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数学　必修 第三册 RJ
第八章　单元质量测评
　时间：120分钟　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知向量a＝(，1)，b＝(1，1)，则向量a在向量b上的投影为(　　)
A． B．
C． D．
5．已知θ为第二象限角，且cos＝－，则的值是(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
6．已知向量a＝(1，0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，] B．(1，]
C．[1，2] D．[，2]
7．已知(sinx－2cosx)(3＋2sinx＋2cosx)＝0，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，＝，则·＝(　　)
A． B．－
C． D．－
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则(　　)
A．<α< B．β<<α
C．<α<β D．<β<α
10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则下列说法正确的是(　　)
A．||＝ B．·＝
C．·＝1 D．·＝－
11．已知奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向右平移个单位，可得到函数y＝g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)＝2sin
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在区间上单调递增
D．当x∈时，函数g(x)的最大值是
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上)
12．已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－，则sin(α－β)＝________，cosβ＝________．
13．若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．
14．在△ABC中，D为AB的中点，＝，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)，若||＝5，AE⊥CB，则·＝________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量a，b为单位向量，且|a－3b|＝2.
(1)求cos〈a，b〉的值；
(2)向量c在a上的投影的数量为－2，且向量c在a－3b上的投影的数量为，求b·c的值．
16．(本小题满分15分)
(1)求值：；
(2)已知cos2θ＝，θ∈，求sin－sin2θ的值．
17．(本小题满分15分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
18．(本小题满分17分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
19．(本小题满分17分)已知f(x)＝sincosx＋sin－.
(1)求f(x)的值域；
(2)若af－f≥2对任意的x∈恒成立，求a的取值范围．
第八章　单元质量测评
　时间：120分钟　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，∴θ是第二、四象限角．又cosθ>0，∴θ是第四象限角．故选D.
2．sin163°sin223°＋sin253°sin313°的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：B
解析：原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝－sin17°sin43°＋cos17°cos43°＝cos60°＝.故选B.
3．已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝|a|2－2|a||b|cos〈a，b〉＝1－2cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝，因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角为.故选A.
4．已知向量a＝(，1)，b＝(1，1)，则向量a在向量b上的投影为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：因为a＝(，1)，b＝(1，1)，所以向量a在向量b上的投影为·＝·＝.故选B.
5．已知θ为第二象限角，且cos＝－，则的值是(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
答案：C
解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．∵cos＝－，∴为第三象限角且sin＝－，∴＝＝1.故选C.
6．已知向量a＝(1，0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是(　　)
A．[0，] B．(1，]
C．[1，2] D．[，2]
答案：D
解析：|a＋b|＝＝.因为θ∈，所以cosθ∈[0，1]，所以|a＋b|∈[，2]．
7．已知(sinx－2cosx)(3＋2sinx＋2cosx)＝0，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵3＋2sinx＋2cosx＝3＋2sin>0，∴sinx－2cosx＝0，∴tanx＝2，∴原式＝＝＝2cos2x＝＝＝.故选C.
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，＝，则·＝(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：A
解析：由题意作出图形，如图所示．由图可得＝＝(－)＝－＋，所以＝＋＝－＋＝＋，所以·＝·＝－||2＋||2－·＝－×4＋×9－||||cos∠BAC＝－＋4－×2×3×cos＝.故选A.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知锐角α，β满足sinα－cosα＝，tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则(　　)
A．<α< B．β<<α
C．<α<β D．<β<α
答案：AB
解析：因为α为锐角，sinα－cosα＝>0，所以<α<.又tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝，所以α＋β＝，又α>，所以β<<α.故选AB.
10．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则下列说法正确的是(　　)
A．||＝ B．·＝
C．·＝1 D．·＝－
答案：BC
解析：建立平面直角坐标系，如图．则B，C，A，D，所以＝，＝，＝(1，0)．易知DE＝AC，则EF＝AC＝，因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，所以＝，所以||＝，所以·＝·(1，0)＝，·＝·＝1，·＝·＝－.故选BC.
11．已知奇函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，将函数f(x)的图象向右平移个单位，可得到函数y＝g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)＝2sin
B．函数g(x)的图象关于点对称
C．函数g(x)在区间上单调递增
D．当x∈时，函数g(x)的最大值是
答案：AB
解析：由题意可得f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，又因为f(x)为奇函数，所以φ－＝kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，故φ＝，所以f(x)＝2sin2x，将函数f(x)的图象向右平移个单位，可得到函数y＝g(x)的图象，故函数g(x)＝2sin＝2sin，A正确；将x＝－代入g(x)＝2sin中，有2sin＝0，即函数g(x)的图象关于点对称，B正确；当x∈时，2x－∈，由于正弦函数y＝sinx在上不单调，故函数g(x)在区间上不单调递增，C错误；当x∈时，2x－∈，g(x)＝2sin∈[－，2]，函数g(x)的最大值为2，D错误．故选AB.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上)
12．已知α，β均为锐角，且sinα＝，tan(α－β)＝－，则sin(α－β)＝________，cosβ＝________．
答案：－　
解析：∵α，β∈，∴－<α－β<.又tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0，∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝.∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.
13．若tanα＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．
答案：0
解析：由tanα＋＝，得(tanα－3)(3tanα－1)＝0，所以tanα＝3或tanα＝.因为α∈，所以tanα＝3，所以sin＋2coscos2α＝sin2α＋cos2α＋＝sin2α＋cos2α＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
14．在△ABC中，D为AB的中点，＝，＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)，若||＝5，AE⊥CB，则·＝________．
答案：a＋b　－15
解析：如图，因为＝，所以－＝(－)，所以＝＋.因为D为AB的中点，所以＝＋＝a＋b.因为||＝5，所以2＝＝a2＋a·b＋b2＝25，即a2＋8a·b＋16b2＝900，因为AE⊥CB，所以·＝·(a－b)＝a2＋a·b－b2＝0，即a2＋3a·b＝4b2，所以a2＋4a·b＝180，又＝＋＝－b＋a，所以·＝·＝a2＋a·b－b2＝(a2＋2a·b－8b2)＝(a2＋2a·b－2a2－6a·b)＝(－a2－4a·b)＝－15.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)已知向量a，b为单位向量，且|a－3b|＝2.
(1)求cos〈a，b〉的值；
(2)向量c在a上的投影的数量为－2，且向量c在a－3b上的投影的数量为，求b·c的值．
解：(1)|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝8，即a·b＝，
则cos〈a，b〉＝＝.
(2)由题意可知＝－2，则a·c＝－2，
＝，则c·(a－3b)＝4，
所以b·c＝－2.
16．(本小题满分15分)
(1)求值：；
(2)已知cos2θ＝，θ∈，求sin－sin2θ的值．
解：(1)原式＝
＝＝＝
＝＝
＝＝2＋.
(2)∵cos2θ＝，θ∈，
∴cosθ<0，∴cos2θ＝＝，
∴cosθ＝－，sinθ＝，
∴sin－sin2θ
＝sinθcos＋cosθsin－2sinθcosθ
＝×－×＋2××
＝－＋＝.
17．(本小题满分15分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
解：(1)证明：由题意，得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)，
所以得cosα＝cos(π－β)，
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.
代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝，
而α>β，
所以α＝，β＝.
18．(本小题满分17分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
解：(1)证明：因为·＝·，
所以·(－)＝0.
又＋＋＝0，则＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0.
所以2－2＝0.所以||2＝||2.
所以|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，则cosB∈.
设||＝||＝a.
又|＋|＝2，所以|＋|2＝4.
则有a2＋a2＋2a2cosB＝4.
所以a2＝，
则·＝a2cosB＝＝2－.
又cosB∈，
所以·的取值范围为.
19．(本小题满分17分)已知f(x)＝sincosx＋sin－.
(1)求f(x)的值域；
(2)若af－f≥2对任意的x∈恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝sincosx＋sin－
＝cosx＋sin－
＝sinxcosx＋cos2x＋sin－
＝×sin2x＋×(cos2x＋1)＋sin－
＝＋sin
＝sin＋sin
＝sin，
所以f(x)的值域为[－1，1]．
(2)由af－f≥2，
得asinx－cosx≥2对任意的x∈恒成立．
因为x∈，所以sinx∈.
即a≥对任意的x∈恒成立，
所以a≥.
又y＝
＝
＝＝，
令t＝tan，当x∈时，∈，
所以tan∈，
即t∈.
所以y＝＝＝，
t∈.
又函数y＝在t∈上单调递减，
所以当t＝－1时，ymax＝2＋1，
即＝2＋1.
所以a≥2＋1.
所以a的取值范围是[2＋1，＋∞)．
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