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4.1　成对数据的统计相关性
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是(　　)
A.(1)为正相关，(2)为负相关，(3)为不相关
B.(1)为负相关，(2)为不相关，(3)为正相关
C.(1)为负相关，(2)为正相关，(3)为不相关
D.(1)为正相关，(2)为不相关，(3)为负相关
2.对于样本相关系数，下列说法错误的是(　　)
A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
D.样本相关系数r∈[－1，1]
3.已知x，y是两个变量，下列四个关系中，x，y呈负相关的是(　　)
A.y＝x2－1 B.y＝－x2＋1
C.y＝x－1 D.y＝－x＋1
4.以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是(　　)
A.r1 B.r2
C.r3 D.r4
5.(多选)下列有关样本相关系数的说法正确的是(　　)
A.相关系数用来衡量x与y的之间的线性相关程度
B.｜r｜≤1，且｜r｜越接近0，相关程度越小
C.｜r｜≤1，且｜r｜越接近1，相关程度越大
D.｜r｜≥1，且｜r｜越接近1，相关程度越大
6.在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的相关系数为　　　　.
附：r＝
＝.
7.如图所示的两个变量具有相关关系的序号是　　　　.
8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法求得相关系数r如下表：
甲 乙 丙 丁
r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85
则同学　　　　的实验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性.
9.(13分)假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：(结果精确到0.001)
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
用相关系数r对x、y进行线性相关性检验.
已知数据：＝90，≈140.8，xiyi＝112.3，≈8.9，≈1.4.
附：r＝
＝.
10.(13分)某市一所医院在某时间段为发烧超过38 ℃的病人特设发热门诊，该门诊记录了连续5天昼夜温差x(℃)与就诊人数y的资料：
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
昼夜温 差xi (℃) 8 10 13 12 7
就诊人数yi (人) 18 25 28 27 17
求(xi，yi)(i＝1，2，…，5)的相关系数r，并说明昼夜温差x(℃)与就诊人数y具有很强的线性相关关系.
附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数为r，当｜r｜＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.
参考数据：≈5.10，≈10.30，
r＝.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图.下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的个数为(　　)
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分.
A.1 B.2
C.3 D.4
12.(交汇融合)(多选)下列说法中错误的是(　　)
A.若数列{an}为常数列，则{an}是等差数列但不一定是等比数列
B.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0
C.若两个变量x，y的相关系数为r，则r越大，x与y之间的相关性越强
D.事件A或B发生的概率为事件A和事件B的概率之和
13.对于线性相关系数r，叙述正确的是　　　　.
①｜r｜∈(0，＋∞)，｜r｜越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱；
②r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱；
③｜r｜≤1且｜r｜越接近于1，相关程度越强；｜r｜越接近于0，相关程度越弱；
④以上说法都不对.
14.(15分)随着互联网技术的发展，各类手机APP也如雨后春笋般涌现.如表中统计的是某手机APP自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为t(如t＝1对应于2018年8月份，t＝2对应于2018年9月份，…，t＝9对应于2019年4月份)，月新注册用户数为y(单位：百万人).
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3.2 3.8 4.3 4.7 5.6 6.4 7.9 8.6 9.5
请依据上表的统计数据，判断月新注册用户数与月份线性相关性的强弱.
参考数据：tiyi＝318.5，＝364.2，≈8.2，＝285.
相关系数r＝＝(当｜r｜＞0.75时，认为两相关变量相关性很强).
15.(17分)在班级随机地抽取8名学生，得到一组数学成绩与物理成绩的数据：
数学成绩x　60　90　115　80　95　135　80　145
物理成绩y　40　60　75　40　70　85　60　90
(1)计算出数学成绩与物理成绩的平均分；
(2)求相关系数r的值，并判断相关性的强弱.(r≥0.75为强)
附：r＝.
16.(17分)一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系.已知产品甲的年宣传费用x(百万元)和年销量y(万箱)的统计数据如下：
年宣传费用x(百万元) 3 5 6 10 13 15 18
年销量y(万箱) 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
(1)求y与x的相关系数r(精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：｜r｜≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合)
(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率.
附：①相关系数r＝；
②xiyi＝246，＝888，＝70，≈36.28；≈36.41.
4.1　成对数据的统计相关性
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.观察下列散点图，关于两个变量的相关关系推断正确的是(　　)
A.(1)为正相关，(2)为负相关，(3)为不相关
B.(1)为负相关，(2)为不相关，(3)为正相关
C.(1)为负相关，(2)为正相关，(3)为不相关
D.(1)为正相关，(2)为不相关，(3)为负相关
答案：D
解析：由(1)可知各点呈上升趋势，x与y正相关；
(2)中的点杂乱无章，不具有相关性；
(3)各点呈下降趋势，x与y负相关. 故选D.
2.对于样本相关系数，下列说法错误的是(　　)
A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B.样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C.样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
D.样本相关系数r∈[－1，1]
答案：C
解析：对于相关系数的定义：
当相关性越强，相关系数就越接近于±1；
当相关系数的绝对值越小，相关性越弱；
当系数为正数时，为正相关，系数为负数时，为负相关，所以A、B、D正确.故选C.
3.已知x，y是两个变量，下列四个关系中，x，y呈负相关的是(　　)
A.y＝x2－1 B.y＝－x2＋1
C.y＝x－1 D.y＝－x＋1
答案：D
解析：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；
对于B，y＝－x2＋1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；
对于C，y＝x－1，当x增大时，y的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意；
对于D，y＝－x＋1，当x增大时，y的值一定减小，两个变量负相关，符合题意.故选D.
4.以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是(　　)
A.r1 B.r2
C.r3 D.r4
答案：A
解析：由题中给出的4幅散点图可以看出，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，其中图1的点相对更集中，所以相关性更强，
故样本相关系数最大的是r1.故选A.
5.(多选)下列有关样本相关系数的说法正确的是(　　)
A.相关系数用来衡量x与y的之间的线性相关程度
B.｜r｜≤1，且｜r｜越接近0，相关程度越小
C.｜r｜≤1，且｜r｜越接近1，相关程度越大
D.｜r｜≥1，且｜r｜越接近1，相关程度越大
答案：ABC
解析：相关系数是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的，故A正确；线性相关系数是一个绝对值小于或等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，故B和C正确，D不正确.故选ABC.
6.在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的相关系数为　　　　.
附：r＝
＝.
答案：－1
解析：＝(1＋2＋4－1)＝1.5，
＝(2＋0－4＋6)＝1，
＝22，
＝56，
xiyi＝－20，
代入公式可得r＝＝＝－1.
7.如图所示的两个变量具有相关关系的序号是　　　　.
答案：②③
解析：观察散点图知②③中的图呈带状分布.
8.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法求得相关系数r如下表：
甲 乙 丙 丁
r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85
则同学　　　　的实验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性.
答案：丁
解析：由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，结合题意可知同学丁的试验结果线性相关性更强.
9.(13分)假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)，有如下统计资料：(结果精确到0.001)
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
用相关系数r对x、y进行线性相关性检验.
已知数据：＝90，≈140.8，xiyi＝112.3，≈8.9，≈1.4.
附：r＝
＝.
解：根据题意得＝＝4，
＝＝5，
则·＝20.
＝90，≈140.8，
xiyi＝112.3，≈8.9，≈1.4，
则r＝
≈
＝≈0.987，故x、y具有较强的线性关系.
10.(13分)某市一所医院在某时间段为发烧超过38 ℃的病人特设发热门诊，该门诊记录了连续5天昼夜温差x(℃)与就诊人数y的资料：
日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
昼夜温 差xi (℃) 8 10 13 12 7
就诊人数yi (人) 18 25 28 27 17
求(xi，yi)(i＝1，2，…，5)的相关系数r，并说明昼夜温差x(℃)与就诊人数y具有很强的线性相关关系.
附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的相关系数为r，当｜r｜＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.
参考数据：≈5.10，≈10.30，
r＝.
解：＝＝10，
＝＝23，
r＝
≈≈0.97，
r＞0.75，昼夜温差x(℃)与就诊人数y具有很强的线性相关关系.
(11—13小题，每小题5分，共15分)
11.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图.下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的个数为(　　)
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分.
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，故①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，故②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，故③正确；
④乙同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确.故选C.
12.(交汇融合)(多选)下列说法中错误的是(　　)
A.若数列{an}为常数列，则{an}是等差数列但不一定是等比数列
B.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0
C.若两个变量x，y的相关系数为r，则r越大，x与y之间的相关性越强
D.事件A或B发生的概率为事件A和事件B的概率之和
答案：BCD
解析：对于A，当an＝0时，数列{an}是等差数列，不是等比数列，故A正确；
对于B，当奇函数f(x)的定义域中没有数值0时，f(0)没有意义，故B错误；
对于C，｜r｜越接近于1，两个变量的相关性越强，｜r｜越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误；
对于D，事件A，B互斥时结论才成立，故D错误.故选BCD.
13.对于线性相关系数r，叙述正确的是　　　　.
①｜r｜∈(0，＋∞)，｜r｜越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱；
②r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越强，反之，相关程度越弱；
③｜r｜≤1且｜r｜越接近于1，相关程度越强；｜r｜越接近于0，相关程度越弱；
④以上说法都不对.
答案：③
解析：用相关系数r可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r的绝对值越接近于1，表示两个变量的线性相关性越强，r的绝对值接近于0时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系，故答案为③.
14.(15分)随着互联网技术的发展，各类手机APP也如雨后春笋般涌现.如表中统计的是某手机APP自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为t(如t＝1对应于2018年8月份，t＝2对应于2018年9月份，…，t＝9对应于2019年4月份)，月新注册用户数为y(单位：百万人).
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 3.2 3.8 4.3 4.7 5.6 6.4 7.9 8.6 9.5
请依据上表的统计数据，判断月新注册用户数与月份线性相关性的强弱.
参考数据：tiyi＝318.5，＝364.2，≈8.2，＝285.
相关系数r＝＝(当｜r｜＞0.75时，认为两相关变量相关性很强).
解：由题意可计算＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，
＝×(3.2＋3.8＋4.3＋4.7＋5.6＋6.4＋7.9＋8.6＋9.5)＝6.
又因为tiyi＝318.5，＝364.2，＝285，
所以相关系数r＝
＝
＝＝
＝≈≈0.99.
因为0.99＞0.75，
所以两变量相关性非常强.
15.(17分)在班级随机地抽取8名学生，得到一组数学成绩与物理成绩的数据：
数学成绩x　60　90　115　80　95　135　80　145
物理成绩y　40　60　75　40　70　85　60　90
(1)计算出数学成绩与物理成绩的平均分；
(2)求相关系数r的值，并判断相关性的强弱.(r≥0.75为强)
附：r＝.
解：(1)数学成绩的平均分
＝＝100，
物理成绩的平均分
＝＝65.
(2)因为r＝＝≈0.94＞0.75，所以相关性较强.
16.(17分)一般来说，市场上产品的宣传费用与产品的销量存在一定关系.已知产品甲的年宣传费用x(百万元)和年销量y(万箱)的统计数据如下：
年宣传费用x(百万元) 3 5 6 10 13 15 18
年销量y(万箱) 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
(1)求y与x的相关系数r(精确到0.01)，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：｜r｜≥0.75时，可用线性回归方程模型拟合)
(2)从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率.
附：①相关系数r＝；
②xiyi＝246，＝888，＝70，≈36.28；≈36.41.
解：(1)由题意可知
＝＝10，
＝＝3，
由公式r＝≈≈0.99，
即｜r｜≈0.99＞0.75，
所以y与x的关系可用线性回归方程模型拟合.
(2)满足条件的所有取法为：3万箱与3.5万箱；3万箱与4万箱；3万箱与4.5万箱；3.5万箱与4万箱；3.5万箱与4.5万箱；4万箱与4.5万箱，共有六种；
恰有1个数据不少于4万箱包含：3万箱与4万箱；3万箱与4.5万箱；3.5万箱与4万箱；3.5万箱与4.5万箱，共有四种；
P＝＝.

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