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数学　必修 第三册 RJ
8.1.3　向量数量积的坐标运算
一、选择题
1．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b＝(　　)
A．23 B．7
C．－23 D．－7
2．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为(　　)
A．(3，－2) B．(3，2)
C．(－3，－2) D．(－3，2)
4．与已知向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是(　　)
A．
B．或
C．
D．或
5．(多选)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为线段AB上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝＋
B．与的夹角的余弦值为
C．·＝－
D．△AED的面积为2
二、填空题
6．向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是________．
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．
8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，b＝(2，0)，则|2a－b|的最大值是________．
三、解答题
9．已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)．
(1)若(a＋2b)⊥(2a－b)，求实数x的值；
(2)若c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)，求向量a与b的夹角θ.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(2，5)，C(－2，1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)在△ABC中，设AD是BC边上的高，求点D的坐标．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，则＝________，在上的投影为________．
12．如图，已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2，P是线段AB上的动点．
(1)用，表示和；
(2)当P为线段AB的中点时，求，的坐标和cos∠PCB；
(3)设＝λ，是否存在实数λ，使得∠PCD＝？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
14．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n；
(2)设向量a＝(1，0)，b＝(1＋cosx，2)，其中08.1.3　向量数量积的坐标运算
一、选择题
1．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b＝(　　)
A．23 B．7
C．－23 D．－7
答案：D
解析：a·b＝(－3)×5＋4×2＝－7.故选D.
2．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案：A
解析：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，∴⊥，∴A＝90°.故选A.
3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为(　　)
A．(3，－2) B．(3，2)
C．(－3，－2) D．(－3，2)
答案：C
解析：设c＝(x，y)，由c⊥a，b·c＝1，知解得
4．与已知向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量是(　　)
A．
B．或
C．
D．或
答案：B
解析：设与向量a＝，b＝的夹角相等，且模为1的向量为(x，y)，则
解得或故选B.
5．(多选)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为线段AB上靠近点A的三等分点，E为CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．＝＋
B．与的夹角的余弦值为
C．·＝－
D．△AED的面积为2
答案：AC
解析：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，故以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(3，0)，C(0，4)，D(1，0)，E，所以＝，＝(3，0)，＝(0，4)，＝，＝(1，－4)．对于A，＋＝(3，0)＋(0，4)＝＝，故A正确；对于B，·＝×－22＝－，||＝，||＝，与的夹角的余弦值cos〈，〉＝＝－，故B错误；对于C，·＝×1－2×4＝－，故C正确；对于D，S△AED＝·||·|yE|＝×1×2＝1，故D错误．故选AC.
二、填空题
6．向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是________．
答案：∪
解析：2a－3b＝(2k－3，－6)，因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c<0，即2(2k－3)－6<0，解得k<3，又当2a－3b与c共线时，有2k－3＝－12，解得k＝－.此时2a－3b与c的夹角为180°，不是钝角，故舍去．综上所述，实数k的取值范围是∪.
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．
答案：120°
解析：由已知，得a＋b＝－a，∴a与c的夹角和c与a＋b的夹角互补．又cos〈a＋b，c〉＝＝，∴〈a＋b，c〉＝60°，∴a与c的夹角是120°.
8．已知向量a＝(cos2θ，sin2θ)，b＝(2，0)，则|2a－b|的最大值是________．
答案：2
解析：令t＝cos2θ(0≤t≤1)，则a＝(t，1－t)，所以|2a－b|2＝(2t－2)2＋(2－2t)2＝8(t－1)2，所以|2a－b|＝2|t－1|＝2(1－t)，故当t＝0时，|2a－b|取得最大值2.
三、解答题
9．已知向量a＝(3，2)，b＝(x，－1)．
(1)若(a＋2b)⊥(2a－b)，求实数x的值；
(2)若c＝(－8，－1)，a∥(b＋c)，求向量a与b的夹角θ.
解：(1)已知a＝(3，2)，b＝(x，－1)，
所以a＋2b＝(3＋2x，0)，2a－b＝(6－x，5)．
又因为(a＋2b)⊥(2a－b)，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
所以(3＋2x)(6－x)＋0×5＝0，
解得x＝6或x＝－.
(2)因为c＝(－8，－1)，
所以b＋c＝(x－8，－2)．
又a∥(b＋c)，所以3×(－2)－2×(x－8)＝0，
解得x＝5，所以b＝(5，－1)．
所以cosθ＝＝＝，
因为0≤θ≤π，所以θ＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(2，5)，C(－2，1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)在△ABC中，设AD是BC边上的高，求点D的坐标．
解：(1)由题意，可得＝(1，5)，＝(－3，1)，
则＋＝(－2，6)，－＝(4，4)，
∴|＋|＝2，|－|＝4，
∴两条对角线的长分别为2和4.
(2)设点D的坐标为(x，y)，由题意知点D在BC边上，
设＝λ，
则(x＋2，y－1)＝λ(4，4)，
∴x＝4λ－2，y＝4λ＋1，
即点D的坐标为(4λ－2，4λ＋1)，
∴＝(4λ－3，4λ＋1)，
∵AD⊥BC，
∴·＝(4λ－3，4λ＋1)·(4，4)＝0，
即(4λ－3)×4＋(4λ＋1)×4＝0，
解得λ＝，
即点D的坐标为(－1，2)．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，则＝________，在上的投影为________．
答案：　
解析：如图，已知A(0，1)，B(－3，4)，设E(0，5)，D(－3，9)，∴四边形OBDE为菱形，∴∠AOB的平分线是菱形OBDE的对角线OD所在的射线．设C(x1，y1)，∵||＝2，||＝3，∴＝，∴＝(x1，y1)＝(－3，9)＝.∵＝(0，1)，∴在上的投影为·＝(0，1)＝.
12．如图，已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：∵A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
∴＝(1，1)，＝(－3，3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，
即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设点C的坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－4)．
又＝(1，1)，∴解得
∴点C的坐标为(0，5)．
∴＝(－2，4)，＝(－4，2)，
∴||＝2，||＝2，
·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2，P是线段AB上的动点．
(1)用，表示和；
(2)当P为线段AB的中点时，求，的坐标和cos∠PCB；
(3)设＝λ，是否存在实数λ，使得∠PCD＝？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：(1)因为CD∥OB，CD＝2OB，OA＝2AD，且AD＝OB＝2，所以OA＝4，CD＝4，
即A(4，0)，D(6，0)，B(0，2)，C(6，4)，
所以＝－，＝＋＝－2－.
(2)当P为线段AB的中点时，P(2，1)，
所以＝(－4，－3)，＝(－6，－2)，
所以·＝－4×(－6)＋(－2)×(－3)＝30，||＝5，|CB|＝2，
所以cos∠PCB＝＝＝.
(3)假设存在满足题意的λ，
则＝λ＝(4λ，－2λ)，
则P(4λ，2－2λ)，
所以＝(4λ－6，－2λ－2)，＝(0，－4)，
所以·＝8λ＋8，
||＝，||＝4，
所以cos＝＝>0，
整理，得3λ2－14λ＋8＝0，解得λ＝或λ＝4，
又P是线段AB上的动点，所以λ＝，
即存在实数λ＝，使得∠PCD＝.
14．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n；
(2)设向量a＝(1，0)，b＝(1＋cosx，2)，其中0解：(1)设n＝(x，y)，
因为m·n＝－1，且m与n的夹角为，m＝(1，1)，
所以
解得或
所以n＝(0，－1)或n＝(－1，0)．
(2)因为n·a＝0且a＝(1，0)，
所以n＝(0，－1)．
又b＝(1＋cosx，2)，故n＋b＝(1＋cosx，1)，
所以|n＋b|2＝(1＋cosx)2＋1.
因为0所以－故<|n＋b|2<5.
所以<|n＋b|<.
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