95,0由一次函数的性质可知,Z=0.05X+1,6综上,显然X=3时,Zmax=1.95.
所以预测X=3时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润Z最大.
应用创新
14.用模型y=aekx拟合10组数(xi,yi)(i=1,2,…,10),若x1+x2+…+x10=10,y1y2…y10=e70,设z=ln y,得变换后的线性回归方程为Z=X+4,则ak等于(　　)
A.12 B.3e4 C.4e3 D.7
【解析】 B　由已知,x1+x2+…+x10=10,所以==1,y1y2…y10=e70,z=ln y,所以=====7,由题意(,)满足线性回归方程Z=X+4,所以7=·1+4,所以=3,此时线性回归方程为Z=3X+4,即ln Y=3X+4,可将此式化为指数形式Y=e3X+4,即Y=e4·e3X,因为模型为y=aekx,所以a=e4,k=3,所以ak=3e4.故选B.

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