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数学　必修 第三册 RJ
本册综合测评
　时间：120分钟　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin480°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知扇形的周长为7，面积为3，则该扇形的圆心角的弧度数为(　　)
A． B．或
C． D．或
3．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
4．设向量a＝，该向量的模为，则cos2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．70°
C．20° D．10°
6．设角α＝－，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
7．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使·取得最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(2，0) D．(4，0)
8．已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2＋|的取值范围是(　　)
A．[6，14] B．[6，12]
C．[8，14] D．[8，12]
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列各式的值为的是(　　)
A．cos2－sin2 B．
C．－ D．
10．△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中，是真命题的是(　　)
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若c·a＋c2＝0，则△ABC为直角三角形
11．已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)，则下列结论正确的是(　　)
A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝2
B．存在ω∈(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于y轴对称
C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是
D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上)
12．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
13．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)的值为________．
14．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A(0，)，C(2，0)，并且AB∥x轴，则cos∠ACB的值为________．
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝2，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b与c的夹角为120°，求m，n的值．
16．(本小题满分15分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
17．(本小题满分15分)已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosα，sinα)(0<α<π)．
(1)若|＋|＝(O为坐标原点)，求与的夹角；
(2)若⊥，求tanα的值．
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Asin＋b(A>0)．若f(x)的最大值为4，最小值为2，
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)先将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间上的所有根之和．
19．(本小题满分17分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量m＝(2－2sinA，sinA＋cosA)与n＝(sinA－cosA，1＋sinA)共线，且·>0.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2＋cos的值域．
本册综合测评
　时间：120分钟　　满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin480°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：D
解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝.故选D.
2．已知扇形的周长为7，面积为3，则该扇形的圆心角的弧度数为(　　)
A． B．或
C． D．或
答案：B
解析：设扇形的半径为R，弧长为l，由题意得解得或故扇形的圆心角的弧度数α＝＝或.故选B.
3．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案：B
解析：由|a＋b|＝，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cosθ，所以cosθ＝.故选B.
4．设向量a＝，该向量的模为，则cos2α＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：B
解析：由题意，知＝，∴cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－1＝－.故选B.
5．已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则锐角α＝(　　)
A．80° B．70°
C．20° D．10°
答案：B
解析：点P到坐标原点的距离为＝＝＝2cos20°，由三角函数的定义可知cosα＝＝＝sin20°.∵点P在第一象限，且角α为锐角，∴α＝70°.故选B.
6．设角α＝－，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：因为α＝－，所以
＝＝＝＝＝＝.故选D.
7．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使·取得最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(3，0) B．(－3，0)
C．(2，0) D．(4，0)
答案：A
解析：设P(x0，0)，则＝(x0－2，－2)，＝(x0－4，－1)，∴·＝(x0－2)(x0－4)＋2＝x－6x0＋10＝(x0－3)2＋1，∴当x0＝3时，·取得最小值，点P的坐标是(3，0)．故选A.
8．已知平面直角坐标系xOy中，||＝||＝，||＝2，设C(3，4)，则|2＋|的取值范围是(　　)
A．[6，14] B．[6，12]
C．[8，14] D．[8，12]
答案：D
解析：解法一：由||＝||＝，||＝2，＝－，两边同时平方，可得·＝0，所以〈，〉＝.2＋＝2(－)＋－＝＋－2，||＝＝5，所以|2＋|2＝2＋2＋42－4(＋)·＝2＋2＋4×25－4(＋)·＝104－4(＋)·，又|(＋)·|≤|＋|||＝×5＝10，即－10≤(＋)·≤10，所以|2＋|2∈[64，144]，即|2＋|∈[8，12]．故选D.
解法二：因为||＝||＝，||＝|－|＝2，两边同时平方，可得·＝0，所以〈，〉＝.取AB的中点为D，则||＝|＋|＝1，即点D在单位圆上，又C(3，4)，所以|OC|＝5，|2＋|＝|＋|＝2||∈[8，12]．故选D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．下列各式的值为的是(　　)
A．cos2－sin2 B．
C．－ D．
答案：AB
解析：对于A，cos2－sin2＝cos＝，故A符合题意；对于B，＝×＝tan30°＝，故B符合题意；对于C，－＝＝＝＝＝，故C不符合题意；对于D，＝＝－tan＝－tan＝－tan＝，故D不符合题意．故选AB.
10．△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题中，是真命题的是(　　)
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若c·a＋c2＝0，则△ABC为直角三角形
答案：BCD
解析：如图所示，△ABC中，＝c，＝a，＝b，若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A是假命题；若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B是真命题；若a·b＝c·b，则b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，取AC的中点D，则·2＝0，所以⊥，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C是真命题；因为c·a＋c2＝·＋2＝·(＋)＝0，所以·＝0，所以⊥，D是真命题．故选BCD.
11．已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)，则下列结论正确的是(　　)
A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝2
B．存在ω∈(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于y轴对称
C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是
D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是
答案：BCD
解析：∵f(x)＝1－2cos2＝－cos＝sin，∴周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，∴ω＝，故A错误；对于B，函数图象向右平移个单位后得到函数y＝sin的图象，所得函数图象关于y轴对称，则－＋＝＋kπ(k∈Z)，∴ω＝－1－3k(k∈Z)，当k＝－1时，ω＝2∈(1，3)，故B正确；对于C，由f(x)＝sin且f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，可得7π≤4ωπ＋<8π，解得≤ω<，故C正确；对于D，由条件，得∴ω≤，又ω>0，∴0<ω≤，故D正确．故选BCD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中的横线上)
12．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．
答案：±3
解析：因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)·(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
13．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，则sin(α＋β)的值为________．
答案：
解析：∵<α<，∴<＋α<π.又cos＝－，∴sin＝＝.∵0<β<，∴<＋β<π.又sin＝，∴cos＝－＝－，∴sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]＝－sin＝－＝－＝.
14．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A(0，)，C(2，0)，并且AB∥x轴，则cos∠ACB的值为________．
答案：
解析：由已知f(0)＝2sinφ＝，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，由f(2)＝0，即2sin＝0，所以2ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z，而0<ω<，所以ω＝，所以f(x)＝2sin，令f(x)＝，得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z，所以x＝6k或x＝6k＋1，k∈Z，由题图可知，B(1，)，所以＝(－2，)，＝(－1，)，所以||＝，||＝2，所以cos∠ACB＝＝＝.
四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分13分)设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝2，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b与c的夹角为120°，求m，n的值．
解：∵a⊥c，∴a·c＝0，
∵c＝ma＋nb，∴c·c＝(ma＋nb)·c，
即|c|2＝ma·c＋nb·c，
∴|c|2＝nb·c，
∵|c|2＝16，b·c＝－4，
∴16＝－4n，
∴n＝－4，从而c＝ma－4b，
∵b·c＝|b||c|cos120°＝－4，
∴|b|×4×＝－4，∴|b|＝2.
由c＝ma－4b得a·c＝ma2－4a·b，
∴8m－4a·b＝0，即a·b＝2m.①
再由c＝ma－4b，得b·c＝ma·b－4b2，
∴ma·b－16＝－4，即ma·b＝12.②
联立①②得2m2＝12，即m2＝6，
∴m＝±，故m＝±，n＝－4.
16．(本小题满分15分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解：(1)a＋b＝(cosαcosβ－sinαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ，sinαcosβ＋cosαsinβ＋sinαcosβ－cosαsinβ)＝(2cosαcosβ，2sinαcosβ)＝.
∴2cosαcosβ＝，2sinαcosβ＝，∴tanα＝.
(2)＝＝＝－.
17．(本小题满分15分)已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosα，sinα)(0<α<π)．
(1)若|＋|＝(O为坐标原点)，求与的夹角；
(2)若⊥，求tanα的值．
解：(1)∵＋＝(2＋cosα，sinα)，|＋|＝，
∴(2＋cosα)2＋sin2α＝7.
∴cosα＝.
又α∈(0，π)，∴α＝，即∠AOC＝.
又∠AOB＝，∴与的夹角为.
(2)＝(cosα－2，sinα)，＝(cosα，sinα－2)．
∵⊥，
∴·＝0，∴cosα＋sinα＝，①
∴(cosα＋sinα)2＝，
∴2sinαcosα＝－.
又α∈(0，π)，∴α∈，
∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，cosα－sinα<0，
∴cosα－sinα＝－.②
由①②得cosα＝，sinα＝，
从而tanα＝－.
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝Asin＋b(A>0)．若f(x)的最大值为4，最小值为2，
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)先将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝4在区间上的所有根之和．
解：(1)依题意A＋b＝4，－A＋b＝2，
解得A＝1，b＝3，
∴f(x)＝sin＋3.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)将函数y＝f(x)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到y＝sin＋3的图象，然后将横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin＋3的图象，再将所得的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，
则g(x)＝2sin＋3＝2sin＋3，
由g(x)＝4，即2sin＋3＝4，
得sin＝，
解得4x－＝2kπ＋或4x－＝2kπ＋，k∈Z，
∴x＝＋或x＝＋，k∈Z，
又x∈，∴当k＝0时，x＝或，
∴方程g(x)＝4在区间上的所有根之和为＋＝.
19．(本小题满分17分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量m＝(2－2sinA，sinA＋cosA)与n＝(sinA－cosA，1＋sinA)共线，且·>0.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2＋cos的值域．
解：(1)由题意，知(2－2sinA)(1＋sinA)
＝(sinA＋cosA)(sinA－cosA)，
整理，得2(1－sin2A)＝sin2A－cos2A，
即2－2sin2A＝2sin2A－1，解得sin2A＝.
又A为△ABC的内角，所以sinA＝.
由·>0，知A为锐角，所以A＝.
(2)由(1)及题意知B＋C＝，
所以y＝2sin2＋cos＝1－cosB＋cos＝1＋sinB－cosB＝1＋sin.
又0所以－故函数y＝2sin2＋cos的值域为.
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