资源简介

3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
基础巩固
1.假设有两个变量X与Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为
X Y
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
对同一样本,以下数据能说明变量X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A.a=5,b=4,c=3,d=2
B.a=5,b=3,c=4,d=2
C.a=2,b=3,c=4,d=5
D.a=3,b=2,c=4,d=5
【解析】 D　对于同一样本,|ad-bc|越小,说明X与Y的相关性越弱,而|ad-bc|越大,说明X与Y的相关性越强.对于选项A,B,C,都有|ad-bc|=|10-12|=2.对于选项D,有|ad-bc|=|15-8|=7,显然7>2.故选D.
2.某公司为研究消费者网购频率(“每周≥3次”或“每周<3次”)与是否愿意在实体店购物有关,采取简单随机抽样的方法调查了200名消费者,依据独立性检验,经计算得到χ2=7.63,则得到的正确结论是(　　)
A.有99%的消费者喜欢在实体店购物
B.可以认为网购频率与实体店购物意愿无关,此推断犯错误的可能性不超过1%
C.可以认为网购频率与实体店购物意愿有关,此推断犯错误的可能性不超过1%
D.以上都是错误的
【解析】 C　由χ2=7.63>6.635,可以认为网购频率与实体店购物意愿有关,此推断犯错误的可能性不超过1%.故选C.
3.判断某棉花得病情况跟种子是否经过处理之间的关系得到如下表所示的数据(单位:株):
得病情况 种子处理情况
种子处理 种子未处理 总计
得病 33 102 135
不得病 193 214 407
总计 226 316 542
根据以上数据,则(　　)
A.可以认为棉花得病与种子经过处理有关,此推断犯错误的可能性不超过0.1%
B.可以认为棉花得病与种子经过处理无关,此推断犯错误的可能性不超过0.1%
C.种子是否经过处理决定是否得病
D.以上都是错误的
【解析】 A　χ2=≈22.013>10.828,所以可以认为棉花得病与种子经过处理有关,此推断犯错误的可能性不超过0.1%.故选A.
4.在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中,下列说法正确的是(　　)
A.若χ2>6.635,我们可以认为吸烟与患肺病无关,此推断犯错误的可能性不超过1%
B.若χ2>6.635,我们可以认为吸烟与患肺病有关系,此推断犯错误的可能性不超过1%
C.若χ2>6.635,则在100个吸烟的人中约有99人患有肺病
D.从独立性检验可知,如果χ2>6.635,那么我们就认为每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病
【解析】 B　因为χ2>6.635,所以可以认为吸烟与患肺病有关系,此推断犯错误的可能性不超过1%,因此选项B正确,选项A,C,D不正确.故选B.
5.(多选)下列关于χ2的说法错误的是(　　)
A.χ2的值越小,两个变量有关的可能性就越大
B.χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大
C.若χ2=2.89,则可以认为两个变量有关,此推断犯错误的可能性不超过10%
D.χ2的计算公式是χ2=
【解析】 AD　χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大,A中说法错误,B中说法正确;若χ2=2.89>2.706,则可以认为两个变量有关,此推断犯错误的可能性不超过10%,C中说法正确;χ2的计算公式是χ2=,D中说法错误.故选AD.
6.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100名居民进行调查,经过计算χ2≈0.99,根据这一数据分析,则　　　　(填“能”或“不能”)认为电视栏目优秀与改革有关系.
【答案】 不能
【解析】 因为χ2≈0.99<2.706,所以没有充分的证据认为电视栏目优秀与改革有关系.
7.两个变量X,Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其列联表为
X Y
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若两个变量X,Y没有关系,则下列结论正确的是　　　　(填序号).
①ad≈bc;②≈;③a+b≈c+d;④a+c≈b+d;⑤≈0.
【答案】 ①②⑤
【解析】 因为变量X,Y独立,所以≈·,化简得ad≈bc,所以①②⑤正确,③④显然不正确.
8.某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在区间[29.94,30.06)内的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表:
甲厂零件内径尺寸
分组 [29.86, 29.90) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.98, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14]
频数 12 63 86 182 92 61 4
乙厂零件内径尺寸
分组 [29.86, 29.90) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.98, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14]
频数 29 71 85 159 76 62 18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断两个分厂生产的零件的质量是否有差异.
零件质 量情况 分厂
甲厂 乙厂 总计
优质品
非优质品
总计
【解】 (1)甲厂抽出的零件中有360件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为=
72%,乙厂抽出的零件中有320件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为=64%.
(2)2×2列联表如下表:
零件质量情况 分厂
甲厂 乙厂 总计
优质品 360 320 680
非优质品 140 180 320
总计 500 500 1 000
提出假设H0:两个分厂生产的零件的质量无差异.χ2=≈7.353>6.635,所以认为可能性不超过1%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为两个分厂生产的零件的质量有差异.
9.为了了解喜爱篮球运动是否与年龄阶段有关,某市电视台随机抽取100名市民进行统计,得到2×2列联表如下(单位:人).
喜爱程度 年龄阶段
中年 青年 总计
喜爱 30 40
不喜爱 40
总计 100
(1)将2×2列联表补充完整,并判断喜爱篮球运动与年龄阶段是否有关;
(2)在不喜爱篮球运动的市民中,按年龄阶段用分层随机抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加一档访谈节目,求这2人中至少有一名中年人的概率.
【解】 (1)由题意进行数据分析,得到2×2列联表如下表:
喜爱程度 年龄阶段
中年 青年 总计
喜爱 30 10 40
不喜爱 20 40 60
总计 50 50 100
提出假设H0:喜爱篮球运动与年龄阶段无关.
计算χ2===≈16.667>10.828,所以认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为喜爱篮球运动与年龄阶段有关.
(2)不喜爱篮球运动的市民中,有中年人20人,青年人40人,按照分层随机抽样的方式抽取6人,有中年人2人,记为a,b,青年人4人,记为1,2,3,4.从6人中抽取2人,有ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,
b3,b4,12,13,14,23,24,34,共15个样本点.记“所抽取2人中至少有一名中年人”为事件A,包含ab,a1,a2,a3,a4,b1,b2,b3,b4,共9个样本点.所以P(A)==.
能力提升
10.(多选)某健身房调查了健身会员的常做运动类型和锻炼时的音乐偏好的情况,结果如下表(单位:人)所示:
运动 类型 音乐类型
纯音乐 流行乐 总计
有氧运动 n11 15 n1+
无氧运动 6 n22 n2+
总计 n+1 28 46
则下列说法正确的是(　　)
A.>
B.χ2<2.706
C.可以认为健身会员的常做运动类型与音乐偏好有关,此推断犯错误的可能性不超过10%
D.没有充分的证据认为健身会员的常做运动类型与音乐偏好有关
【解析】 ABD　由2×2列联表可得n+1+28=46,得n+1=18,
由n11+6=18,得n11=12,
由15+n22=28,得n22=13,
故n1+=12+15=27,n2+=6+13=19.
所以==,=,>,故选项A正确;
由题可知χ2=≈0.775<2.706,故没有充分的证据认为健身会员的常做运动类型与音乐偏好有关,故选项B,D正确,选项C错误.故选ABD.
11.通过随机询问相同人数的不同阅读习惯(“每天阅读≥1 h”或“每天阅读<1 h”)的顾客的购书偏好(“电子书”或“纸质书”)得知“每天阅读≥1 h”的顾客中,有的人购买电子书,“每天阅读<1 h”的顾客中,有的人购买电子书.若可以认为阅读习惯与购书偏好之间有关且此推断犯错误的可能性不超过1%,则调查的总人数至少为(　　)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
A.130 B.135 C.140 D.145
【解析】 C　设不同阅读习惯的顾客各有m人,根据题意得到2×2列联表,
阅读习惯 购书偏好
纸质书 电子书 总计
每天阅读 ≥1 h m m m
每天阅读 <1 h m m m
总计 m m 2m
所以χ2==,因为可以认为阅读习惯与购书偏好之间有关,且此推断犯错误的可能性不超过1%,所以>6.635,解得2m>139.335,又m为整数,所以总人数至少为140.故选C.
12.某学校积极推进近视综合防控,开展了近视原因的调查以备有效进行预防.随机调查了各100名已近视学生和未近视学生后,得到如下数据(单位:人):
电子产品 近视 未近视
非长时间使用电子产品 40 70
长时间使用电子产品 60 30
(1)能否认为患近视与长时间使用电子产品有关
(2)若利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人组成样本数据,再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验,记X表示这3人中长时间使用电子产品的人数,求X的分布列与数学期望.
参考公式:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
【解】 (1)提出假设H0:学生患近视与长时间使用电子产品无关,
χ2==≈18.182.因为18.182>10.828,所以认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为学生患近视与长时间使用电子产品有关.
(2)由样本数据可知近视学生中长时间使用电子产品与非长时间使用电子产品的人数比例为3∶2,
所以抽取的5人中有3人长时间使用电子产品,有2人非长时间使用电子产品,
所以X的可能取值为1,2,3,
且P(X=1)==,P(X=2)===,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以数学期望EX=1×+2×+3×=.13.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):
空气质量 等级 锻炼的人次
[0,200] (200,400] (400,600]
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率.
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表).
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关
空气质量 锻炼的人次
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
【解】 (1)由所给数据,得该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为×(100×20+300×35+500×45)=350.
(3)根据所给数据,可得2×2列联表:
空气质量 锻炼的人次
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
提出假设H0:一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关.根据列联表得
χ2=≈5.820>5.024.
根据χ2独立性检验,可知认为可能性不超过2.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
应用创新
14.(多选)两个分类变量X和Y,取值分别为{X1,X2}和{Y1,Y2},其样本频数分别是a=10,b=21,
c+d=35.若认为变量X与变量Y有关,此推断犯错误的可能性不超过5%,则c的值可以是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】 AB　提出假设H0:变量X与变量Y无关.
2×2列联表如下表.
X Y
Y1 Y2 总计
X1 10 21 31
X2 c d 35
总计 10+c 21+d 66
故χ2=.
若认为变量X与变量Y有关,此推论犯错误的可能性不超过5%,则χ2应满足χ2>3.841.
当c=3时,χ2≈5.831>3.841;
当c=4时,χ2≈4.268>3.841;
当c=5时,χ2≈3.024<3.841;
当c=6时,χ2≈2.045<3.841.故选AB.3.1　独立性检验
3.2　独立性检验的基本思想
3.3　独立性检验的应用
基础巩固
1.假设有两个变量X与Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为
X Y
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
对同一样本,以下数据能说明变量X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A.a=5,b=4,c=3,d=2
B.a=5,b=3,c=4,d=2
C.a=2,b=3,c=4,d=5
D.a=3,b=2,c=4,d=5
2.某公司为研究消费者网购频率(“每周≥3次”或“每周<3次”)与是否愿意在实体店购物有关,采取简单随机抽样的方法调查了200名消费者,依据独立性检验,经计算得到χ2=7.63,则得到的正确结论是(　　)
A.有99%的消费者喜欢在实体店购物
B.可以认为网购频率与实体店购物意愿无关,此推断犯错误的可能性不超过1%
C.可以认为网购频率与实体店购物意愿有关,此推断犯错误的可能性不超过1%
D.以上都是错误的
3.判断某棉花得病情况跟种子是否经过处理之间的关系得到如下表所示的数据(单位:株):
得病情况 种子处理情况
种子处理 种子未处理 总计
得病 33 102 135
不得病 193 214 407
总计 226 316 542
根据以上数据,则(　　)
A.可以认为棉花得病与种子经过处理有关,此推断犯错误的可能性不超过0.1%
B.可以认为棉花得病与种子经过处理无关,此推断犯错误的可能性不超过0.1%
C.种子是否经过处理决定是否得病
D.以上都是错误的
4.在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中,下列说法正确的是(　　)
A.若χ2>6.635,我们可以认为吸烟与患肺病无关,此推断犯错误的可能性不超过1%
B.若χ2>6.635,我们可以认为吸烟与患肺病有关系,此推断犯错误的可能性不超过1%
C.若χ2>6.635,则在100个吸烟的人中约有99人患有肺病
D.从独立性检验可知,如果χ2>6.635,那么我们就认为每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病
5.(多选)下列关于χ2的说法错误的是(　　)
A.χ2的值越小,两个变量有关的可能性就越大
B.χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大
C.若χ2=2.89,则可以认为两个变量有关,此推断犯错误的可能性不超过10%
D.χ2的计算公式是χ2=
6.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了100名居民进行调查,经过计算χ2≈0.99,根据这一数据分析,则　　　　(填“能”或“不能”)认为电视栏目优秀与改革有关系.
7.两个变量X,Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其列联表为
X Y
y1 y2 总计
x1 a b a+b
x2 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
若两个变量X,Y没有关系,则下列结论正确的是　　　　(填序号).
①ad≈bc;②≈;③a+b≈c+d;④a+c≈b+d;⑤≈0.
8.某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在区间[29.94,30.06)内的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表:
甲厂零件内径尺寸
分组 [29.86, 29.90) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.98, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14]
频数 12 63 86 182 92 61 4
乙厂零件内径尺寸
分组 [29.86, 29.90) [29.90, 29.94) [29.94, 29.98) [29.98, 30.02) [30.02, 30.06) [30.06, 30.10) [30.10, 30.14]
频数 29 71 85 159 76 62 18
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断两个分厂生产的零件的质量是否有差异.
零件质 量情况 分厂
甲厂 乙厂 总计
优质品
非优质品
总计
零件质量情况 分厂
甲厂 乙厂 总计
优质品 360 320 680
非优质品 140 180 320
总计 500 500 1 000
9.为了了解喜爱篮球运动是否与年龄阶段有关,某市电视台随机抽取100名市民进行统计,得到2×2列联表如下(单位:人).
喜爱程度 年龄阶段
中年 青年 总计
喜爱 30 40
不喜爱 40
总计 100
(1)将2×2列联表补充完整,并判断喜爱篮球运动与年龄阶段是否有关;
(2)在不喜爱篮球运动的市民中,按年龄阶段用分层随机抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加一档访谈节目,求这2人中至少有一名中年人的概率.
喜爱程度 年龄阶段
中年 青年 总计
喜爱 30 10 40
不喜爱 20 40 60
总计 50 50 100
能力提升
10.(多选)某健身房调查了健身会员的常做运动类型和锻炼时的音乐偏好的情况,结果如下表(单位:人)所示:
运动 类型 音乐类型
纯音乐 流行乐 总计
有氧运动 n11 15 n1+
无氧运动 6 n22 n2+
总计 n+1 28 46
则下列说法正确的是(　　)
A.>
B.χ2<2.706
C.可以认为健身会员的常做运动类型与音乐偏好有关,此推断犯错误的可能性不超过10%
D.没有充分的证据认为健身会员的常做运动类型与音乐偏好有关
11.通过随机询问相同人数的不同阅读习惯(“每天阅读≥1 h”或“每天阅读<1 h”)的顾客的购书偏好(“电子书”或“纸质书”)得知“每天阅读≥1 h”的顾客中,有的人购买电子书,“每天阅读<1 h”的顾客中,有的人购买电子书.若可以认为阅读习惯与购书偏好之间有关且此推断犯错误的可能性不超过1%,则调查的总人数至少为(　　)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
A.130 B.135 C.140 D.145
阅读习惯 购书偏好
纸质书 电子书 总计
每天阅读 ≥1 h m m m
每天阅读 <1 h m m m
总计 m m 2m
12.某学校积极推进近视综合防控,开展了近视原因的调查以备有效进行预防.随机调查了各100名已近视学生和未近视学生后,得到如下数据(单位:人):
电子产品 近视 未近视
非长时间使用电子产品 40 70
长时间使用电子产品 60 30
(1)能否认为患近视与长时间使用电子产品有关
(2)若利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人组成样本数据,再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验,记X表示这3人中长时间使用电子产品的人数,求X的分布列与数学期望.
参考公式:
χ2=,其中n=a+b+c+d.
X 1 2 3
P
空气质量 等级 锻炼的人次
[0,200] (200,400] (400,600]
1(优) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(轻度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
空气质量 锻炼的人次
人次≤400 人次>400
空气质量好
空气质量不好
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
空气质量 锻炼的人次
人次≤400 人次>400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
应用创新
14.(多选)两个分类变量X和Y,取值分别为{X1,X2}和{Y1,Y2},其样本频数分别是a=10,b=21,
c+d=35.若认为变量X与变量Y有关,此推断犯错误的可能性不超过5%,则c的值可以是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
X Y
Y1 Y2 总计
X1 10 21 31
X2 c d 35
总计 10+c 21+d 66

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