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第3章函数概念与性质练习卷-2026-2027学年高一数学上学期人教A版必修第一册
一、选择题
1．函数是奇函数的充要条件是（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数有最小值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知集合，全集，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数在区间上的值域为，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数，则（　　）
A． B． C．2 D．4
7．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若存在使得成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．下列说法中正确的有（　　）
A．与是同一个函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．关于x的方程有两个不等的正实数根的充要条件是
11．已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．a，b，c的大小关系是：
C．函数在区间上单调递减
D．关于x的不等式解集为
三、填空题
12．函数是奇函数，则实数　 　.
13．已知幂函数在上递减，则不等式的解集为　 　.
14．若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是　 　.
四、解答题
15．已知（，且）.
（1）求定义域并判断的奇偶性；
（2）若在区间内的最大值为2，求.
16．已知函数是 定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）解关于的不等式.
17．已知定义在R上的函数满足，且当时，．
（1）求的值，并证明：为奇函数；
（2）求证：在R上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
18．已知函数，函数的定义域为.
（1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标；
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式.
19．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,B,D
10．【答案】C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】1
13．【答案】
14．【答案】（答案不唯一）
15．【答案】（1）解：由函数，
则，
解得，
则函数的定义域为.
因为函数的定义域的关于原点对称，且所以函数为偶函数.
（2）解：由函数，
且函数在上单调递减，
则当时，函数在上单调递增，
所以，在上的最大值为，
由题意可得，
解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，
则在上的最大值为，
由题意可得，
解得，不符合题意.
综上所述，.
16．【答案】解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，
又，
，，
.
（2）在上为增函数，理由如下：
设，
则，，，，
，
在上为增函数.
（3），
，
又因为在上为增函数且为奇函数，
，
，
不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：因为定义在上的函数满足，
取，则，
所以，
，取，
则，
所以，
则，
所以为奇函数.
（2）证明：，
则，
当时，，
得，
因为，
所以在上是增函数.
（3）解：由，
得，
因为不等式，
则，
由（2）知，，
则，
解得或，
所以，原不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
，即函数为奇函数，
故函数的图象关于点对称，其对称中心为；
（2）解：函数的图象关于点中心对称，
则，解得，
当时，，
当时，，则，
则，
综上所述，.
19．【答案】（1）解：，
因为，所以，
所以当时，，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得，
故；
（2）解：由（1）可得，当时，，
，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为；
当时，，
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
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