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天津市第四十七中学 2026—2027 高一年级第一学期
第一次阶段性检测 数学试卷
第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）
一、单项选择题（共9题，每题5分，共45分）
1. 已知集合 ， ， ，则 （　　）
A. B. C. D.
2. 下列式子中，正确的是（　　）
A. B.
C. D. 或
3. 已知集合 ， ，则（　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 下列命题正确的是（　　）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5. 已知集合 ，且 ，则 （　　）
A B. 或 C. D.
6. 已知函数 是 的减函数，则下列各大小关系正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为（　　）
A. B. C. D.
8. 下列命题为真命题的个数为（　　）
（1）命题 ：， ，则命题 的否定是：，
（2）“是”“的必要不充分条件
（3） 的最小值为2
（4） 是关于 的不等式 对一切实数 恒成立的充要条件
A. B. C. D.
9. 已知函数 是定义在 上的增函数，且 ， . 则不等式 的解集是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（共6题，每题5分，共30分）
10. 函数 的定义域为________.
11. 定义集合 且，若 ， ，则 的子集个数是________.
12. 已知函数 满足 ，则 ________.
13. 已知 为实数，若集合 ， ，且 ，则 的值可以是________
14. 已知函数 ， ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围________.
15. 存在两个不相等的正实数 和 ，使得 成立，则 最小值是________.
三、解答题（共5题，共75分）
16.（14分）解下列不等式：
(1);
(2);
(3);
(4);
17.（15分）求下列方程的最值
(1)已知 ， 是正实数，且 ，求 的最小值;
(2)已知 ，求 的最大值;
(3 已知实数 、 满足 ， 的最小值;
(4)已知 ， ， ，求 的最小值;
18.（15分）已知集合 、集合 .
(1)若 ，求实数 的取值范围;
(2)设命题 ：；命题 ：，若命题 是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
19.（15分）已知关于 的二次函数
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 、 的值;
(2)若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集.（答案用含有字母 的形式表示）
20.（16分）已知函数 的定义域是 . 对于 ，定义集合 .
(1)若 ，求 ;
(2)若 ，且 ；求实数 的值;
(3)若 ，且当 时， 的值域也为 ，其中 .
（i）证明： ;
（ii）求 的取值范围.
天津市第四十七中学 2026—2027 高一年级第一学期
第一次阶段性检测 数学答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A C D A D B C B A
二、填空题
1. 2. 3.
4. 或或 5. 6.
三、解答题
16.
（1）； 3
（2）； 3
（3）； 4
（4）； 4
17.
（1）； 3
（2）； 3
（3）； 4
（4）； 5
18.（1）集合 ，而 ，
若 ，故当 时，，即 ；
当 时， 或 ，解得 .
综上所述，若 ，则 或，
则 时，，即实数 的取值范围为 .
（2）命题 ：；命题 ：，
因为命题 是命题 的必要不充分条件，所以 是 的真子集，
当 时，即 ，解得 ；
当 时， 或 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围为 .
19（1）不等式 的解集为 ，得 ，方程
两根为 ，所以 ， ,得 ， ；
（2）由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 ，不等式化为 ，
若 即 ，解集为 ；
若 即 ， ，无解；
若 即 ，解集为 ；
当 ，不等式化为 ，此时 ，故解集为 ；
综上所述，当 ，解集为 ；
当 ，解集为 ；
当 ，解集为 ；
当 ，解集为 ；
20（1）由 ，得 ，根据定义得到 ，
解不等式 ，解得 或，所以 或.
（2）由 ，得 .
而 等价于对任意 ，都有 ，即 是二次函数的最小值点，
而二次函数对称轴为 ，因此 ，解得 .
验证：当 时， ， ，
可得 恒成立，符合题意，故 .
（3）（i）由题意可知， ， 的图象的对称轴为直线 ,开口向上.当 时， 在 上单调递减，
则
①-②，得 .
又 ，所以 .
（ii）由（i）可知， 即
即关于 的方程 在 上有两个不同的实根.
令 ， 的图象开口向上且对称轴为直线 ，
则 ，解得 .
故 的取值范围是 .

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