资源简介

数学　必修 第三册 RJ
8.1.1　向量数量积的概念
一、选择题
1．若|a|＝2，|b|＝，〈a，b〉＝60°，则a·b＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
3．已知向量a在b上的投影的数量为－6，|a|＝12，则向量a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
4．已知向量a，b，且|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a在b上的投影是(　　)
A．－2 B．－2b
C．－ D．－b
5．(多选)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，则下列结论中正确的是(　　)
A．·(－)＝0
B．·<0 △ABC为钝角三角形
C．·＝csinB
D．·(－)＝a2
二、填空题
6．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝1，C＝30°，则·＝________．
7．在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足BD＝2CD，AD⊥BC，则在上的投影是________(用表示)．
8．已知A，B是圆C上的两点，弦AB的长度为2，则·＝________，若在上的投影为，则||＝________．
三、解答题
9．已知|a|＝1，b2＝4，a与b的夹角为θ.满足下列条件时，分别求a与b的数量积．
(1)a⊥b；
(2)a∥b；
(3)a与b的夹角为150°.
10．已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
11．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
12．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在上的投影的数量；
(3)在上的投影的数量．
13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，且·＝5，求||.
14．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ，求θ的取值范围．
8.1.1　向量数量积的概念
一、选择题
1．若|a|＝2，|b|＝，〈a，b〉＝60°，则a·b＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
答案：A
解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××＝.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝(　　)
A．－16 B．－8
C．8 D．16
答案：D
解析：解法一：∵△ACB为直角三角形，∴在上的投影为，∴·＝2＝16.故选D.
解法二：∵·＝||||cosA，△ACB为直角三角形，∴·＝||||·＝||2＝16.故选D.
3．已知向量a在b上的投影的数量为－6，|a|＝12，则向量a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
答案：B
解析：依题意，|a|cos〈a，b〉＝－6，∴cos〈a，b〉＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
4．已知向量a，b，且|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则向量a在b上的投影是(　　)
A．－2 B．－2b
C．－ D．－b
答案：D
解析：由题设，得cos〈a，b〉＝＝－，则向量a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉·＝－b.故选D.
5．(多选)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，则下列结论中正确的是(　　)
A．·(－)＝0
B．·<0 △ABC为钝角三角形
C．·＝csinB
D．·(－)＝a2
答案：ACD
解析：因为－＝，且AH⊥BC，所以·(－)＝0，故A正确；在△ABC中，由·<0，只能得出角B为锐角，不能判断出△ABC的形状，故B不正确；是的单位向量，依据数量积的几何意义可知·为在上的投影的数量，为bsinC＝csinB，故C正确；因为－＝，所以·(－)＝||2＝a2，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝1，C＝30°，则·＝________．
答案：－
解析：·＝||||cos(180°－30°)＝abcos150°＝－.
7．在△ABC中，D是BC边上的一点，且满足BD＝2CD，AD⊥BC，则在上的投影是________(用表示)．
答案：
解析：如图，因为AD⊥BC，在上的投影是，又BD＝2CD，所以＝，所以在上的投影是.
8．已知A，B是圆C上的两点，弦AB的长度为2，则·＝________，若在上的投影为，则||＝________．
答案：2　
解析：过点C作CD⊥AB于点D，则在上的投影为，易知||＝||＝1，所以·＝||||cos〈，〉＝||·||＝2×1＝2.又在上的投影为，所以·＝||2＝2，所以||＝.
三、解答题
9．已知|a|＝1，b2＝4，a与b的夹角为θ.满足下列条件时，分别求a与b的数量积．
(1)a⊥b；
(2)a∥b；
(3)a与b的夹角为150°.
解：因为b2＝4，所以|b|＝2.
(1)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，由已知及数量积公式，得a·b＝|a||b|cos90°＝0.
(2)当a∥b时，
若a与b同向，则其夹角为0°，
此时a·b＝|a||b|cos0°＝2；
若a与b反向，则其夹角为180°，
此时a·b＝|a||b|cos180°＝－2.
(3)当a与b的夹角为150°时，
a·b＝|a||b|cos150°＝－.
10．已知a，b是两个非零向量．
(1)若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角；
(2)若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：(1)∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝6.
又|a|＝3，|b|＝4，
∴|cos〈a，b〉|＝＝＝，
∴cos〈a，b〉＝±.
∵〈a，b〉∈[0，π]，
∴a与b的夹角为或.
(2)如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，使||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时＝a＋b，＝a－b.由于|a|＝|b|＝|a－b|，
即||＝||＝||，
∴∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为.
11．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：设a，b的夹角为θ，因为|a·b|＝4|b||cosθ|≥10，所以|b|≥≥，由向量形式的三角不等式，得|a－2b|≥||a|－|2b||＝|2|b|－4|≥＝1.
12．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；
(2)在上的投影的数量；
(3)在上的投影的数量．
解：∵||＝5，||＝4，||＝3，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
∴cosA＝＝，cosB＝＝.
(1)·＝||||cos(π－B)＝5×4×(－cosB)＝20×＝－16.
(2)在上的投影的数量为||cos〈，〉＝3×cosA＝3×＝.
(3)在上的投影的数量为||cos〈，〉＝5×cos(π－B)＝－5cosB＝－5×＝－4.
13．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，且·＝5，求||.
解：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，∴AE＝.
∵·＝5，
∴在上的投影的数量为.
如图所示，连接EF，由两个向量数量积的几何意义可知EF⊥AE.
由E是BC边的中点，易知点F是靠近C点的四等分点，
∴||＝.
14．已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且·＝6，与的夹角为θ，求θ的取值范围．
解：∵·＝||||cosθ＝6>0，
∴cosθ>0，
∴θ为锐角，即θ∈.
如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，则|CD|＝|BC|sinθ.
由题意，知·＝||||cosθ＝6，　①
S＝|AB|·|CD|＝||||sinθ. ②
由②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.
∵≤S≤3，
∴≤3tanθ≤3，即≤tanθ≤1.
又θ∈，∴θ∈.
17

展开更多......

收起↑