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数学　必修 第三册 RJ
8.2.4　三角恒等变换的应用
一、选择题
1．若π<α<2π，则化简的结果是(　　)
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．±1
3．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cosβ－sinβ·cos(α＋β)＝－，则tan的值为(　　)
A．－5 B．5
C．－ D．
4．已知cos＝－，则cosx＋cos＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
5．(多选)已知函数f(x)＝cos(2x－2α)＋cos2α－2cos(x－α)cosxcosα，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为1
C．f(x)是偶函数
D．f(x)的单调递增区间为，k∈Z
二、填空题
6．tan67.5°－tan22.5°的值是________．
7．函数y＝coscos的最大值是________．
8．已知5sin2α＋6cos(π－α)＝0，α∈，则cos2＝________．
三、解答题
9．在△ABC中，求证：
(1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcosC；
(2)sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
11．已知α为第二象限角，且＝，则sin＝________．
12．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋sinsin，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos2x0的值．
13．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．
14．若f(x)＝cos2ωx－sinωxcosωx－＋1(ω>0)图象的最高点都在直线y＝m(m>0)上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.
(1)求ω和m的值；
(2)已知A是△ABC的一个内角，若点是函数f(x)图象的一个对称中心，求函数f(x)，x∈的值域．
8.2.4　三角恒等变换的应用
一、选择题
1．若π<α<2π，则化简的结果是(　　)
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，原式＝＝＝－cos.故选C.
2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．±1
答案：C
解析：∵sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.故选C.
3．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cosβ－sinβ·cos(α＋β)＝－，则tan的值为(　　)
A．－5 B．5
C．－ D．
答案：A
解析：原式＝[sin(α＋2β)＋sinα]－[sin(α＋2β)＋sin(－α)]＝－，α是第三象限角，∴cosα＝－，∴tan＝＝＝－5.
4．已知cos＝－，则cosx＋cos＝(　　)
A．－ B．±
C．－1 D．±1
答案：C
解析：解法一：cosx＋cos＝2coscos＝2coscos＝2××＝－1.故选C.
解法二：cosx＋cos＝cosx＋cosxcos＋sinxsin＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝×＝－1.故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝cos(2x－2α)＋cos2α－2cos(x－α)cosxcosα，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为1
C．f(x)是偶函数
D．f(x)的单调递增区间为，k∈Z
答案：ACD
解析：f(x)＝cos(2x－2α)＋－2cos(x－α)cosxcosα＝＋[cos(2x－2α)＋cos2α]－2cos(x－α)cosαcosx＝＋cosxcos(x－2α)－cosx[cosx＋cos(x－2α)]＝－cos2x＝－＝－cos2x.f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确；f(x)的最大值为，B错误；∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，D正确．故选ACD.
二、填空题
6．tan67.5°－tan22.5°的值是________．
答案：2
解析：tan67.5°－tan22.5°＝－＝－＝2.
7．函数y＝coscos的最大值是________．
答案：
解析：y＝coscos＝＝－cos2x，所以当cos2x＝－1时，y有最大值，ymax＝.
8．已知5sin2α＋6cos(π－α)＝0，α∈，则cos2＝________．
答案：
解析：5sin2α＋6cos(π－α)＝0，即10sinαcosα＝6cosα，因为α∈，所以cosα≠0，sinα＝，则cos2＝cos2＝
＝＝＝.
三、解答题
9．在△ABC中，求证：
(1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcosC；
(2)sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos.
证明：(1)左边＝sin2A＋－＝sin2A＋(cos2C－cos2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sin(B＋C)·2sinBcosC＝2sinAsinBcosC
＝右边，
∴原等式成立．
(2)左边＝sin(B＋C)＋2sincos
＝2sincos＋2sincos
＝2cos
＝4sinsincos＝右边，
∴原等式成立．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，求g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝
＝
＝
＝＝＝2cos2x.
所以f＝2cos＝2cos＝－.
(2)由(1)知f(x)＝2cos2x，
所以g(x)＝f(x)＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝sin.
因为x∈，所以≤2x＋≤，
所以g(x)max＝，g(x)min＝－1.
11．已知α为第二象限角，且＝，则sin＝________．
答案：
解析：∵α为第二象限角，且＝，∴tanα＝－＝，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝－.∵sin＝＝＝，cos＝＝＝，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×－×＝.
12．已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋sinsin，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos2x0的值．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin2x－cos2x＝＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，得
sin＝－<0.
又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，
∴－≤2x0－<0，∴cos＝，
∴cos2x0＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝.
13．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
(1)A＋C＝2B；(2)＋＝－，求cos的值．
解：∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，
∴＋＝－2.
∴cosA＋cosC＝－2cosAcosC.
由和差化积与积化和差公式，得
2coscos＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－，
化简，得4cos2＋2cos－3＝0，
∴＝0.
∵2cos＋3≠0，
∴2cos－＝0，
∴cos＝.
14．若f(x)＝cos2ωx－sinωxcosωx－＋1(ω>0)图象的最高点都在直线y＝m(m>0)上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.
(1)求ω和m的值；
(2)已知A是△ABC的一个内角，若点是函数f(x)图象的一个对称中心，求函数f(x)，x∈的值域．
解：(1)由已知，得
f(x)＝cos2ωx－sinωxcosωx－＋1＝×－－＋1＝1－sin.
因为T＝π，所以＝π，所以ω＝1.
又当sin＝－1时，f(x)取得最大值2，
所以m＝2.
故ω＝1，m＝2.
(2)由(1)，得f(x)＝1－sin.
因为A是△ABC的一个内角，点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以f＝1－sin＝1，
即sin＝0，
因为0所以x∈＝，
所以－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
所以0≤1－sin≤1＋.
所以函数f(x)＝1－sin，x∈的值域为.
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