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2010年数学高考试题评分细则
一、填空题（13~16题）
文科：(13)不等式的解集是 .
(14)已知为第二象限的角，,则 .
(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .
理科：(13)不等式的解集是 .
(14)已知为第三象限的角，,则 .
(15)直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .
理科：13．或 ；14．；15．或；16．或
文科：13． 或 或 ； 14． ；或 　；　15． 30；　　16． ， 或 ；
二、解答题
文17．（本小题满分10分）
记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.
解法1：设数列的公差为. 依题意有
　 ①　　　 ② 　　　　　　 …………2分
即 ③　　　 ④　
解得. ⑤　　 ……………………………………6分
因此 ⑥　或 　.⑦………………………..10分
解法2：设数列的公差为. 依题意有
① 即 ③ …………………………………2分
又 　②　即 ④ ……………………4分
解得 . ⑤ ……………………………………6分
因此 ⑥　或 　.⑦………………………..10分
解法3：设数列的公差为。依题意有
① 解得 ③ ………………………………… 2分
又 　　② 即 ④………………………… 4分
解得 或 . ⑤ ………………………………… …6分
因此 ⑥　或 　.⑦…………… …………..10分
解法4：设数列的公差为。依题意有
① 解得　　 ③ ……………… ………… 2分
又 　　② 即 ④ …………………… 4分
解得 或 ， 或0 ⑤ ………………………………… …..6分
因此 ⑥　或 　.⑦…………… …………..10分
说明：（1）①式可写为或；
（2）方法一中的④式可写为或；
（3）①式或③式正确，各给1分，全正确给2分；
（4）⑤式正确，①②式或③④式正确，则到此处给6分；
（5）⑤式不正确（指⑤式中的值没有完全对或一个都不对），则看前面的①—④式：如果有③式，不管①式是否有，给③式相应的2分；如果有④式，不管②式是否有，给④式相应的2分；
（6）⑤式中的值有求对的，但有不完全对，给⑤式相应的1分；
（7）⑥式或⑦式正确，各给2分；
（8）⑥式或⑦式只要是只含变量n的多项式，且能化为答案所给形式的，视为正确。
理17、文18．(本小题满分理10分、文12分)
已知△ABC的内角，及其对边，满足，求内角．
解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理
解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理
……2分
得sinA + sinB = cosA + cosB，移得项sinA－cosA = cosB－sinB ………4分
由辅助角公式（两角和与差公式）得
……………6分
所以 　………………8分
又因为，，
所以 所以 所以 ………………10分
另：或 ………………8分
又因为，，
所以 所以 所以 ………………10分
另：或 ………………8分
又因为，，
所以 所以 所以 ………………（10分）
解法2：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理 …………2分
得sinA + sinB = cosA + cosB，移得项sinA－cosA = cosB－sinB … ……………4分
两边平方得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB ……………6分
由此可知A、B均为锐角，且sin2A = sin2B ………………8分
又因为，得2A=2B或2A+2B=
所以 A=B 代入原式得A=B=从而C= 或 A+B=即C= …………… …10分
解法3：由已知可得a+b= a +b ………………2分
由正弦定理 可得a+b = c + c …… ……4分
由余弦定理可得a+b = （+） …………6分
化简可得sinC=即sinC+cosC=1 ……………8分
平方可得sinC cosC=0 又因 所以C= ……………10分
解法4：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理 ………2分
得 sinA + sinB = cosA + cos B ……………4分
所以 （sinA + sinB） = （cosA + cos B）
（sinA + sinB） = （cosA + cos B）
（sinA + sinB） = （cosA + cos B）
（sinA + sinB） = （cosA + cos B） ……………6分
由前两个式子可得 ，由后两个式子可得 ，进而得 sin2A = sin2B ……………8分
又因为 得2A=2B 或 2A+2B=
所以 A=B 代入原式得A=B=从而C= 或 A+B=即C= . … ……10分
说明：（1）文科在第1、2个得分点处分值分别为3、6分，其余依次累加。
（2）用和差化积公式求解也给分；
（3）若直接令A=B=，然后代入解得结果给2分；
理18．(本小题满分12分)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
(I) 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II) 记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．
（1）解法1：记表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；表示事件：稿件能通过复审专家的评审；表示事件：稿件被录用.
则， ………………2分
，
P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)=P(A)+P(B)P(C) ………………4分
……………………6分
解法2：稿件未通过两位初审专家评审的概率为： …2分
稿件恰能通过一位初审专家的评审且未通过复审专家的评审的概率为：
…………… …4分
稿件被录用的概率为： …………6分
（2），其分布列为：

……………………10分
期望
或 ………………12分
说明：（1）第（1）问中，没有叙述不扣分；
（2）6～10分段中5个概率，式子对但得数错不扣分，甚至可以只用组合数来表示而无需算出结果；
（3）6～10分段中5个概率，式子全对得4分，不全对得2分，全不对得0分；
（4）第（1）问中结果错误，6～10分段中5个概率按错误结果带入全对者得2分，否则不得分；
（5）期望式子全对，结果计算错误扣1分。
文19．(本小题满分12分)
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．
（1）解法1：记表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；表示事件：稿件能通过复审专家的评审；表示事件：稿件被录用.
则 ， ………………2分
，
P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC)=P(A)+P(B)P(C)………………4分
……………………6分
解法2： 稿件未通过两位初审专家评审的概率为： …2分
稿件恰能通过一位初审专家的评审且未通过复审专家的评审的概率为：
………………4分
稿件被录用的概率为： …………6分
（2）解法1：记表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用；则

解法2：记表示事件：4篇稿件中恰有2篇被录用；表示事件：4篇稿件中恰有3篇被录用；表示事件：4篇稿件中恰有4篇被录用；表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用；

说明：（1）两问中没有叙述不扣分；
（2）解法2中8～10分段中3个概率，对2个以上给10分；
（3）第（1）问中结果错误，8～10分段中按错误结果带入全对者得2分，否则不得分。
理19、文20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
解法1:（1）连结BD, 取DC的中点G, 连结BG, 由此知DG=GC=BG=1, 即为直角三角形, 故. …2分
又底面, 故, 所以BC平面BDS, BCDE.
作BKEC, K为垂足, 因平面平面, 故BK平面EDC, BKDE. DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直. DE 平面SBC, DE EC, DE SB. ………………4分
SB =, DE =, EB =， 所以,SE=2EB. ……6分
（2）由SA=, AB=1, SE=2EB,ABSA知AE=1,又AD=1，故为腰三角形.
取ED中点F,连结AF,则AFDE,连结FG, 则FG//EC, FGDE. 所以, AFG是二面角A-DE-C的平面角. ……………9分
连结AG, AG=, FG=, AF=,, …………11分
所以二面角A-DE-C的大小为120o. ……………12分
解法2：（1）以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,建立直角坐标系D-xyz.设A(1,0,0),则B(1,1,0), C(0,2,0), S(0,0,2) …2分
,.
设平面SBC的法向量为, 由,得
,. 故,. 令,则，，. 又设（），则,
. . ……………4分
设平面CDE的法向量为，则，.
故，. 令，则.
由平面平面得, ，，故SE=2EB. ………6分
（2）由（1）知,取DE中点F,则, , 故,由此得. 又, 故，由此得
，向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角. ……………9分
, ………11分
所以二面角A-DE-C的大小为120o. ……………12分
解法3：（2）平面ADE的法向量, ……………8分
平面CDE的法向量，向量与的夹角等于二面角A-DE-C的平面角. ……………10分
， …………11分
所以二面角A-DE-C的大小为120o. ……………12分
说明：（1）在求二面角时，找到角得2分，简单证明得3分；
（2）第一问用传统方法证明并已得分，则第二问中建立坐标系这一步就不给分，若第一问用传统方法证明但没有得分，则第二问中建立坐标系这一步就给分；
（3）本题中，没有向量标记的均不扣分。
理20．(本小题满分12分)
已知函数.
(I) 若，求的取值范围；
(II)证明： .
（1）解法1： ……………………2分

得 . 由题设 整理得， …………3分
令，
当0<<1时,>0,递增，当时,,递减. 所以，是的最大值点 ……………5分
，所以 ……………6分
解法2： …………2分
得，. 由题设 整理得，…………3分
令 ，两者图像相切、相离时，成立. 令切点为，则 得. 得， ……………5分
当时，与相切，当>-1时两者图像相离，且的图像在的图像上方. 所以， ……………6分
（2）解法1：由（1）知，得，
当时， ……………8分
……………9分
当时， ………11分

…………12分
解法2： …………8分
当时，，递减
，递增， ……10分
同理 当时，，递增
递增，， …………12分
解法3：，当时， ………8分
递增，， …9分
当时，令，，递减
， …………11分
递增，， …………12分
解法4：令，
， ………8分
当时，，递减，，递增
，递减 ………10分
同理，当时， ………12分
说明：8分段中，三个导数只要有一个求对就给2分.
解法5：令， …8分
当时，，递减， ………9分
当时，令，，
递增， ………11分
递增，，递增， …12分
文21．(本小题满分12分)
已知函数
（I）当时，求的极值;
（II）若在上是增函数，求的取值范围.
解：（1） -----------------2分
当时，，在内单调减，在内单调增， 在时，有极小值. -------------------4分
所以是的极小值. -------------------5分
（2） 在上，单调增加当且仅当
即 -------------------7分
解法1：（i） 当时，（1）恒成立；
（ii）当时（1）成立， 当且仅当 解得 -----9分
（iii）当时（1）成立， 当且仅当
当且仅当解得. -------------------11分
综上，的取值范围是 -------------------12分
解法2：（i） 当时（1）对任意的恒成立；
（ii）当时（1）成立， 当且仅当
令 单调递减，所以 -------------------9分
（iii）当时（1）成立， 当且仅当
令则单调递减， 单调递增，为最小值点，，所以 -------------------11分
综上，的取值范围是 -------------------12分
说明：（1）(I) 中求导数，对了给2分，错了扣1分；（只要求导就给分）
（2）(I) 中2-4分段中由 得到给1分；
（3）(I) 中结果多了扣1分；
（4）(II) 对单调增给出了，给2分；若是扣1分；（无论几个式子中，只要有一个无等号，就扣1分，这是根据中学教师要求设置的）
（5）(II) 中给出，各给2分；
（6）其它方法相应给分.
理21、文22．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .
(I) 证明：点F在直线BD上；
(II) 设，求的内切圆M的方程.
(I)解法1：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x=my－1（m≠0）. ….1分
将x=my－1代入y2=4x并整理得y2－4my+4=0，从而y1+y2=4m，y1y2=4.① ………….2分
直线BD的方程为y－y2=， ……………….4分
即 y－y2=. 令y=0，得x==1.
所以点F（1，0）在直线BD上. 　　 　　………………5分
解法2-1：若证明直线DF与DB斜率相等同样给分
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），又F（1，0）
，（）， ……….2分
只须证明 ，即,
设l的方程为x=my－1（m≠0），代入y2=4x并整理得y2－4my+4=0，
从而　　y1+y2=4m，y1y2=4. ① 　　　　… …………….4分
利用①式可验证 ，所以点F（1，0）在直线BD上. …………5分
解法2-2：可证，即， ……….2分
即，y1（my2－1）+y2（my1－1）= y1+y2，可验证成立.
所以点F（1，0）在直线BD上. ………………5分
说明： 也可
解法3-1：(用=或=同样给分)
略证：=（,），=（,），若=，
则须证 ， ………2分
得，可验证成立. 所以点F（1，0）在直线BD上. …………5分
说明： =0 也可.
解法3-2：=（,），=（,），若=，
则须证， ………2分
得，可验证成立. 所以点F（1，0）在直线BD上.……………5分
说明： 也可.
解法4：证明
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），又F（1，0），，因为= …… 2分
==，故.
所以点F（1，0）在直线BD上. 　　　 　………………5分
解法5：设法不同
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），l的方程为y=k(x+1)（k≠0） ……1分
将y=k(x+1) 代入y2=4x并整理得k y2－4y+4 k =0，从而y1+y2=，y1y2=4.（下同）2分
解法6：设法不同（用x表示y）
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），l的方程为y=k(x+1)（k≠0） ……1分
将y=k(x+1) 代入y2=4x并整理得k 2x2+(2 k 2－4) x+ k 2 =0，
从而　　x1+x2=，x1x2=1. ……2分
直线BD的方程为y－y2=， ……………….4分
即y－y2=. 令y=0，得x==1.
所以点F（1，0）在直线BD上. ………………5分
（Ⅱ）解法1：由①知，x1+x2=( m y1－1)＋(my2－1)=4m2－2，x1x2=( m y1－1)( m y2－1)=1.
因为= (x1－1，y1)，= (x2－1，y2)，＝(x1－1)(x2－1) + y1y2 = x1x2－(x1+x2) +1+ 4 = 8－4m2， ..... 7分
故8－4m2=，解得m=±.
所以l的方程为3x+4y+3=0，3x－4y+3=0.　 　　　　　 …......................8分
又由①知 　　y2－y1=±=±，故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为3x+y－3=0，3x－y－3=0. ………….…10分
因为KF为∠BKD的平分线， 故可设圆心Ｍ(t，0)(－1由得. .........11分
故圆Ｍ的半径r=. 所以圆Ｍ的方程为 …..…………12分
解法2：设法不同（用x表示y）
由①知, 12==4，因为＝(1-1,1), =(2-1, 2)，
所以·＝(1-1)( 2-1)+12=12－(1+2)+1+12=1-+1+4
=6-=， …....................... 7分
解得2=，所以=±.所以的方程为3+4+3=0,3-4+3=0， .................8分
又由①知，所以直线BD的斜率为.
因而直线BD的方程为3x+y－3=0，3x－y－3=0. ………….…10分
因为KF为∠BKD的平分线， 故可设圆心Ｍ(t，0)(－1故圆Ｍ的半径r=.所以圆Ｍ的方程为. ..…………12分
说明：不舍，两个圆Ｍ的方程扣1分.
理22．(本小题满分12分)
已知数列中， .
（I）设，求数列的通项公式；
（II）求使不等式成立的的取值范围.
解法1：（I）， 3分
所以是首项为，公比为4的等比数列，…5分
……………6分
（II） 由得 ……………8分
用数学归纳法证明：当时，.
（i）当时，，命题成立；
（ii）假设当时，，则当时，.
故由(i)、(ii)可知当时，. ……………9分
当时，令，当时，. ……………11分
当时，，且，于是当时，. 因此不符合要求.
所以的取值范围是. ……………12分
解法2：（I） ，，，
因此是首项为，公比为的等比数列. ……………5分
由此可得 ……………6分
（II）由得 ……………8分
用数学归纳法证明：当时，.
（i）当时，，命题成立；
（ii）设当时，，则当时，.
故由(i)、(ii)可知当时，. ……………9分
令，故是方程的两个根，
所以，由此可得. 于是当时，.…11分
另一方面，当时，不妨设.
考虑到是方程的两个根. 因此.
若时，所有，则由
可得,,
于是，当时，，矛盾.
综合以上讨论可得的取值范围是. ……………12分

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