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数学　必修 第三册 RJ
第2课时　两角和与差的正切
一、选择题
1．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于(　　)
A．－ B．－7
C． D．7
2．＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
3．已知＝，则tan＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)已知0<α<β<，且tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，则下列结论正确的是(　　)
A．tanα＋tanβ＝－k B．tan(α＋β)＝－k
C．k>2 D．k＋tanα≥4
二、填空题
6．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为________．
7．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________．
三、解答题
9．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β.
10．在下列各条件下，判断△ABC的形状：
(1)tanAtanB＝1；(2)tanAtanB>1.
11．已知M＝sin100°－cos100°，N＝(cos46°·cos78°＋cos44°cos12°)，P＝，Q＝，那么M，N，P，Q之间的大小顺序是(　　)
A．MC．N12．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝.
(1)证明：tanα＋5tanβ＝0；
(2)计算：的值．
13．是否存在锐角α和β，使得下列两式同时成立？
(1)α＋2β＝；(2)tantanβ＝2－.
第2课时　两角和与差的正切
一、选择题
1．已知cosα＝－，且α∈，则tan等于(　　)
A．－ B．－7
C． D．7
答案：C
解析：由cosα＝－，且α∈，得tanα＝－，所以tan＝＝.故选C.
2．＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
答案：A
解析：＝＝tan(32°＋88°)＝tan120°＝－.故选A.
3．已知＝，则tan＝(　　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
答案：B
解析：因为＝，所以＝，所以tanα＝1－，所以tan＝＝2－1.故选B.
4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．又α为锐角，∴α＝－＝.故选C.
5．(多选)已知0<α<β<，且tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，则下列结论正确的是(　　)
A．tanα＋tanβ＝－k B．tan(α＋β)＝－k
C．k>2 D．k＋tanα≥4
答案：BCD
解析：因为tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，所以tanα＋tanβ＝k，tanαtanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－k，故A错误，B正确；由0<α<β<，得tanα，tanβ均为正数，则tanα＋tanβ＝k≥2＝2，当且仅当tanα＝tanβ时取等号，易知等号不成立，故k>2，C正确；k＋tanα＝2tanα＋tanβ≥2＝4，当且仅当2tanα＝tanβ时取等号，故D正确．故选BCD.
二、填空题
6．已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－，则tanβ的值为________．
答案：
解析：由sinα＝且α是第二象限角可得tanα＝－.于是tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
7．tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝________．
答案：
解析：tan50°－tan20°－tan50°tan20°＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－tan50°·tan20°＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－tan50°·tan20°＝＋tan50°tan20°－tan50°tan20°＝.
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________．
答案：
解析：∵AD⊥BC，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.
三、解答题
9．已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β.
解：∵tanα＝<1，且α为锐角，
∴0<α<.
∵sinβ＝<，且β为锐角，
∴0<β<，
∴0<α＋2β<.
由sinβ＝，β为锐角，
得cosβ＝，
∴tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝1，
故α＋2β＝.
10．在下列各条件下，判断△ABC的形状：
(1)tanAtanB＝1；(2)tanAtanB>1.
解：(1)由tanAtanB＝1
可得·＝1.
∴sinAsinB＝cosAcosB.
∴cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝0.
∵A，B是△ABC的内角，即0∴A＋B＝，∴C＝，
∴△ABC为直角三角形．
(2)∵tanAtanB>1，
∴tanA>0，tanB>0且1－tanAtanB<0.
∴tan(A＋B)＝<0.
又tanC＝－tan(A＋B)>0，
∴A，B，C全为锐角，△ABC为锐角三角形．
11．已知M＝sin100°－cos100°，N＝(cos46°·cos78°＋cos44°cos12°)，P＝，Q＝，那么M，N，P，Q之间的大小顺序是(　　)
A．MC．N答案：B
解析：M＝sin100°－cos100°＝sin(100°－45°)＝sin55°>1，N＝(cos46°cos78°＋cos44°cos12°)＝(sin44°cos78°＋cos44°sin78°)＝sin122°＝sin58°>M，P＝＝tan(45°－10°)＝tan35°<1，Q＝＝tan(22°＋23°)＝tan45°＝1，所以P12．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝.
(1)证明：tanα＋5tanβ＝0；
(2)计算：的值．
解：(1)证法一：因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，
所以2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sinαcosβ－2cosαsinβ＝3sinαcosβ＋3cosαsinβ，
整理得sinαcosβ＝－5cosαsinβ，
即tanα＝－5tanβ，所以tanα＋5tanβ＝0得证．
证法二：由条件sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝，
即sinαcosβ－cosαsinβ＝，sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝－，
从而可得tanα＝－5tanβ，所以tanα＋5tanβ＝0得证．
(2)由tan(α－β)＝，得
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，
所以原式
＝
＝＝－＝.
13．是否存在锐角α和β，使得下列两式同时成立？
(1)α＋2β＝；(2)tantanβ＝2－.
解：假设存在符合题意的锐角α，β.
由(1)得＋β＝，
∴tan＝＝tan＝.
由(2)tantanβ＝2－，得
tan＋tanβ＝3－.
∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋(2－)＝0的两根．
∴x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，0<<，∴0∴tan＝2－，tanβ＝1，
又0<β<，∴β＝，代入(1)中，得α＝.
∴存在锐角α＝，β＝，使(1)(2)同时成立．
14．A，B，C是△ABC的内角，且△ABC不是直角三角形．
(1)求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC；
(2)当tanC－1＝时，求B.
解：(1)证明：在△ABC中，
由A＋B＋C＝π，
得A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)，
∴＝－tanC，
∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC，
∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
(2)由tanC－1＝，得
tanAtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，
∴tanB＝.
∵B为△ABC的内角，
∴B＝.
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