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单元检测卷(四)　统计
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知变量x和y的回归直线方程为 ＝0.202 1x＋0.202，变量y与z负相关.下列结论中正确的是(　　 )
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关
D.x与y负相关，x与z正相关
2.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄(岁) 3 4 5 6 7 8 9
身高(cm) 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.0
由此她建立了身高与年龄的回归模型＝7.19x＋73.93，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是(　　)
A.她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
B.她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上
C.她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右
D.她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
3.为了考察两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得到的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s、t，那么下列说法正确的是(　　)
A.直线l1和l2一定有公共点(s，t)
B.直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C.必有直线l1∥l2
D.l1和l2必定重合
4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y (万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
5.已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得χ2＝7.236，参照下表：得到的正确结论是(　　 )
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B.有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C.在犯错误的概率不超过0.5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 2 3 4 5 6
销售额y(万元) 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为＝6.3x＋，下列说法正确的是(　　 )
A.回归直线＝6.3x＋必经过样本点(2，19)、(6，44)
B.这组数据的样本中心(，)未必在回归直线＝6.3x＋上
C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D.据此模型预测广告费用为7万元时销售额为50.9万元
8.假设有两个分类变量X与Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A.a＝2、b＝3、c＝5、d＝4
B.a＝5、b＝2、c＝4、d＝3
C.a＝5、b＝3、c＝2、d＝4
D.a＝5、b＝4、c＝3、d＝2
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.)
9.月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y(简称“月出时间”，单位：小时)与天数x(x为阴历日数，x∈N*，且0≤x≤30)的有关数据，如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.8x＋.
x 2 4 7 10 15 22
y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天(即23日0：00)才升起.则(　　 )
A.样本中心为(10，14.4)
B.＝6.8
C.预报月出时间为16时的那天是阴历13日
D.预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00
10.有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
参考公式：χ2＝
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　 )
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为20， b的值为45
C.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
11.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则下列说法中正确的是(　　)
A.由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本中心(，)
B.由样本数据得到的回归方程＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)的偏差(yi－xi－)2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的
C.若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.936 2，则变量y和x之间具有线性相关关系
D.以上说法都不正确
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.)
12.为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
年收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
年支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8
根据上表可得回归直线方程 ＝0.76x＋0.4，则t＝　　　　.
13.(双空题)在新冠病毒疫苗研发过程中，需要利用基因变异小鼠进行动物试验.现随机抽取100只基因变异小鼠对某种新冠病毒疫苗进行试验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：
被新冠病毒感染 未被新冠病毒感染 合计
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30
合计 a 100
表中a的值为　　　　　；计算可知，在犯错误的概率最多不超过　　　　　的前提下，可认为“给基因变异小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果”.
参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
14.(双空题)商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果.它与项目落地国的商业环境、政府执政能力、法律、生态等都有重大的关联.如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表.
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x(亿元) 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y(亿元) 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为　　　　　　，并根据回归直线方程预计在该国投资15亿元所获得的利润是　　　　亿元.
参考数据和公式：(xi－)2＝10，中国(xi－)(yi－)＝20，南亚某国(xi－)(yi－)＝7，＝，＝－.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查.得到如下列联表.
喜爱某种食品 不喜爱某种食品 合计
男生 20
女生 10
合计 60
(1)请将上述列联表补充完整﹔
(2)判断是否有99.9％的把握认为喜爱某种食品与性别有关；
(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.(15分)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离)，无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2.
表1
停车距离d(米) (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
频数 26 40 24 8 2
表2
平均每毫升血液酒精含量x(毫克) 10 30 50 70 90
平均停车距离y(米) 30 50 60 70 90
请根据表1、表2回答以下问题：
(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程＝x＋；
(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”.
17.(15分)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继2G、3G和4G系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对5G相关知识的了解程度，随机抽取男女学生各50人进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示，并规定得分在80分以上为“比较了解”.
(1)求a的值，并估计该大学学生对5G比较了解的概率；
(2)已知对5G比较了解的样本中男女比例为4∶1.完成下列2×2列联表，并判断是否有超过99.5％的把握认为对5G比较了解与性别有关；
比较了解 不太了解 合计
男性
女性
合计
(3)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，求至少有1人得分低于40分的概率.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.(17分)十四五发展纲要提出要推进能源革命，建设清洁低碳、安全高效的能源体系，加快发展非化石能源，大力提升风电、光伏发展规模，有序发展海上风电.海上风电相比与陆上风电有着一定的优势，海上风电可装的风机更大，风资源利用率更高，近几年我国海上风电事业发展良好.下面是近五年我国海上风电发展情况表和对应的散点图.
2021－2025年中国海上风电新增装机容量及累计装机容量表(单位：万千瓦)
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代号t 1 2 3 4 5
新增装机容量u 31 69 140 219 306
累计装机容量v 104 173 313 532 838
(1)为了分析中国海上风电装机容量的情况，建立了＝bt＋a和＝dt＋c两个线性回归模型，你认为用哪个线性回归模型更可靠，并说明理由；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，求出回归方程，并根据这个回归模型回答下列问题：
(ⅰ)2026年我国海上风电新增装机容量的预测值是多少？
(ⅱ)预计至少要到哪一年，我国海上风电累计装机容量超过2 000万千瓦？
参考数据：
ui uiti vi viti
765 2 995 1 960 7 707
参考公式：回归方程＝x＋中＝＝，＝－.
19.(17分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1，2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(Ii－)2 (Wi－)2 (Ii－) (Di－) (Wi－) (Di－)
1.04×10－11 45.7 －11.5 1.56×10－21 0.51 6.88×10－11 5.1
表中Wi＝lg Ii，＝Wi.
(1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程＝＋·lg I；
(2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－·.
单元检测卷(四)　统计
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知变量x和y的回归直线方程为 ＝0.202 1x＋0.202，变量y与z负相关.下列结论中正确的是(　　 )
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关
D.x与y负相关，x与z正相关
答案：A
解析：因为直线＝0.202 1x＋0.202的斜率大于0，故x与y正相关，
因为y与z负相关，可设＝y＋，＜0，
则＝y＋＝0.202 1x＋0.202＋，
因为0.202 1＜0，故x与z负相关.故选A.
2.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄(岁) 3 4 5 6 7 8 9
身高(cm) 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.0
由此她建立了身高与年龄的回归模型＝7.19x＋73.93，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是(　　)
A.她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
B.她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上
C.她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右
D.她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
答案：C
解析：因为身高与年龄的回归模型为＝7.19x＋73.93，
所以可以预测孩子10岁时的身高是＝7.19×10＋73.93＝145.83(cm)，
则可以估计她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右.故选C.
3.为了考察两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人得到的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s、t，那么下列说法正确的是(　　)
A.直线l1和l2一定有公共点(s，t)
B.直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)
C.必有直线l1∥l2
D.l1和l2必定重合
答案：A
解析：回归直线一定经过样本中心(，)，即(s，t)点.故选A.
4.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y (万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A.63.6万元 B.65.5万元
C.67.7万元 D.72.0万元
答案：B
解析：因为＝＝3.5(万元)，＝＝42(万元)，
所以＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为＝9.4x＋9.1，
所以当x＝6(万元)时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元).故选B.
5.已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：x0，y0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程＝x＋必过样本中心(，)，
所以(，)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(，)外还可能有其它样本点.故选B.
6.利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得χ2＝7.236，参照下表：得到的正确结论是(　　 )
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B.有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C.在犯错误的概率不超过0.5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D.在犯错误的概率不超过0.5％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
答案：B
解析：因为χ2＝7.236＞6.635，所以有99％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选B.
7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 2 3 4 5 6
销售额y(万元) 19 25 34 38 44
根据上表可得回归直线方程为＝6.3x＋，下列说法正确的是(　　 )
A.回归直线＝6.3x＋必经过样本点(2，19)、(6，44)
B.这组数据的样本中心(，)未必在回归直线＝6.3x＋上
C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元
D.据此模型预测广告费用为7万元时销售额为50.9万元
答案：D
解析：回归直线＝6.3x＋，不一定经过任何一个样本点，故 A错误；
由最小二乘法可知，这组数据的样本中心(，)一定在回归直线＝6.3x＋上，故B错误；
回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错误；
＝(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝(19＋25＋34＋38＋44)＝32，
将(4，32)代入＝6.3x＋可得＝6.8，则回归方程为＝6.3x＋6.8，
x＝7时，＝6.3×7＋6.8＝50.9，故D正确.
故选D.
8.假设有两个分类变量X与Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A.a＝2、b＝3、c＝5、d＝4
B.a＝5、b＝2、c＝4、d＝3
C.a＝5、b＝3、c＝2、d＝4
D.a＝5、b＝4、c＝3、d＝2
答案：C
解析：A选项中χ2≈0.31，B选项中χ2≈0.31，C选项中χ2≈1.17，D选项中χ2≈0.026，
所以C选项数据能说明X与Y有关的可能性最大.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.)
9.月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y(简称“月出时间”，单位：小时)与天数x(x为阴历日数，x∈N*，且0≤x≤30)的有关数据，如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.8x＋.
x 2 4 7 10 15 22
y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24
其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天(即23日0：00)才升起.则(　　 )
A.样本中心为(10，14.4)
B.＝6.8
C.预报月出时间为16时的那天是阴历13日
D.预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00
答案：AD
解析：＝＝10，＝＝14.4，
故样本中心为(10，14.4)，故A正确；
将样本中心为(10，14.4)代入＝0.8x＋得＝6.4，故B错误；
因为＝0.8x＋6.4，当y＝16求得x＝12，月出时间为阴历12日，故C错误；
因为阴历27日时，即x＝27，代入＝0.8×27＋6.4＝28，日出时间应该为阴历28日早上4：00，故D正确.故选AD.
10.有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀 非优秀 总计
甲班 10 b
乙班 c 30
P(χ2≥x0) 0.050 0.010 0.001
x0 3.841 6.635 10.828
参考公式：χ2＝
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　 )
A.列联表中c的值为30，b的值为35
B.列联表中c的值为20， b的值为45
C.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据，若按95％的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
答案：BC
解析：由题意，在全部的105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，
所以成绩优秀的人数为105×＝30人，非优秀的人数为105－30＝75人，
所以c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，
则χ2＝＝≈6.110＞3.841，
若按95％的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”.
故选BC.
11.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)，则下列说法中正确的是(　　)
A.由样本数据得到的回归方程＝x＋必过样本中心(，)
B.由样本数据得到的回归方程＝x＋和各点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)的偏差(yi－xi－)2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的
C.若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.936 2，则变量y和x之间具有线性相关关系
D.以上说法都不正确
答案：ABC
解析：回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，回归直线方程不ー定过原始数据点，但一定过样本中心，故A、B正确；相关系数主要是衡量两个变量之间线性关系的强弱，｜r｜越接近1，两个变量之间线性关系就越强，越接近0，两个变量之间线性关系就越弱，通常，当｜r｜＞0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，故C正确.故选ABC.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.)
12.为了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
年收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
年支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 t 9.8
根据上表可得回归直线方程 ＝0.76x＋0.4，则t＝　　　　.
答案：8.5　
解析：分别求出年收入和年支出的平均数，
可得＝＝10，
＝＝，
代入 ＝0.76x＋0.4 可得＝0.76×10＋0.4，解得t＝8.5 .
13.(双空题)在新冠病毒疫苗研发过程中，需要利用基因变异小鼠进行动物试验.现随机抽取100只基因变异小鼠对某种新冠病毒疫苗进行试验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：
被新冠病毒感染 未被新冠病毒感染 合计
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30
合计 a 100
表中a的值为　　　　　；计算可知，在犯错误的概率最多不超过　　　　　的前提下，可认为“给基因变异小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果”.
参考公式及数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
答案：30　0.05
解析：完善2×2列联表如下：
被新冠病毒感染 未被新冠病毒感染 合计
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合计 30 70 100
所以a＝30，
因为χ2＝
＝≈4.762.
又4.762＞3.841，4.762＜5.024，
所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“给基因变异小鼠注射该种疫苗能起到预防新冠病毒感染的效果”.
14.(双空题)商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果.它与项目落地国的商业环境、政府执政能力、法律、生态等都有重大的关联.如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表.
项目落地国 中国 南亚某国
投资额x(亿元) 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14
利润y(亿元) 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15
请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为　　　　　　，并根据回归直线方程预计在该国投资15亿元所获得的利润是　　　　亿元.
参考数据和公式：(xi－)2＝10，中国(xi－)(yi－)＝20，南亚某国(xi－)(yi－)＝7，＝，＝－.
答案：＝2x－9.6　20.4
解析：由表中数据可求得，＝＝＝12，
＝＝14.4，＝＝13.4，因此应选择中国.
所以由参考数据和公式可知＝＝2，所以＝14.4－2×12＝－9.6，
所以所求回归直线方程为＝2x－9.6，当x＝15时，y＝2×15－9.6＝20.4.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)为了调查某校学生对学校食堂的某种食品的喜爱是否与性别有关，随机对该校100名性别不同的学生进行了调查.得到如下列联表.
喜爱某种食品 不喜爱某种食品 合计
男生 20
女生 10
合计 60
(1)请将上述列联表补充完整﹔
(2)判断是否有99.9％的把握认为喜爱某种食品与性别有关；
(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有1名男生喜爱某种食品的概率.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：(1)由表可知，100名学生中喜爱某种食品的学生有60人，
其中喜爱某种食品的男生有20人，不喜爱某种食品的女生有10人，
所以喜爱某种食品的女生有40人，
不喜爱某种食品的男生有30人，
则完成列联表如下：
喜爱某种食品 不喜爱某种食品 合计
男生 20 30 50
女生 40 10 50
合计 60 40 100
(2)由(1)得χ2＝＝≈16.667＞10.828，
所以有99.9％的把握认为喜爱某种食品与性别有关.
(3)用分层抽样的方法在喜爱某种食品的学生中抽6人，
则其中男生有20×＝2(人)，分别设为A，B；
女生有40×＝4(人)，分别设为1，2，3，4，
则从这6名学生中随机抽取2人有如下15种结果：AB，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，12，13，14，23，24，34，
其中恰好有1名男生喜爱某种食品有8种结果：A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，
所以所求的概率P＝.
16.(15分)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需的距离)，无酒状态与酒后状态下的实验数据分别列于表1和表2.
表1
停车距离d(米) (10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
频数 26 40 24 8 2
表2
平均每毫升血液酒精含量x(毫克) 10 30 50 70 90
平均停车距离y(米) 30 50 60 70 90
请根据表1、表2回答以下问题：
(1)根据表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；
(2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程＝x＋；
(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的“平均停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”.
参考公式：＝＝，＝－.
解：(1)依题意，驾驶员无酒状态下停车距离的平均数为
15×＋25×＋35×＋45×＋55×＝27.
(2)依题意可得：＝50，＝60，
＝＝0.7，
＝60－0.7×50＝25，则回归方程为＝0.7x＋25.
(3)由(1)知当y＞27×3＝81时认定驾驶员是“醉驾”，
令＞81得0.7x＋25＞81，解得x＞80，
当每毫升血液酒精含量大于80毫克时为“醉驾”.
17.(15分)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继2G、3G和4G系统之后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对5G相关知识的了解程度，随机抽取男女学生各50人进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示，并规定得分在80分以上为“比较了解”.
(1)求a的值，并估计该大学学生对5G比较了解的概率；
(2)已知对5G比较了解的样本中男女比例为4∶1.完成下列2×2列联表，并判断是否有超过99.5％的把握认为对5G比较了解与性别有关；
比较了解 不太了解 合计
男性
女性
合计
(3)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人，再从6人中随机选取2人，求至少有1人得分低于40分的概率.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：(1)根据频率和为1，得(0.004＋0.008＋0.020＋0.028＋0.020＋a＋0.004)×10＝1，
解得a＝0.016.
计算得分在80分以上的频率为(0.016＋0.004)×10＝0.20，
所以估计该大学学生对5G比较了解的概率为0.20.
(2)根据题意知，对5G比较了解的人数有100×0.2＝20，
其中男性为20×＝16(人)，女性为4人，填写列联表如下：
比较了解 不太了解 合计
男性 16 34 50
女性 4 46 50
合计 20 80 100
计算χ2＝＝9＞7.879，
所以有超过99.5％的把握认为“对5G比较了解与性别有关”.
(3)用分层抽样法从得分在50以下的样本中抽取6人，
其中[30，40)内有2人，记为A、B，[40，50)内有4人，分别记为c、d、e、f；
从这6人中随机选取2人，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法；
则至少有1人得分低于40分的基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法；
故所求的概率为P＝＝.
18.(17分)十四五发展纲要提出要推进能源革命，建设清洁低碳、安全高效的能源体系，加快发展非化石能源，大力提升风电、光伏发展规模，有序发展海上风电.海上风电相比与陆上风电有着一定的优势，海上风电可装的风机更大，风资源利用率更高，近几年我国海上风电事业发展良好.下面是近五年我国海上风电发展情况表和对应的散点图.
2021－2025年中国海上风电新增装机容量及累计装机容量表(单位：万千瓦)
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代号t 1 2 3 4 5
新增装机容量u 31 69 140 219 306
累计装机容量v 104 173 313 532 838
(1)为了分析中国海上风电装机容量的情况，建立了＝bt＋a和＝dt＋c两个线性回归模型，你认为用哪个线性回归模型更可靠，并说明理由；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，求出回归方程，并根据这个回归模型回答下列问题：
(ⅰ)2026年我国海上风电新增装机容量的预测值是多少？
(ⅱ)预计至少要到哪一年，我国海上风电累计装机容量超过2 000万千瓦？
参考数据：
ui uiti vi viti
765 2 995 1 960 7 707
参考公式：回归方程＝x＋中＝＝，＝－.
解：(1)模型＝bt＋a更可靠.
原因：从散点图可以看出，u对应的散点图上的点比v对应的散点图上的点更集中在一条直线的附近，说明变量u和t具有更强的线性相关关系.
(2)依题意得＝＝3，＝＝153，＝1＋4＋9＋16＋25＝55，tiui＝2 995，
所以＝＝＝＝70，则＝－＝153－70×3＝－57，
所以＝70t－57.
(ⅰ)当t＝6时，2026年我国海上风电新增装机容量的预测值是＝70×6－57＝363万千瓦.
(ⅱ)当t＝7时，2027年我国海上风电新增裝机容量的预测值是＝70×7－57＝433万千瓦.
当t＝8时，2028年我国海上风电新增装机量的预测值是＝70×8－57＝503万千瓦.
因为838＋363＋433＝1 634＜2 000，838＋363＋433＋503＝1 634＋503＝2 137＞2 000；
所以预计至少要到2028年，我国海上风电累计装机容量超过2 000万千瓦.
19.(17分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D(单位：分贝)与声音能量I(单位：W/cm2)之间的关系，将测量得到的声音强度Di和声音能量Ii(i＝1，2，…，10)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
(Ii－)2 (Wi－)2 (Ii－) (Di－) (Wi－) (Di－)
1.04×10－11 45.7 －11.5 1.56×10－21 0.51 6.88×10－11 5.1
表中Wi＝lg Ii，＝Wi.
(1)根据表中数据，求声音强度D关于声音能量I的回归方程＝＋·lg I；
(2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2，且＋＝1010.已知点P的声音能量等于声音能量I1与I2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－·.
解：(1)令Wi＝lg Ii，先建立D关于W的线性回归方程，
由于＝＝＝10，所以＝－＝160.7，
所以D关于W的线性回归方程是＝10W＋160.7，
即D关于I的回归方程是：＝10·lg I＋160.7.
(2)点P的声音能量I＝I1＋I2，因为＋＝1010，
所以I＝I1＋I2＝10－10·(＋)(I1＋I2)＝10－10·(5＋＋)≥9×10－10.
根据(1)中的回归方程，点P的声音强度D的预测值：
≥10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7＞60，
所以点P会受到噪声污染的干扰.

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