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第3章圆锥曲线的方程几何练习卷-2026-2027学年高二数学上学期人教A版选择性必修第一册
一、选择题
1．已知双曲线的方程为，则（　　）
A．渐近线与无关 B．实轴长与无关
C．焦距与无关 D．焦点与无关
2．抛物线的焦点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
3．椭圆的长轴长为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
4．已知抛物线的焦点为，点在上，且，若满足，则（　　）
A．16 B． C． D．9
5．已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．焦距为10，且的双曲线的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．或
7．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（　　）
A．16 B． C． D．
8．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得的三条曲线及抛物线围成的，则下列说法错误的是（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．四叶图的面积小于6
D．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为
二、多项选择题
9．已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（　　）
A． B． C．7 D．
10．已知双曲线，则（　　）
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（　　）
A．F的坐标为 B．
C． D．
三、填空题
12．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为　 　.
13．点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则　 　．
14．已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为　 　，直线斜率的最大值为　 　.
四、解答题
15．已知双曲线的实轴长为2，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积.
16．已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
17．已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
18．已知抛物线：经过点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与的交点为，，直线与倾斜角互补.
（i）求的值；
（ii）若，求面积的最大值.
19．已知椭圆，左 右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积；
（3）如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】A,D
10．【答案】B,C
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】（除去点）；
15．【答案】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为
可得，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为
联立方程组，整理得，
设，则且，
由弦长公式，可得，
又由原点到直线的距离为，
所以的面积为.
16．【答案】（1）将点代入椭圆得，，
又，且
解得，，，
椭圆方程为.
（2）当斜率PQ斜率不存在，此时直线与椭圆C有且仅有交点A，不符合题意；
故斜率存在，如图，由直线过点可设：
其中，，，
直线：，令得，同理得
联立，
消y整理得：，
，，
且，即
直线的中点是定点.
17．【答案】（1）解：因为点是双曲线的一个焦点，所以，又因为且，所以，
所以双曲线的方程为，
则双曲线的渐近线方程为；
（2）解：设直线的方程为且，联立，可得，
则，即，即，
则
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
18．【答案】（1）解：由题意可知，，所以，
所以 抛物线的方程为.
（2）解：（i）如图：
设，将直线的方程代入得：
，所以，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，所以.
（ii）由（i）可知，所以，
则，
因为，所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以面积最大值为.
19．【答案】（1）解：因为是面积为的等边三角形，所以，
所以所以椭圆的方程为，所以离心率.
（2）解：已知如图所示：
因为双曲线中的，则，
所以双曲线方程为，
联立椭圆方程可得：，即，
所以.
（3）解：由题易知，则联立直线方程和抛物线方程可得，
得，
，即，
设为，则，
直线，令，解得，则，
令，则，则，
.
则点的轨迹方程为.
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