资源简介

2.1　相关系数
2.2　成对数据的线性相关性分析
基础巩固
1.对两个变量的线性相关系数r,下列说法正确的是(　　)
A.|r|越大,相关程度越弱
B.|r|越小,相关程度越强
C.|r|接近0,没有非线性相关关系
D.|r|越接近1,线性相关程度越强
【解析】 D　根据题意,两个变量之间的线性相关系数r的绝对值越接近1,表明两个变量之间的线性相关程度越强,r的绝对值越接近0,表明两个变量之间的线性相关程度越弱.故选D.
2.甲、乙、丙、丁四名同学各自对X,Y两随机变量的线性相关性进行试验,分别求得样本相关系数r,如下表:
项目 甲 乙 丙 丁
r 0.20 -0.95 -0.12 0.85
则试验结果中X,Y两随机变量有最强线性相关性的是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】 B　由已知,乙同学的样本相关系数的绝对值为 |r|=0.95,是四人中绝对值最大的,因此试验结果中X,Y两随机变量有最强线性相关性的是乙.故选B.
3.变量X与Y相对应的5对数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的5对数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).记r1为变量X与Y之间的样本相关系数,r2为变量U与V之间的样本相关系数,则(　　)
A.r2C.0【解析】 B　由变量X与Y的对应数据可得变量X与Y之间呈正相关,因此r1>0;由变量U与V的对应数据可得变量U与V之间呈负相关,因此 r2<0.故r2<04.四名同学根据各自的样本数据研究变量X,Y之间的相关关系,并求得线性回归方程,分别得到以下四个结论:
①Y与X负相关且Y=2.347X-6.423;
②Y与X负相关且Y=-3.476X+5.648;
③Y与X正相关且Y=5.437X+8.493;
④Y与X正相关且Y=-4.326X-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】 D　若Y与X负相关,则Y=X+中<0,故①不正确,②正确;若Y与X正相关,则Y=X+中>0,故③正确,④不正确.故选D.
5.在n组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-x+2上,则n组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.-1 B.0 C.- D.1
【解析】 A　根据线性回归方程是Y=-X+2,可得这两个变量呈负相关,故这n组样本数据的样本相关系数为负值,且所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线上,则|r|=1,所以样本相关系数r=-1.故选A.
6.(多选)某同学将收集到的六组数据制成散点图如图所示,并得到其回归直线l1的方程为Y=0.68X+,其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直线l2的方程为Y=X+0.68,其相关系数为r2,下列说法正确的是(　　)
A.r1>0,r2>0　 B.r1>r2
C.=0.12 D.0<<0.68
【解析】 ACD　由题图可知两变量呈正相关,故r1>0,r2>0,且r17.下列命题:
①回归直线必过样本数据的中心点(,);
②若两个变量的相关性越强,则样本相关系数r就越接近1;
③当样本相关系数r>0时,两个变量正相关.
其中正确的命题有　　　　.(填序号)
【答案】 ①③
【解析】 回归直线必过样本数据的中心点(,),①正确;
若两个变量的相关性越强,则样本相关系数r的绝对值就越接近1,②不正确;
当样本相关系数r>0时,两个变量正相关,③正确.
8.某个样本的两个变量X与Y的7组数据如下表所示:
X -5 -4 -3 0 3 4 5
Y 0 3 4 5 4 3 0
样本相关系数为　　　　.
【答案】 0
【解析】 显然xiyi=0,=0,
所以r==0.
9.某人的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄X/岁 1 2 3 4 5 6
身高Y/cm 78 87 98 108 115 120
(1)画出散点图;
(2)判断Y与X是否具有线性相关关系.
【解】 (1)散点图如图所示.
(2)由图知,所有数据点在一条直线附近,因此,认为身高与年龄有线性相关关系.
10.如图所示是某地区连续7年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
由折线图看出,可用线性回归模型拟合Y与T的关系,请求出相关系数r,并用相关系数的大小说明Y与T相关性的强弱.
参考数据:yi=10.97,tiyi=47.36,
=0.664,≈2.646.
参考公式:相关系数
r=
=.
【解】 由折线图中数据和参考数据得=4,
(ti-)2=28,=0.664,(ti-)(yi-)=tiyi-yi=47.36-4×10.97=3.48,所以r≈≈0.99.因为Y与T的相关系数近似为0.99,所以Y与T的线性相关程度很强.
能力提升
11.(多选)某村因地制宜,优化产业结构,使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2021年,2022年,2024年,2025年这4年的人均年纯收入Y(单位:万元)与年份代号X之间的一组数据如下表所示:
年份 2021 2022 2024 2025
年份代号X 4 5 7 8
人均年纯收入Y 2.1 m n 5.9
若Y与X线性相关,且求得其线性回归方程为Y=X-2,则下列说法错误的是(　　)
A.人均年纯收入Y(单位:万元)与年份代号X负相关
B.m+n=8
C.从2021年起,每经过1年,村民人均年纯收入约增加1万元
D.2029年A村人均年纯收入约为11万元
【解析】 AD　由回归直线的斜率为1,得人均年纯收入Y(单位:万元)与年份代号X正相关,A错误;
因为==6,所以=6-2=4,于是得2.1+m+n+5.9=4×4,解得m+n=8,B正确;
由于X每增加1,Y约增加1,可知每经过1年,村民人均年纯收入约增加1万元,C正确;
2029年的年份代号为12,故Y=12-2=10,故2029年A村人均年纯收入约为10万元,D错误.故选AD.
12.已知(yi-)2是(xi-)2的4倍,(xi-)(yi-)是(xi-)2的1.5倍,则样本相关系数r的值为　　　　.
附:r=.
【答案】
【解析】 由r=,
得r=.
13.根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量(注:1亩≈666.7平方米)的增加量Y(单位:百千克)与某种液体肥料每亩使用量X(单位:千克)之间对应数据的散点图,如图所示.
(1)请从样本相关系数r(精确到0.01)的角度分析,能否用线性回归模型拟合Y与X的关系(若 |r|≥0.75,则线性相关程度很强,可用线性回归模型拟合);
(2)建立Y关于X的线性回归方程,并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时,该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克.
附:对于n组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线Y=X+的斜率和截距的最小二乘估计分别为样本相关系数
r=.≈3.16.
【解】 (1)由已知数据可得==5,
==4,
所以(xi-)(yi-)=(-3)×(-1)+(-1)×0+0×0+1×0+3×1=6,
==2,
== ,
样本相关系数r===≈0.95>0.75.
所以线性相关程度很强,能用线性回归模型拟合Y与X的关系.
(2)由于===0.3,
=-=4-0.3×5=2.5,所以Y关于X的线性回归方程为Y=0.3X+2.5.
当X=9时,Y=0.3×9+2.5=5.2,所以该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为5.2百千克.
应用创新
14.高三年级267名学生参加期末考试,某班37名学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的名次情况如图所示,甲、乙、丙为该班三名学生.从这次考试成绩看:
(1)在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　　　　;
(2)在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是　　　　.
【答案】 (1)乙　(2)数学
【解析】 (1)在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙.
(2)两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.第二个图看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在年级倒数第5.在左边的图中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大”,即数学的成绩名次更靠前.2.1　相关系数
2.2　成对数据的线性相关性分析
基础巩固
1.对两个变量的线性相关系数r,下列说法正确的是(　　)
A.|r|越大,相关程度越弱
B.|r|越小,相关程度越强
C.|r|接近0,没有非线性相关关系
D.|r|越接近1,线性相关程度越强
2.甲、乙、丙、丁四名同学各自对X,Y两随机变量的线性相关性进行试验,分别求得样本相关系数r,如下表:
项目 甲 乙 丙 丁
r 0.20 -0.95 -0.12 0.85
则试验结果中X,Y两随机变量有最强线性相关性的是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.变量X与Y相对应的5对数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的5对数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).记r1为变量X与Y之间的样本相关系数,r2为变量U与V之间的样本相关系数,则(　　)
A.r2C.04.四名同学根据各自的样本数据研究变量X,Y之间的相关关系,并求得线性回归方程,分别得到以下四个结论:
①Y与X负相关且Y=2.347X-6.423;
②Y与X负相关且Y=-3.476X+5.648;
③Y与X正相关且Y=5.437X+8.493;
④Y与X正相关且Y=-4.326X-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
5.在n组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=-x+2上,则n组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.-1 B.0 C.- D.1
6.(多选)某同学将收集到的六组数据制成散点图如图所示,并得到其回归直线l1的方程为Y=0.68X+,其相关系数为r1.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的5组数据计算得到回归直线l2的方程为Y=X+0.68,其相关系数为r2,下列说法正确的是(　　)
A.r1>0,r2>0　 B.r1>r2
C.=0.12 D.0<<0.68
7.下列命题:
①回归直线必过样本数据的中心点(,);
②若两个变量的相关性越强,则样本相关系数r就越接近1;
③当样本相关系数r>0时,两个变量正相关.
其中正确的命题有　　　　.(填序号)
8.某个样本的两个变量X与Y的7组数据如下表所示:
X -5 -4 -3 0 3 4 5
Y 0 3 4 5 4 3 0
样本相关系数为　　　　.
9.某人的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄X/岁 1 2 3 4 5 6
身高Y/cm 78 87 98 108 115 120
(1)画出散点图;
(2)判断Y与X是否具有线性相关关系.
10.如图所示是某地区连续7年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
由折线图看出,可用线性回归模型拟合Y与T的关系,请求出相关系数r,并用相关系数的大小说明Y与T相关性的强弱.
参考数据:yi=10.97,tiyi=47.36,
=0.664,≈2.646.
参考公式:相关系数
r=
=.
能力提升
11.(多选)某村因地制宜,优化产业结构,使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2021年,2022年,2024年,2025年这4年的人均年纯收入Y(单位:万元)与年份代号X之间的一组数据如下表所示:
年份 2021 2022 2024 2025
年份代号X 4 5 7 8
人均年纯收入Y 2.1 m n 5.9
若Y与X线性相关,且求得其线性回归方程为Y=X-2,则下列说法错误的是(　　)
A.人均年纯收入Y(单位:万元)与年份代号X负相关
B.m+n=8
C.从2021年起,每经过1年,村民人均年纯收入约增加1万元
D.2029年A村人均年纯收入约为11万元
12.已知(yi-)2是(xi-)2的4倍,(xi-)(yi-)是(xi-)2的1.5倍,则样本相关系数r的值为　　　　.
附:r=.
13.根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量(注:1亩≈666.7平方米)的增加量Y(单位:百千克)与某种液体肥料每亩使用量X(单位:千克)之间对应数据的散点图,如图所示.
(1)请从样本相关系数r(精确到0.01)的角度分析,能否用线性回归模型拟合Y与X的关系(若 |r|≥0.75,则线性相关程度很强,可用线性回归模型拟合);
(2)建立Y关于X的线性回归方程,并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时,该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克.
附:对于n组数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线Y=X+的斜率和截距的最小二乘估计分别为样本相关系数
r=.≈3.16.
应用创新
14.高三年级267名学生参加期末考试,某班37名学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的名次情况如图所示,甲、乙、丙为该班三名学生.从这次考试成绩看:
(1)在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是　　　　;
(2)在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是　　　　.

展开更多......

收起↑