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4.2　一元线性回归模型
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：
使用年数x/年 1 2 3 4 5
维修总费用y/万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5
根据上表可得y关于x的线性回归方程为＝x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)(　　)
A.8年 B.9年
C.10年 D.11年
2.用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程为z＝0.3x＋4，则c＝(　　)
A.0.3 B.e0.3
C.4 D.e4
3.如图，根据已知的散点图，得到y关于x的线性回归方程为＝x＋0.2，则＝(　　)
A.1.5 B.1.8
C.2 D.1.6
4.随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂.下表是近年来某省的数据表：
用线性回归方程模型＝＋t拟合垃圾处理厂数量y与年份代码t的关系，用公式计算得＝7.5，相关系数r≈0.96，yi＝620，据此可估计2028年该省辖区生活垃圾无害化处理厂数量为(结果四舍五入)(　　)
A.118 B.126
C.129 D.134
5.(多选)已知变量x和y的取值如下表所示，且2.5＜n＜m＜6.5，则由该数据知其线性回归方程可能是(　　)
x 2 3 4 5
y 6.5 m n 2.5
A.＝－1.4x＋9.4 B.＝－2x＋14.2
C.＝1.5x＋8.8 D.＝－1.6x＋10.6
6.已知数据x，y的取值如表：
x 1 2 3 4 5
y 13.2 m 14.2 15.4 16.4
从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线＝0.8x＋上，则m的取值为　　　　　.
7.某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 m 10.5 11
销售量y 11 n 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则n＝　　　　　.
8.已知x，y的取值如表：
x 0 1 3 5 6
y 1 m 3m 5.6 7.4
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x＋1，则m＝　　　　　.
(9—11小题，每小题5分，共15分)
9.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Pi(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，回归直线方程为＝2x＋，若＋＋…＋＝(12，18)(O为坐标原点)，则＝(　　)
A.－1 B.－6
C.1 D.6
10.(多选)茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2019，2020，2022，2023年这4年的人均年纯收入y(单位：万元)与年份代号x之间的一组数据如表所示：
年份 2019 2020 2022 2023
年份代号x 4 5 7 8
人均年纯收入y 2.1 m n 5.9
若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为＝x－2，则下列说法错误的是(　　)
A.人均纯收入y(单位：万元)与年份代号x负相关
B.m＋n＝8
C.从2019年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D.2026年A村人均年纯收入约为11万元
11.已知由样本数据点集{(xi，yi)｜i＝1，2，…，n}求得的回归直线方程为＝1.23x＋0.08，且＝4.若去掉两个数据点(4.1，5.7)和(3.9，4.3)后重新求得的回归直线L的斜率估计值为1.2，则此回归直线L的方程为　　　　　　　　.
12.(13分)在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来汽车的发展方向.我国大力发展新能源汽车的生产和销售.某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表：
年份代号x 1 2 3 4 5 6
保有量y (万辆) 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2
(1)从这6年中任意抽取连续两年，求后一年比前一年的保有量增长率大于等于50％的概率；
(2)用函数模型＝x＋对两个变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程.
参考数据：xiyi＝113.4，＝91.
参考公式：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
13.(5分)(交汇融合)具有相关关系的变量x，y满足的线性回归直线方程为＝bx＋a，x，y的数据如下：
x －1 1 3 5
y 0 0.8 1.2 2
则＋的最小值是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
14.(17分)今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]，(50，60]，其频率分布直方图如图①所示.今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图②所示.
(1)健康管理中心从自身免疫力指标在(40，60]内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X表示这3人中免疫力指标在(40，50]内的人数，求X的分布列和数学期望；
(2)由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以健康管理中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位.
附：对于一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计值分别为＝＝，＝－.
4.2　一元线性回归模型
(1—8小题，每小题5分，共40分)
1.某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：
使用年数x/年 1 2 3 4 5
维修总费用y/万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5
根据上表可得y关于x的线性回归方程为＝x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)(　　)
A.8年 B.9年
C.10年 D.11年
答案：D
解析：因为＝3，＝＝2.34，
所以由y关于x的回归方程＝x－0.69过样本中心(3，2.34)，所以2.34＝×3－0.69，解得＝1.01，
即线性回归方程为＝1.01x－0.69.
由1.01x－0.69≥10，解得x≥10.6，
所以预测该汽车最多可使用11年.故选D.
2.用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程为z＝0.3x＋4，则c＝(　　)
A.0.3 B.e0.3
C.4 D.e4
答案：D
解析：由z＝ln y，得y＝ez＝e0.3x＋4＝e4·e0.3x，
所以c＝e4.
故选D.
3.如图，根据已知的散点图，得到y关于x的线性回归方程为＝x＋0.2，则＝(　　)
A.1.5 B.1.8
C.2 D.1.6
答案：D
解析：由题图可知，＝＝3，＝＝5，
则样本中心为(3，5)，
代入线性回归方程＝x＋0.2，得5＝3＋0.2，
解得＝1.6.故选D.
4.随着国家对环保的重视，地方政府积极兴建生活垃圾无害化处理厂.下表是近年来某省的数据表：
用线性回归方程模型＝＋t拟合垃圾处理厂数量y与年份代码t的关系，用公式计算得＝7.5，相关系数r≈0.96，yi＝620，据此可估计2028年该省辖区生活垃圾无害化处理厂数量为(结果四舍五入)(　　)
A.118 B.126
C.129 D.134
答案：B
解析：由相关系数r≈0.96，得y和t的线性相关程度相当高，
从而可以使用线性回归方程模型拟合y与t的关系，
易知＝＝4.5，＝＝77.5，
由＝－＝77.5－7.5×4.5＝43.75，
所以＝43.75＋7.5t，
当t＝11时，＝43.75＋7.5×11≈126，
即估计2028年该省辖区生活垃圾无害化处理厂数量为126座.故选B.
5.(多选)已知变量x和y的取值如下表所示，且2.5＜n＜m＜6.5，则由该数据知其线性回归方程可能是(　　)
x 2 3 4 5
y 6.5 m n 2.5
A.＝－1.4x＋9.4 B.＝－2x＋14.2
C.＝1.5x＋8.8 D.＝－1.6x＋10.6
答案：AD
解析：由已知＝＝3.5，
把＝3.5代入各方程，计算出值分别为：4.5，7.2，14.05，5，
又＝，2.5＜n＜m＜6.5，
所以3.5＜＜5.5.
因此选项A、D符合题意.故选AD.
6.已知数据x，y的取值如表：
x 1 2 3 4 5
y 13.2 m 14.2 15.4 16.4
从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线＝0.8x＋上，则m的取值为　　　　　.
答案：13.8
解析：因为第四组数据在回归直线＝0.8x＋上，
15.4＝0.8×4＋，
＝12.2，
因为＝3，＝，
所以代入得＝2.4＋12.2，
解得m＝13.8.
7.某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 m 10.5 11
销售量y 11 n 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则n＝　　　　　.
答案：10
解析：＝＝，
＝＝，
其线性回归方程是＝－3.2x＋40，
所以＝－3.2×＋40，
30＋n＝－3.2(40＋m)＋200，又m＋n＝20，
解得m＝n＝10.
8.已知x，y的取值如表：
x 0 1 3 5 6
y 1 m 3m 5.6 7.4
画散点图分析可知：y与x线性相关，且求得回归方程为＝x＋1，则m＝　　　　　.
答案：
解析：由题意，＝＝3，
＝＝.
因为回归直线方程过样本中心，
所以将，＝x＋1，
即＝3＋1，解得m＝.
(9—11小题，每小题5分，共15分)
9.已知具有线性相关的变量x，y，设其样本点为Pi(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，回归直线方程为＝2x＋，若＋＋…＋＝(12，18)(O为坐标原点)，则＝(　　)
A.－1 B.－6
C.1 D.6
答案：A
解析：由题意可得，＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝＝2，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝＝3.
因为回归直线方程为＝2x＋，
所以3＝2×2＋，解得＝－1.
故选A.
10.(多选)茂名市某单位在定点帮扶贫困村A村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高.A村村民2019，2020，2022，2023年这4年的人均年纯收入y(单位：万元)与年份代号x之间的一组数据如表所示：
年份 2019 2020 2022 2023
年份代号x 4 5 7 8
人均年纯收入y 2.1 m n 5.9
若y与x线性相关，且求得其线性回归方程为＝x－2，则下列说法错误的是(　　)
A.人均纯收入y(单位：万元)与年份代号x负相关
B.m＋n＝8
C.从2019年起，每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元
D.2026年A村人均年纯收入约为11万元
答案：AD
解析：对于A，由回归直线的斜率为1，得人均年纯收入y(单位：万元)与年份代号x正相关，故A错误；
对于B，因为＝＝6，所以＝6－2＝4，于是得2.1＋m＋n＋5.9＝4×4，解得m＋n＝8，故B正确；
对于C，由x每增加1，y约增加1，可知每经过1年，村民人均年纯收入约增加1万元，故C正确；
2026年的年份代号为11，故y＝11－2＝9，故可估计2026年A村人均年纯收入约为9万元，故D错误.故选AD.
11.已知由样本数据点集{(xi，yi)｜i＝1，2，…，n}求得的回归直线方程为＝1.23x＋0.08，且＝4.若去掉两个数据点(4.1，5.7)和(3.9，4.3)后重新求得的回归直线L的斜率估计值为1.2，则此回归直线L的方程为　　　　　　　　.
答案：＝1.2x＋0.2
解析：由样本数据点集{(xi，yi)｜i＝1，2，…，n}求得的回归直线方程为＝1.23x＋0.08，且＝4，＝1.23×4＋0.08＝5，
去掉两个数据点(4.1，5.7)和(3.9，4.3)，则'＝4，'＝5，
重新求得的回归直线L的斜率估计值为1.2，
回归直线方程设为：＝1.2x＋，
代入(4，5)可得，5＝1.2×4＋，所以＝0.2.
所以回归直线L的方程为：＝1.2x＋0.2.
12.(13分)在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来汽车的发展方向.我国大力发展新能源汽车的生产和销售.某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表：
年份代号x 1 2 3 4 5 6
保有量y (万辆) 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2
(1)从这6年中任意抽取连续两年，求后一年比前一年的保有量增长率大于等于50％的概率；
(2)用函数模型＝x＋对两个变量x，y的关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程.
参考数据：xiyi＝113.4，＝91.
参考公式：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解：(1)连续两年一共5种情况，(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6).
满足后一年比前一年增幅大于等于50％的有3种，(1，2)，(2，3)，(5，6).
故所求概率为.
(2)＝＝3.5，
＝＝4.1.
所以＝＝＝1.56，
所以＝－＝4.1－1.56×3.5＝－1.36.
所以y＝1.56x－1.36.
故所求回归直线方程为：y＝1.56x－1.36.
13.(5分)(交汇融合)具有相关关系的变量x，y满足的线性回归直线方程为＝bx＋a，x，y的数据如下：
x －1 1 3 5
y 0 0.8 1.2 2
则＋的最小值是(　　)
A.4 B.6
C.8 D.9
答案：C
解析：根据题意，变量x，y是正相关，所以b＞0.
又回归直线＝bx＋a过样本中心(2，1)，
所以1＝2b＋a.
所以＋＝(a＋2b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，
当且仅当即时等号成立.故选C.
14.(17分)今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标，从在本院体检的人群中随机抽取了100人，按其免疫力指标分成如下五组：(10，20]，(20，30]，(30，40]，(40，50]，(50，60]，其频率分布直方图如图①所示.今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果.经临床检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注射量x个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图②所示.
(1)健康管理中心从自身免疫力指标在(40，60]内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X表示这3人中免疫力指标在(40，50]内的人数，求X的分布列和数学期望；
(2)由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以健康管理中心抽取的100人作为普通人群的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位.
附：对于一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计值分别为＝＝，＝－.
解：(1)由直方图知，自身免疫力指标在(40，50]内的人数为0.008×10×100＝8，
在(50，60]内的人数为0.002×10×100＝2，则X的可能取值为1，2，3，
其中P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)由散点图知，5组样本数据(x，y)分别为(10，30)，(30，50)，(50，60)，(70，70)，(90，90)，且x与y具有线性相关关系，
因为＝(10＋30＋50＋70＋90)＝50，
＝(30＋50＋60＋70＋90)＝60，
则＝＝，
＝60－×50＝25，
所以回归直线方程为＝0.7x＋25.
由直方图知，免疫力指标的平均值为15×＋25×＋35×＋45×＋55×＝27.
由≤27×3＝81，得0.7x＋25≤81，解得x≤80.
据此估计，疫苗注射量不应超过80个单位.

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