资源简介

模块综合检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)＝0.2，则P(X＜2)＝(　　)
A.0.2 B.0.4
C.0.6 D.0.8
2.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，点M是线段A1D1的中点，点N是线段DD1上靠近点D的三等分点，则＝(　　)
A.＋＋
B.－＋
C.－＋
D.－＋
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
4.某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：＝－3.2x＋，相关系数｜r｜＝0.99，则下列说法错误的是(　　)
A.变量x，y线性负相关且相关性较强
B.＝40
C.当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D.相应于点(10.5，6)的残差约为0.4
5.在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6.宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦”.乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻，现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)＞f'(x)＋1，且f(0)＝2 026，则不等式f(x)－2 025ex＜1的解集为(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(－∞，) D.(，＋∞)
8.已知函数f(x)＝ln x－，下列结论不成立的是(　　)
A.函数f(x)在定义域内无极值
B.函数f(x)在点A(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln 2－8
C.函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点
D.函数f(x)在定义域内有两个零点x1，x2，且x1·x2＝1
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法中正确的是(　　)
A.设随机变量X服从二项分布B(6，)，则P(X＝2)＝
B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A｜B)＝
D.E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
10.若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.(t＋2)ln (t＋3)＜(t＋3)ln(t＋2)
B.(t＋1)t＋2＞(t＋2)t＋1
C.logt(t＋1)＜1＋
D.log(t＋1)(t＋2)＞log(t＋2)(t＋3)
11.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了“诵经典，获新知”的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①所示，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②所示.则下列结论正确的是(　　)
A.经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
B.平面BCF∥平面ADE
C.直线AD与平面DEF所成的角为
D.球面上的点离球托底面DEF的最小距离为＋－1
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.)
12.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X～N(100，225).若成绩低于m＋10的同学人数和高于2m－20的同学人数相同，则整数m的值为　　　　　.
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为的正方形.E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P-AMEN体积的最小值为　　　　　.
14.设函数f(x)＝ex－cos x－2a，g(x)＝x，若存在x1，x2∈[0，π]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则x2－x1的最小值为1时，实数a＝　　　.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)某学校举行“英语风采”大赛，有30名学生参加决赛.评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分.若设“口语表达”得分为X，“演讲内容”得分为Y，比赛结束后，统计结果如表：
得分人数 Y演讲内容
6分 7分 8分 9分 10分
X口语表达 6分 1 1 0 0 0
7分 3 2 1 2 0
8分 1 2 3 1 0
9分 1 m 2 1 1
10分 0 0 1 n 1
(1)从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率；
(2)若“口语表达”得分X的数学期望为.求：
(ⅰ)m，n的值；
(ⅱ)这30名参赛学生最后得分的数学期望.
16.(15分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为正三角形，AB＝AA1＝2，E是BB1的中点.
(1)求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；
(2)求二面角B-AC1-E的余弦值.
17.(15分)平行四边形ABCD中(图①)，∠A＝60°，AB＝2AD，将△ABD以BD为折痕折起，使得平面A'BD⊥平面BCD，如图②.
(1)证明：平面A'BC⊥平面A'BD；
(2)M为线段A'C上靠近A'的三等分点，求二面角M-BD-C的余弦值.
18.(17分)一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化.近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村.
(1)现抽样调查某市所辖的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如表：
已覆盖 未覆盖
A地 20 80
B地 25 75
视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地5G已覆盖的村多的概率；
(2)该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 283 340 428 547 701 905 1 151 1 423 1 721 2 109 2 601 3 381
探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型＝拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程.(的值精确到0.01).
附：设u＝ln y，则ui＝ln yi，(i＝1，2，…，12)，≈1 299.17，≈6.88，(xi－)2＝143，(xi－)(yi－)＝37 238，(xi－)(ui－)≈32.42，
对于样本(xi，yi)，(i＝1，2，…，n)的线性回归方程＝x＋有＝，＝－.
19.(17分)已知函数f(x)＝aln x＋x＋1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式xef(x)≤ex对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
模块综合检测卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X≤0)＝0.2，则P(X＜2)＝(　　)
A.0.2 B.0.4
C.0.6 D.0.8
答案：D
解析：随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(X≤0)＝0.2，
所以P(0≤X≤1)＝0.5－0.2＝0.3，
所以P(1≤X≤2)＝P(0≤X≤1)＝0.3.
所以P(X＜2)＝0.5＋0.3＝0.8.故选D.
2.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，点M是线段A1D1的中点，点N是线段DD1上靠近点D的三等分点，则＝(　　)
A.＋＋
B.－＋
C.－＋
D.－＋
答案：B
解析：因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，M是线段A1D1的中点，点N是线段DD1上靠近点D的三等分点.
所以＝＋，
＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋，
＝＋＝＋＝＋.
令＝m＋n＋p，
则＋
＝m(＋)＋n＋p
＝＋(n＋p)＋(m－p).
故
所以＝－＋.
故选B.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1夹角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：法一：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，
所以＝(－1，0，)，＝(1，1，)，设异面直线AD1与DB1的夹角为α，则cos α＝｜cos＜，＞｜＝＝.故选C.
法二：如图.
连接A1D交AD1于点E.
取A1B1中点F，连接EF，则EF綊B1D，连接D1F，在△D1FE中，∠D1EF为异面直线AD1与DB1的夹角.
由已知EF＝DB1＝＝，
D1E＝AD1＝1，D1F＝＝，
所以cos∠D1EF＝＝.故选C.
4.某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是：＝－3.2x＋，相关系数｜r｜＝0.99，则下列说法错误的是(　　)
A.变量x，y线性负相关且相关性较强
B.＝40
C.当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D.相应于点(10.5，6)的残差约为0.4
答案：D
解析：对于A，由表可知y随x增大而减少，可认为变量x，y线性负相关，且相关性强，故A正确；
对于B，价格＝(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，
销售量＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，
故回归直线恒过定点(10，8)，
故8＝－3.2×10＋ ＝40，故B正确；
对于C，当x＝8.5时， ＝－3.2×8.5＋40＝12.8，故C正确；
对于D，相应于点(10.5，6)的残差约为＝6－(－3.2×10.5＋40)＝－0.4，故D不正确.故选D.
5.在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为某同学每次发球成功的概率为，
且该同学在测试中恰好得5分的情况有两种：
①有2次连续2次发球成功，3次发球失败的情况有6种，
所以所求概率为()2×()3×()2×6＝，
②有连续3次发球成功，3次发球失败，1次发球成功的情况有12种，
所求概率为()3×()3××12＝，
故所求概率为＋＝＝.
故选B.
6.宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦”.乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻，现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻.
设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻为”事件A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B，
因为P(A)＝1－P()＝1－＝，P(AB)＝＝，
所以P(B｜A)＝＝.
故选D.
7.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意的x∈R，都有f(x)＞f'(x)＋1，且f(0)＝2 026，则不等式f(x)－2 025ex＜1的解集为(　　)
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(－∞，) D.(，＋∞)
答案：A
解析：构造函数g(x)＝，则g'(x)＝，
因为f(x)＞f'(x)＋1，所以g'(x)＝＜0，
所以函数g(x)＝在R上单调递减.
因为f(0)＝2 026，所以g(0)＝2 025.
由f(x)－2 025ex＜1，得＜2 025，
即g(x)＜g(0)，所以x＞0.故选A.
8.已知函数f(x)＝ln x－，下列结论不成立的是(　　)
A.函数f(x)在定义域内无极值
B.函数f(x)在点A(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋ln 2－8
C.函数f(x)在定义域内有且仅有一个零点
D.函数f(x)在定义域内有两个零点x1，x2，且x1·x2＝1
答案：C
解析：由题可知函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).
因为f(x)＝ln x－＝ln x－1－，
所以f'(x)＝＋＝＞0.
即函数在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，
因此函数f(x)在其定义域上无极值，故A正确；
由上可知f'(2)＝＝，又f(2)＝ln 2－3，
所以函数f(x)在点A(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2－3)＝(x－2)，
即y＝x＋ln 2－8，故B正确；
令y1＝ln x，y2＝，如图：
显然两个函数的图象有两个交点，
即函数f(x)在定义域内有两个零点，故C错误；
设x∈(0，1)，则∈(1，＋∞).
因为f(x)＝ln x－，
所以f()＝ln －＝－ln x＋.
故f(x)＋f()＝0.
因为有x1，x2使得f(x)＝0成立，
所以f(x1)＝f(x2)＝0.
即f(x1)＋f(x2)＝0，
则可得x1与x2互为倒数，
即x1·x2＝1，故D正确.故选C.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法中正确的是(　　)
A.设随机变量X服从二项分布B(6，)，则P(X＝2)＝
B.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(A｜B)＝
D.E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
答案：BC
解析：对于A，随机变量X服从二项分布B(6，)，则P(X＝2)＝)4()2＝，故A错误；
对于B，随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.9－0.5＝0.4，故B正确；
对于C，事件A＝“4个人去的景点互不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P(AB)＝，P(B)＝，所以P(A｜B)＝＝，故C正确；
对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D错误.故选BC.
10.若实数t≥2，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A.(t＋2)ln (t＋3)＜(t＋3)ln(t＋2)
B.(t＋1)t＋2＞(t＋2)t＋1
C.logt(t＋1)＜1＋
D.log(t＋1)(t＋2)＞log(t＋2)(t＋3)
答案：ABD
解析：令f(x)＝，则f'(x)＝，
当x＞e时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减，
当0＜x＜e时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增，
因为t≥2，t＋3＞t＋2＞e，
则＜，
所以(t＋2)ln(t＋3)＜(t＋3)ln(t＋2)，
故A正确；
同理可得＞，
即(t＋2)ln(t＋1)＞(t＋1)ln(t＋2)，
所以(t＋1)t＋2＞(t＋2)t＋1，
故B正确；
令g(x)＝，x≥2，
则g'(x)＝＜0，
所以g(x)在[2，＋∞)上单调递减，
则g(t＋1)＞g(t＋2)，
故＞，
故logt＋1(t＋2)＞logt＋2(t＋3)，
故D正确；
1＋＞logt(t＋1)等价于＞，
即＞，
结合A的讨论，因为t与e的大小不确定，
故C错误.故选ABD.
11.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了“诵经典，获新知”的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①所示，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②所示.则下列结论正确的是(　　)
A.经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为
B.平面BCF∥平面ADE
C.直线AD与平面DEF所成的角为
D.球面上的点离球托底面DEF的最小距离为＋－1
答案：ACD
解析：设球的半径为R，因为球的体积为，
所以R3＝，解得R＝1，
对于A，经过三个顶点A，B，C的球的截面圆，
即是与△A'B'C'全等的三角形的外接圆，如图②所示，
其半径为r＝×1×sin 60°＝，则其面积为πr2＝，故A正确；
对于B，如图②取DF中点K，EF中点H，DE中点N.
连接HK，HB，KC，NF，NA，由已知易证FN⊥平面ADE.
因为平面CDF⊥平面DEF，CK⊥DF，所以CK⊥平面DEF，所以CK⊥FN.
又KH∥DE，所以FN⊥KH.又KH∩CK＝K，
所以FN⊥平面CKHB，所以平面ADE∥平面CKHB.而平面BCF又过直线BC，
故过一条直线不可能有两个平面与已知平面平行，故B错误；
对于C，如图②所示，AN⊥平面DEF，所以DE为AD在平面DEF内射影，
于是∠ADE即为直线AD与平面DEF所成的角，大小为，故C正确；
对于D，如图③所示，O1O＝＝，
O1G＝R－O1O＝1－，AN＝2·sin 60°＝，
所以球离球托底面DEF的最小距离为AN－O1G＝＋－1，故D正确.故选ACD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上.)
12.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X～N(100，225).若成绩低于m＋10的同学人数和高于2m－20的同学人数相同，则整数m的值为　　　　　.
答案：70
解析：由X～N(100，225)，可知正态分布曲线的对称轴为μ＝100，
若成绩低于m＋10的同学人数和高于2m－20的同学人数相同，
则P(X＜m＋10)＝P(X＞2m－20)，
所以＝μ＝100，解得m＝70.
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为的正方形.E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P-AMEN体积的最小值为　　　　　.
答案：
解析：连接MN，交AE于点F，连接AC、BD，交于点O，则F为△PAC的重心，AC＝PA＝PC＝2，
如图所示：
所以AE＝2×＝，所以AE在底面的投影为＝，
所以V四棱锥P-AMEN＝V三棱锥A-MNP＋V三棱锥E-MNP＝S△PMN·＝S△PMN.
当S△PMN最小时，四棱锥P-AMEN的体积取最小值.
设＝λ，＝μ，
则＝，＝，＝＝＋)＝＋.
由M、F、N三点共线知，＋＝1，
所以＋＝＋＝3≥2，
所以｜｜·｜｜≥，
当且仅当＝时取“＝”，
所以V四棱锥P-AMNE＝S△PMN＝××｜｜×｜｜×sin≥×××＝.
即四棱锥P-AMEN体积的最小值为.
14.设函数f(x)＝ex－cos x－2a，g(x)＝x，若存在x1，x2∈[0，π]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则x2－x1的最小值为1时，实数a＝　　　.
答案：－
解析：令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－cos x－x－2a.
由f(x1)＝g(x2)得x2＝－cos x1－2a，
则x2－x1＝－cos x1－x1－2a，
则x2－x1的最小值即求F(x)在[0，π]上的最小值，
F'(x)＝ex＋sin x－1≥0恒成立，x∈[0，π]，
所以F(x)在[0，π]上单调递增，
所以F(x)min＝F(0)＝－2a＝(x2－x1)min＝1，
所以a＝－.
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)某学校举行“英语风采”大赛，有30名学生参加决赛.评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分.若设“口语表达”得分为X，“演讲内容”得分为Y，比赛结束后，统计结果如表：
得分人数 Y演讲内容
6分 7分 8分 9分 10分
X口语表达 6分 1 1 0 0 0
7分 3 2 1 2 0
8分 1 2 3 1 0
9分 1 m 2 1 1
10分 0 0 1 n 1
(1)从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率；
(2)若“口语表达”得分X的数学期望为.求：
(ⅰ)m，n的值；
(ⅱ)这30名参赛学生最后得分的数学期望.
解：(1)因为15＝6＋9＝7＋8＝8＋7＝9＋6，
所以最后得分为15的人数有0＋1＋2＋1＝4，
故从这30名学生中随机抽取1人，这名学生的最后得分为15分的概率为＝.
(2)(ⅰ)由表可知“口语表达”得分X有6分、7分、8分、9分、10分，
且每个分数分别有2人、8人、7人、m＋5人、n＋2人.
所以“口语表达”得分X的分布列为
X 6 7 8 9 10
P
又“口语表达”得分X的数学期望为，
所以＋＋＋＋＝，
化简得9m＋10n＝56.
因为学生共有30人，所以m＋n＝6，
由解得m＝4，n＝2，
因此m＝4，n＝2.
(ⅱ)这30名参赛学生最后得分的分布列为
得分 12 13 14 15 16 17 18 19 20
P
则12×1＋13×4＋14×3＋15×4＋16×9＋17×3＋18×2＋19×3＋20×1＝474，
所以这30名参赛学生最后得分的数学期望为＝.
则这30名参赛学生最后得分的数学期望为.
16.(15分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为正三角形，AB＝AA1＝2，E是BB1的中点.
(1)求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；
(2)求二面角B-AC1-E的余弦值.
解：(1)证明：连接A1C交AC1于点F，取AC的中点G，连接EF，FG，BG.
因为四边形ACC1A1为平行四边形，所以F为A1C的中点.
又G为AC的中点，所以FG＝AA1，FG∥AA1.
又E为BB1的中点，所以BE＝AA1，BE∥AA1，所以BE＝FG，BE∥FG，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
因为△ABC为正三角形，G为AC的中点，所以BG⊥AC.
因为AA1⊥平面ABC，BG 平面ABC，所以BG⊥AA1.
又AC∩AA1＝A，AC，AA1 平面AA1C1C，所以BG⊥平面AA1C1C.
又EF∥BG，所以EF⊥平面AA1C1C.
因为EF 平面AEC1，所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
(2)由(1)得，FG⊥平面ABC，BG⊥AC，
则以G为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则B(0，，0)，A(1，0，0)，C1(－1，0，2)，E(0，，1)，F(0，0，1)，C(－1，0，0)，
所以＝(1，0，1)，＝(－1，，0)，＝(－2，0，2).
因为△ABC为正三角形，AA1＝AB＝2，所以AC＝AA1＝2.
又AA1⊥平面ABC，所以四边形ACC1A1为正方形，所以AC1⊥A1C.
因为平面AEC1⊥平面AA1C1C，平面AEC1∩平面AA1C1C＝AC1，A1C 平面AA1C1C，所以A1C⊥平面AC1E，
所以平面AC1E的一个法向量为＝(1，0，1).
设平面ABC1的法向量n＝(x，y，z)，
所以令y＝1，则x＝，z＝，
所以n＝(，1，)，
所以cos＜，n＞＝＝＝，
由图形可知，二面角B-AC1-E为锐二面角，
所以二面角B-AC1-E的余弦值为.
17.(15分)平行四边形ABCD中(图①)，∠A＝60°，AB＝2AD，将△ABD以BD为折痕折起，使得平面A'BD⊥平面BCD，如图②.
(1)证明：平面A'BC⊥平面A'BD；
(2)M为线段A'C上靠近A'的三等分点，求二面角M-BD-C的余弦值.
解：(1)证明：在△ABD中，设AD＝a，则AB＝2a，
由余弦定理得，
BD＝＝a，
所以AD2＋BD2＝AB2，得AD⊥DB，翻折后有A'D⊥DB.
又因为平面A'BD⊥平面BCD，且平面A'BD∩平面BCD＝DB，
根据平面与平面垂直的性质定理可得，A'D⊥平面BCD.
又因为BC 平面BCD，所以A'D⊥BC.
在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，BC∥AD，
所以BC⊥DB.
因为A'D∩DB＝D，所以BC⊥平面A'BD.
因为BC 平面A'BC，所以平面A'BC⊥平面A'BD.
(2)以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DA'为z轴，建立空间直角坐标系，可设AD＝1，如图所示.
A'D＝1，AB＝2，BD＝，则B(0，，0)，C(－1，，0)，A'(0，0，1).
因为＝＝(－，，－)，
所以M(－，，).
所以＝(－，，)，＝(0，，0).
可取平面BDC的法向量为n＝(0，0，1)，
设平面MDB的法向量为m＝(x，y，z)，则
可取m＝(2，0，1)，
cos＜m，n＞＝＝，
所以二面角M-BD-C的余弦值为.
18.(17分)一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术(5G)的进步就是源于数学算法的优化.近年来，我国加大5G基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村.
(1)现抽样调查某市所辖的A地和B地5G基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如表：
已覆盖 未覆盖
A地 20 80
B地 25 75
视样本的频率为总体的概率，假设从A地和B地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中A地5G已覆盖的村比B地5G已覆盖的村多的概率；
(2)该市2020年已建成的5G基站数y与月份x的数据如表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 283 340 428 547 701 905 1 151 1 423 1 721 2 109 2 601 3 381
探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响，5G基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制，5G基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的5G基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型＝拟合比较合理，请结合参考数据，求5G基站数y关于月份x的回归方程.(的值精确到0.01).
附：设u＝ln y，则ui＝ln yi，(i＝1，2，…，12)，≈1 299.17，≈6.88，(xi－)2＝143，(xi－)(yi－)＝37 238，(xi－)(ui－)≈32.42，
对于样本(xi，yi)，(i＝1，2，…，n)的线性回归方程＝x＋有＝，＝－.
解：(1)用样本估计总体，抽到A地5G覆盖的村概率为，抽到B地5G覆盖的村概率为，
A地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为X，
则X满足二项分布B(2，)，
P(X＝i)＝)i()2－i，i＝0，1，2；
B地抽到的2个村中5G基站覆盖的村个数为Y，
则Y满足二项分布B(2，)，
P(Y＝i)＝)i()2－i，i＝0，1，2.
从A地和B地各随机抽取2个村，这4个村中A地5G已覆盖的村比B地5G已覆盖的村多的概率为：
P＝P(X＝1)P(Y＝0)＋P(X＝2)P(Y＝0)＋P(X＝2)P(Y＝1)
＝×××()2＋()2()2＋()2××＝.
(2)由指数模型＝，设u＝ln y，则u＝ln a＋bx，则u与x是线性相关关系.
＝＝6.5，≈6.88，
(xi－)(ui－)≈32.42，(xi－)2＝143，
所以＝≈≈0.23，ln a＝－≈6.88－0.23×6.5≈5.39，
所以u＝5.39＋0.23x，即y＝e5.39＋0.23x.
19.(17分)已知函数f(x)＝aln x＋x＋1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若不等式xef(x)≤ex对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)因为f(x)＝aln x＋x＋1，则函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f'(x)＝＋1＝，
当a≥0时，f'(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，若0＜x＜－a，则f'(x)＜0，所以f(x)单调递减，
若x＞－a，则f'(x)＞0，所以f(x)单调递增，
所以f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＜0时，f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增.
(2)由xef(x)≤ex，得xe(aln x＋x＋1)≤ex，
因为x＞1，所以aln x＋x＋1≤x－eex，ln x＞0，
所以a≤.
因为x－eex－x－1＝ex－x－1＝ex－eln x－x－1.
设g(x)＝ex－x－1，则g'(x)＝ex－1，
当x＜0时，g'(x)＜0，则g(x)单调递减，
当x＝0时，g'(x)＝0，
当x＞0时，g'(x)＞0，则g(x)单调递增，
所以x＝0是g(x)的极小值点，也是g(x)的最小值点，
所以g(x)min＝g(0)＝0，
即对任意x∈R，ex≥x＋1(当且仅当x＝0时等号成立).
用x－eln x替换x，
所以ex－eln x≥x－eln x＋1，即ex－eln x－x－1≥－eln x(当且仅当x－eln x＝0时等号成立).
令h(x)＝x－eln x，则h'(x)＝1－＝，
所以h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
所以x＝e是h(x)的极小值点，也是h(x)的最小值点，
所以h(x)min＝h(e)＝0，即当且仅当x＝e时，x－eln x＝0.
所以≥＝－e，即()min＝－e(当且仅当x＝e时等号成立)，
所以a≤－e时，xef(x)≤ex对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，故实数a的取值范围是(－∞，－e].0

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