资源简介

数学　必修 第三册 RJ
8.2.1　两角和与差的余弦
一、选择题
1．cos555°的值是(　　)
A．＋ B．－
C．－ D．－
2．计算cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是(　　)
A．1 B．
C． D．
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
4．已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
5．(多选)已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sin＝，cos＝－，则cos(α＋β)的值可能为(　　)
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
6．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．
7．已知点P(－4，－3m)在角α的终边上，且sinα＝，则cos的值为________．
8．已知在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC＝________．
三、解答题
9．已知cos＝，sin(α＋β)＝，其中0<α<<β<π.求cos的值．
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求证：cos2β＋1＝0.
11．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A． B．
C．或 D．或
12．(1)化简：＝________；
(2)若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，且0≤α<β<γ<2π，则β－α＝________．
13．已知4sin2α＋3cos2α＝0，<α<，－<β<0.
(1)求sin2α，cos2α的值；
(2)若sin(α＋β)＝，求cos(α－β)的值．
14．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1)求φ；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
8.2.1　两角和与差的余弦
一、选择题
1．cos555°的值是(　　)
A．＋ B．－
C．－ D．－
答案：B
解析：cos555°＝cos195°＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－×－×＝－.故选B.
2．计算cos70°cos335°＋sin110°sin25°的结果是(　　)
A．1 B．
C． D．
答案：B
解析：原式＝cos70°cos25°＋sin70°sin25°＝cos(70°－25°)＝cos45°＝.故选B.
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
答案：A
解析：∵cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝　①，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－　②，由①＋②，得2cosαcosβ＝0，∴cosαcosβ＝0.故选A.
4．已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　)
A．－3m B．－
C． D．3m
答案：A
解析：因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，又tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosαcosβ＝－m，从而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.故选A.
5．(多选)已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sin＝，cos＝－，则cos(α＋β)的值可能为(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：CD
解析：因为α为第一象限角，所以α∈，k∈Z，所以α＋∈，k∈Z.又sin＝<＝sin，所以α＋是第二象限角，所以cos＝－.因为β为第三象限角，所以β∈，k∈Z，所以β－∈，k∈Z，又cos＝－，所以β－是第二象限角或第三象限角．当β－是第二象限角时，sin＝，此时cos(α＋β)＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝；当β－是第三象限角时，sin＝－，此时cos(α＋β)＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.
二、填空题
6．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．
答案：－
解析：原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝－.
7．已知点P(－4，－3m)在角α的终边上，且sinα＝，则cos的值为________．
答案：－
解析：由题意及正弦函数的定义可得x＝－4，y＝－3m，r＝.∵sinα＝，∴sinα＝＝＝，∴y>0，即m<0，解得m＝－1，∴cosα＝＝－，∴cos＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝－.
8．已知在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC＝________．
答案：
解析：∵cosB＝<，∴B∈且sinB＝.∵sinA＝<，∴A∈∪.若A∈，又B∈，则A＋B∈，这与A＋B＋C＝π矛盾，∴A ，故A∈.由sinA＝，得cosA＝，∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosA·cosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.
三、解答题
9．已知cos＝，sin(α＋β)＝，其中0<α<<β<π.求cos的值．
解：∵0<α<<β<π，
∴<β－<，<α＋β<，
∵cos＝，sin(α＋β)＝，
∴sin＝，cos(α＋β)＝－，
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求证：cos2β＋1＝0.
证明：∵cos(α－β)＝－，<α－β<π，
∴sin(α－β)＝.
∵sin(α＋β)＝－，<α＋β<2π，
∴cos(α＋β)＝，
∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
∴cos2β＋1＝0.
11．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A． B．
C．或 D．或
答案：A
解析：因为α∈，所以2α∈，又因为sin2α＝，所以2α∈，α∈，所以cos2α＝－.又因为β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，又因为α＋β∈，所以α＋β＝.故选A.
12．(1)化简：＝________；
(2)若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，且0≤α<β<γ<2π，则β－α＝________．
答案：(1)　(2)
解析：(1)原式＝
＝＝.
(2)∵cosα＋cosβ＋cosγ＝sinα＋sinβ＋sinγ＝0，
∴cosγ＝－cosα－cosβ，sinγ＝－sinα－sinβ.
∵sin2γ＋cos2γ＝1，
∴(cosα＋cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝1，
整理，得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
即cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
∴cos(β－α)＝－.
∵0≤α<β<2π，∴0<β－α<2π，
∴β－α＝或.①
同理可得cos(γ－β)＝－，
解得γ－β＝或.②
cos(γ－α)＝－，解得γ－α＝或.③
∵0≤α<β<γ<2π，
∴β－α＝，γ－β＝，γ－α＝.
故β－α的值为.
13．已知4sin2α＋3cos2α＝0，<α<，－<β<0.
(1)求sin2α，cos2α的值；
(2)若sin(α＋β)＝，求cos(α－β)的值．
解：(1)∵4sin2α＋3cos2α＝0，∴tan2α＝－.
∵<α<，∴2α∈，
∴tan2α＝－＝，
解得cos22α＝，∴cos2α＝－，
sin2α＝＝.
(2)∵<α<，－<β<0，
∴－<α＋β<，
∴cos(α＋β)＝＝，
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－×＋×＝－.
14．已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0≤φ<π)，f(0)＝.
(1)求φ；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
解：(1)由题意，得f(0)＝cosφ＝，
又0≤φ<π，所以φ＝.
(2)由(1)可知f(x)＝cos，
所以g(x)＝f(x)＋f
＝cos＋cos2x
＝cos2x－sin2x＋cos2x
＝cos2x－sin2x
＝cos，
所以函数g(x)的值域为[－，]．
令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z.
14

展开更多......

收起↑