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数学　必修 第三册 RJ
8.1.2　向量数量积的运算律
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝(　　)
A．1 B．
C．4＋ D．2
3．若·＋2＝0，则△ABC为(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4．设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　)
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　)
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
二、填空题
6．若a⊥b，c与a及c与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________．
7．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值为________．
8．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)
10．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ.
(1)若λ＝，用向量，表示；
(2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·的取值范围．
11．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于点D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
12．已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R，||在t＝t0时取得最小值，当0A． B．
C． D．
13．平面四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．
14．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4.点D在BC边上，且＝t.
(1)若t＝，A＝，求||；
(2)若t＝，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)若AD＝3，求t的取值范围．
8.1.2　向量数量积的运算律
一、选择题
1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，(a－b)·b＝0，那么向量a与b的夹角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
解析：由题意可得a·b－b2＝0，设a与b的夹角为θ，则2cosθ＝1，cosθ＝，又0°≤θ≤180°，∴θ为60°.
2．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝(　　)
A．1 B．
C．4＋ D．2
答案：B
解析：根据题意，得|a＋2b|＝＝.
3．若·＋2＝0，则△ABC为(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
答案：A
解析：∵0＝·＋2＝·(＋)＝·，∴⊥，∴∠BAC＝90°.故选A.
4．设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　)
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要而不充分条件．故选A.
5．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是(　　)
A．a·c－b·c＝(a－b)·c
B．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b|
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案：ACD
解析：因为a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则由向量数量积的运算律，知A，D正确；由向量减法的三角形法则，知C正确；因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(b·c)a－(c·a)b与c垂直，B错误．故选ACD.
二、填空题
6．若a⊥b，c与a及c与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________．
答案：11
解析：原式展开，得|a|2＋4|b|2＋|c|2＋4|a|·|b|cos90°－2|a||c|cos60°－4|b||c|cos60°＝11.
7．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b的夹角的余弦值为________．
答案：－
解析：由|a|＝3|b|，得＝.由|a|＝|a＋2b|，两边平方得|a|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，整理得a·b＝－|b|2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－.
8．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
答案：
解析：因为向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，所以·＝||||·cos120°＝3×2×＝－3.由⊥，得·＝0，即(λ＋)·(－)＝0，所以2－λ2＋(λ－1)·＝0，即4－9λ－3(λ－1)＝0，解得λ＝.
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)
解：由已知，得a·b＝4×8×＝－16.
(1)∵(4a－2b)2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162，
∴|4a－2b|＝16.
(2)若(a＋2b)⊥(ka－b)，则(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
10．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足＝λ.
(1)若λ＝，用向量，表示；
(2)若||＝4，||＝3，且∠AOB＝60°，求·的取值范围．
解：(1)∵＝，
∴－＝(－)．
∴＝＋，即＝＋.
(2)·＝||||cos60°＝6.
∵＝λ，
∴－＝λ(－)，(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋.
∵＝－，
∴·＝·(－)
＝－2＋2＋··＝＝＝3－.
∵λ＞0，∴3－∈(－10，3)．
∴·的取值范围是(－10，3)．
11．设O为△ABC的外心，OD⊥BC于点D，且||＝，||＝1，则·(－)的值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
答案：A
解析：∵O为△ABC的外心，∴O为三边垂直平分线的交点，∵OD⊥BC，∴D为BC的中点，∴＝(＋)，·(－)＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(||2－||2)＝×(3－1)＝1.故选A.
12．已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R，||在t＝t0时取得最小值，当0A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，所以·＝2cosθ，由＝－＝(1－t)－t，得||2＝2＝(1－t)22－2t(1－t)·＋t22＝(5＋4cosθ)t2－(2＋4cosθ)t＋1，所以t0＝，由0<<，解得－13．平面四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD的形状．
解：∵＋＋＋＝0，
即a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，
由上式可得(a＋b)2＝(c＋d)2，
即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
又a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.①
同理可得a2＋d2＝b2＋c2②
由①②，得a2＝c2，且b2＝d2，
即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
也即AB＝CD，且BC＝DA.
∴四边形ABCD为平行四边形．
故＝－，即a＝－c，
∴a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，
∴a⊥b，即⊥.
综上可知，四边形ABCD为矩形．
14．如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4.点D在BC边上，且＝t.
(1)若t＝，A＝，求||；
(2)若t＝，AD恰为BC边上的高，求角A；
(3)若AD＝3，求t的取值范围．
解：(1)由题意，因为t＝，
所以＝，即D为BC边的中点，
所以＝(＋)，
因为A＝，AC＝2，AB＝4，
所以||＝
＝＝.
(2)由题意，因为t＝，
所以＝＝(－)，
因为AD恰为BC边上的高，所以⊥，
因为＝＋＝＋(－)＝＋，
＝－，
且AC＝2，AB＝4，
所以·＝·(－)
＝2－·＋·－2
＝×22－×2×4×cosA－×42＝0，
所以cosA＝0，则A＝.
(3)由题意，＝t，
则＝＋＝＋t＝＋t(－)＝t＋(1－t)，
因为AD＝3，且AC＝2，AB＝4，
所以2＝t22＋(1－t)22＋2t·(1－t)，
则9＝16t2＋4(1－2t＋t2)＋(16t－16t2)cosA，
所以cosA＝，
因为－1所以－1<<1，
因为0解得所以t的取值范围为.
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