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数学　必修 第三册 RJ
8.2.2　 第1课时　两角和与差的正弦
一、选择题
1．sin105°＋sin15°＝(　　)
A． B．
C． D．
2．sin2027°cos13°＋cos2027°cos77°＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x，则f(x)的(　　)
A．最小正周期为π，最大值为－1
B．最小正周期为π，最大值为2
C．最小正周期为2π，最大值为－1
D．最小正周期为2π，最大值为2
4．若α，β∈，且sinα＝，cosβ＝－，则sin(α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
5．(多选)已知函数f(x)＝asinx＋bcosx，若f(0)＝，且对任意x∈R都有f(x)≤f，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝2sin
C．f(x)的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．f(x)的图象向右平移个单位后，图象关于y轴对称
二、填空题
6．化简：cos＋sin＝________．
7．已知向量＝(5，12)，将向量绕原点O顺时针旋转60°到的位置，则点A′的坐标为________．
8．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，3cosA＋4sinB＝1，则C＝________．
三、解答题
9．求证：＝1－.
10．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β均为锐角．
(1)求sin(2α＋β)；
(2)求β.
11．已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sinβ＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为________．
12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos2α.
13．设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ.
(1)若f(0)＝－，求φ的值；
(2)已知f(x)在区间上单调递增，f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值．
条件①：f＝；
条件②：f＝－1；
条件③：f(x)在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
14．设函数f(x)＝sin－cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
8.2.2　 第1课时　两角和与差的正弦
一、选择题
1．sin105°＋sin15°＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：sin105°＋sin15°＝sin(45°＋60°)＋sin(60°－45°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＋sin60°·cos45°－cos60°sin45°＝2cos45°sin60°＝2××＝.
2．sin2027°cos13°＋cos2027°cos77°＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案：C
解析：sin2027°cos13°＋cos2027°cos77°＝sin2027°·cos13°＋cos2027°sin13°＝sin(2027°＋13°)＝sin2040°＝sin240°＝－sin60°＝－.故选C.
3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x，则f(x)的(　　)
A．最小正周期为π，最大值为－1
B．最小正周期为π，最大值为2
C．最小正周期为2π，最大值为－1
D．最小正周期为2π，最大值为2
答案：B
解析：因为f(x)＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，最大值为2.故选B.
4．若α，β∈，且sinα＝，cosβ＝－，则sin(α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：B
解析：α，β∈，且sinα＝，cosβ＝－，则cosα＝－ ＝－，sinβ＝ ＝，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.故选B.
5．(多选)已知函数f(x)＝asinx＋bcosx，若f(0)＝，且对任意x∈R都有f(x)≤f，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)＝2cos
B．f(x)＝2sin
C．f(x)的图象向左平移个单位后，图象关于原点对称
D．f(x)的图象向右平移个单位后，图象关于y轴对称
答案：BD
解析：由于函数满足f(0)＝，故f(0)＝b＝，由于f＝a＋＝，解得a＝3，所以f(x)＝3sinx＋cosx＝2sin，故A错误，B正确；对于C，函数f(x)的图象向左平移个单位，得到g(x)＝2sin的图象，故C错误；对于D，函数f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝2sin＝－2cosx的图象，关于y轴对称，故D正确．故选BD.
二、填空题
6．化简：cos＋sin＝________．
答案：cosα
解析：原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα＝cosα.
7．已知向量＝(5，12)，将向量绕原点O顺时针旋转60°到的位置，则点A′的坐标为________．
答案：
解析：如图，设A′(x，y)，∠xOA＝α，所以∠xOA′＝α－60°，又＝(5，12)，则|OA|＝＝13，所以cosα＝，sinα＝，因此x＝13cos(α－60°)＝13(cosαcos60°＋sinαsin60°)＝13×＝，y＝13sin(α－60°)＝13(sinαcos60°－cosαsin60°)＝13×＝，所以A′.
8．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6，3cosA＋4sinB＝1，则C＝________．
答案：
解析：由①2＋②2，得9＋16＋24sin(A＋B)＝37，∴sin(A＋B)＝，∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝，∴C＝或C＝.若C＝，则A＋B＝.∵1－3cosA＝4sinB>0，∴cosA<.又<，∴A>.此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠，∴C＝.
三、解答题
9．求证：＝1－.
证明：左边＝
＝＝1－＝右边，
∴原等式成立．
10．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β均为锐角．
(1)求sin(2α＋β)；
(2)求β.
解：(1)因为α，β∈，sinα＝，
所以cosα＝＝.
α＋β∈(0，π)，
所以sin(α＋β)＝＝，
所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)
＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)
＝×＋×＝－.
(2)sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝×＋×＝，
又因为β∈，
所以β＝.
11．已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sinβ＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为________．
答案：
解析：因为cos2α－sin2α＝，cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝，因为α∈，所以cosα＝，sinα＝，所以tanα＝.由3sinβ＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，所以sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，所以tan(α＋β)＝2tanα＝.又α，β∈，所以α＋β∈，所以α＋β＝.
12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈，f(α)＝，求cos2α.
解：(1)因为f(x)＝cos2x＋sin2x－cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
(2)由f(α)＝可得，sin＝.
因为α∈，
所以2α＋∈.
又因为0所以2α＋∈，
所以cos＝－，
所以cos2α＝cos＝coscos＋sinsin＝.
13．设函数f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ.
(1)若f(0)＝－，求φ的值；
(2)已知f(x)在区间上单调递增，f＝1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值．
条件①：f＝；
条件②：f＝－1；
条件③：f(x)在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω>0，|φ|<，
所以f(0)＝sin(ω·0)cosφ＋cos(ω·0)sinφ＝sinφ＝－，
因为|φ|<，所以φ＝－.
(2)因为f(x)＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ，ω>0，|φ|<，
所以f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，|φ|<，
所以f(x)的最大值为1，最小值为－1.
若选条件①：因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的最大值为1，最小值为－1，所以f＝无解，故条件①不能使函数f(x)存在．
若选条件②：因为f(x)在上单调递增，且f＝1，f＝－1，
所以＝－＝π，
所以T＝2π，ω＝＝1，
所以f(x)＝sin(x＋φ)，
又因为f＝－1，
所以sin＝－1，
所以－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－.
所以ω＝1，φ＝－.
若选条件③：因为f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x)在x＝－处取得最小值－1，
即f＝－1.
以下与条件②相同．
14．设函数f(x)＝sin－cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx＝sinx－cosx＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)解法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于直线x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤x＋≤，
因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝g(0)＝cos＝.
解法二：因为区间关于直线x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值为y＝f(x)在上的最大值．
由(1)，知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤x－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为g(x)max＝f(2)＝sin＝.
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