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数学　必修 第三册 RJ
8.2.3　倍角公式
一、选择题
1．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝(　　)
A． B．－
C． D．－
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
3．若tan2α＝，则＝(　　)
A．－ B．2
C．－2或 D．－或2
4．已知θ∈(0，π)，2sin2θ＝cos2θ－1，则cosθ＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
5．(多选)已知f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　)
A．ω＝2
B．函数f(x)在上为增函数
C．直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴
D．点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
二、填空题
6．已知sin＝，则cos的值为________．
7．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比：t＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝________．
8．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx，2cosx)，函数f(x)＝a·b－在区间上的最大值为________．
三、解答题
9．化简：(1)；
(2)；
(3).
10．已知cosα＝，α∈.
(1)求sin2α的值；
(2)设角β的终边与单位圆的交点为P，β∈(0，π)，求2α－β的大小．
11．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
12．求证：＝.
13．已知cos＝1－sinθ.
(1)求cos的值；
(2)若θ∈，求sinθ.
14．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点，求实数k的取值范围．
8.2.3　倍角公式
一、选择题
1．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：D
解析：由cosx＝，x∈，得sinx＝－，所以tanx＝－，所以tan2x＝＝＝－.故选D.
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为tanθ＋＝4，所以＋＝4，所以＝4，即＝4，所以sin2θ＝.
3．若tan2α＝，则＝(　　)
A．－ B．2
C．－2或 D．－或2
答案：B
解析：由于＝tan2α＝，故4－4tan2α＝6tanα，即2－3tanα＝2tan2α，所以＝＝＝＝2.故选B.
4．已知θ∈(0，π)，2sin2θ＝cos2θ－1，则cosθ＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
答案：C
解析：∵θ∈(0，π)，2sin2θ＝cos2θ－1，∴4sinθcosθ＝1－2sin2θ－1，∴2sinθcosθ＝－sin2θ.∵sinθ>0，∴sinθ＝－2cosθ，∴cosθ<0，∴sin2θ＋cos2θ＝4cos2θ＋cos2θ＝5cos2θ＝1，∴cos2θ＝，∴cosθ＝－.故选C.
5．(多选)已知f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　)
A．ω＝2
B．函数f(x)在上为增函数
C．直线x＝是函数y＝f(x)图象的一条对称轴
D．点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心
答案：BD
解析：f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1＝cos2ωx＋sin2ωx＝2cos，∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝2cos，故A错误；当x∈时，2x－∈，由余弦函数的图象可知，f(x)＝2cos在上单调递增，故B正确；当x＝时，f(x)＝1，不是最值，故直线x＝不是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，故C错误；当x＝时，f(x)＝0，故点是函数y＝f(x)图象的一个对称中心，故D正确．故选BD.
二、填空题
6．已知sin＝，则cos的值为________．
答案：－
解析：∵sin＝，∴cos＝cos＝－cos＝2sin2－1＝－.
7．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比：t＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝________．
答案：
解析：把t＝2sin18°代入，得＝＝＝.
8．已知向量a＝(2sinx，cosx)，b＝(cosx，2cosx)，函数f(x)＝a·b－在区间上的最大值为________．
答案：2
解析：f(x)＝a·b－＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋2×－＝sin2x＋cos2x＝2sin，当x∈时，2x＋∈，则当2x＋＝时，f(x)取得最大值，f(x)max＝2sin＝2.
三、解答题
9．化简：(1)；
(2)；
(3).
解：(1)原式＝＝＝－＝－＝－＝－1.
(2)原式＝＝＝＝2.
(3)解法一：原式＝＝
＝
＝＝sincoscosα
＝sinαcosα＝sin2α.
解法二：原式＝
＝cos2α＝cos2αtanα
＝cosαsinα＝sin2α.
10．已知cosα＝，α∈.
(1)求sin2α的值；
(2)设角β的终边与单位圆的交点为P，β∈(0，π)，求2α－β的大小．
解：(1)因为α∈，cosα＝，
所以sinα＝＝.
所以sin2α＝2sinαcosα＝.
(2)由题意可知，cosβ＝.
因为β∈(0，π)，
所以sinβ＝＝，所以tanβ＝.
由(1)知sin2α＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝，
所以tan2α＝，
则tan(2α－β)＝＝1，
由cosβ＝，得β∈.
由α∈，得2α∈(0，π)．
所以2α－β∈，所以2α－β＝.
11．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解析：由sinBsinC＝cos2，得2sinBsinC＝2cos2，∴2sinBsinC＝1＋cosA，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1.又－180°12．求证：＝.
证明：原式等价于
1＋sin4θ－cos4θ＝(1＋sin4θ＋cos4θ)，
即1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，(*)
而(*)式右边＝tan2θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边，所以(*)式成立，即原式成立．
13．已知cos＝1－sinθ.
(1)求cos的值；
(2)若θ∈，求sinθ.
解：(1)由cos＝1－sinθ，
可得sinθ＋cosθ＝1，
则＝sin＝1，
所以sin＝，
则cos＝－cos
＝－cos
＝2sin2－1＝2×－1＝－.
(2)因为θ∈，所以θ＋∈，
又sin＝<，则θ＋∈，
所以cos＝，
sinθ＝sin＝sincos－cossin＝.
14．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点，求实数k的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2x＋cos＝sin2x＋cos2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
当x∈时，f(x)在区间和上单调递增，在区间上单调递减．
f＝－，f＝1，f＝－1，
f＝，g(x)＝f(x)－k在区间上有三个零点，等价于函数y＝f(x)与y＝k的图象在区间上有三个交点，所以－≤k≤.
所以当函数g(x)在区间上有三个零点时，实数k的取值范围是.
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