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数学　必修 第四册 RJ
9.1.1　 第1课时　正弦定理(一)
一、单选题
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．∶1∶1 D．∶1∶1
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，b＝3，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．6
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．1 D．2
4．在△ABC中，已知cosA＝，tanB＝，若△ABC的最短边长为，则其最长边长为(　　)
A． B．
C． D．2
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c≤2，asinC＝，则A的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
二、多选题
6．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sinC
B．cos(A＋B)＝cosC
C．若sinAD．若A>B，则sinA>sinB
7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．b＝45，c＝48，B＝120°
C．a＝2，b＝4，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
三、填空题
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，c＝，A＝，则△ABC的面积为________．
9．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝__________，sin∠BAC＝________．
10．如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝________．
四、解答题
11．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
12．在平面四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠DAC＝30°，∠DCB＝150°，CD＝1，BC＝2.
(1)求证：sin2B＋sin2D＝1；
(2)求AC的长．
13．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，B＝，且该三角形有两解，则a的取值范围是________．
15．在△ABC中，cosC＝，c＝8，cosB＝.
求：(1)b的值；
(2)角A的大小和△ABC的面积．
16．已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
9.1.1　 第1课时　正弦定理(一)
一、单选题
1．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c＝(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C．∶1∶1 D．∶1∶1
答案：D
解析：∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.由正弦定理的变形公式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin120°∶sin30°∶sin30°＝∶∶＝∶1∶1.故选D.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，b＝3，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．6
答案：C
解析：由正弦定理可得＝＝，再由和比定理得＝＝＝＝2.故选C.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2A＝sinA，bc＝2，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C．1 D．2
答案：A
解析：由cos2A＝sinA，得1－2sin2A＝sinA，解得sinA＝或sinA＝－1(舍去)，所以S△ABC＝bcsinA＝×2×＝.
4．在△ABC中，已知cosA＝，tanB＝，若△ABC的最短边长为，则其最长边长为(　　)
A． B．
C． D．2
答案：A
解析：在△ABC中，因为cosA＝，所以sinA＝，因为tanB＝，所以sinB＝，cosB＝，因为sinA5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c≤2，asinC＝，则A的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由正弦定理＝可得csinA＝asinC＝，所以sinA＝≥，因为0二、多选题
6．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sinC
B．cos(A＋B)＝cosC
C．若sinAD．若A>B，则sinA>sinB
答案：ACD
解析：对于A，在△ABC中，因为A＋B＝π－C，可得sin(A＋B)＝sinC，所以A正确；对于B，由A＋B＝π－C，可得cos(A＋B)＝－cosC，所以B不正确；对于C，因为sinAB，可得a>b，由正弦定理得sinA>sinB，所以D正确．故选ACD.
7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．b＝45，c＝48，B＝120°
C．a＝2，b＝4，A＝45°
D．a＝7，b＝5，A＝80°
答案：ACD
解析：对于A，B＝180°－A－C＝65°，三角形有唯一解；对于B，B为钝角且b＜c，三角形无解；对于C，a＝bsinA＝2，三角形有唯一解；对于D，A为锐角且a＞b，三角形有唯一解．故选ACD.
三、填空题
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，c＝，A＝，则△ABC的面积为________．
答案：
解析：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，c＝，A＝，利用正弦定理得＝，所以sinC＝＝.因为a>c，所以A>C，所以cosC＝，则sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝，所以S△ABC＝acsinB＝.
9．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝BC，且AD＝1，则AC＝__________，sin∠BAC＝________．
答案：　
解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD，所以DC＝2，AC＝＝.在△ABC中，由正弦定理知，sin∠BAC＝＝＝.
10．如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝________．
答案：
解析：因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，∠BDC＝2A.设AD＝DB＝x，则在△BCD中，由＝，可得＝　①，在△ADE中，由＝，可得＝　②，由①②可得＝，解得cosA＝.
四、解答题
11．(1)在△ABC中，已知a＝2，A＝30°，B＝45°，解三角形；
(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝30°，解三角形．
解：(1)∵＝＝，
∴b＝＝＝＝4.
∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)
＝105°，
∴c＝＝＝
＝2＋2.
(2)∵a＝2，b＝6，a又bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，
∴本题有两解，由正弦定理，得
sinB＝＝＝，
故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，c＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
12．在平面四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠DAC＝30°，∠DCB＝150°，CD＝1，BC＝2.
(1)求证：sin2B＋sin2D＝1；
(2)求AC的长．
解：(1)证明：因为∠BAC＝90°，∠DAC＝30°，
所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°＋30°＝120°，
由四边形ABCD的内角和定理，
得∠BAD＋∠B＋∠DCB＋∠D＝360°，
所以∠B＋∠D＝360°－120°－150°＝90°，
所以cosB＝cos(90°－D)＝sinD，
因为sin2B＋cos2B＝1，
所以sin2B＋sin2D＝1.
(2)在△ABC中，由正弦定理，得
＝，即＝＝2，　①
在△ACD中，由正弦定理，得
＝，即＝＝2，　②
由①②得＝，所以sinB＝sinD，
由(1)知，sin2B＋sin2D＝1，
所以sin2B＋sin2B＝1，
解得sinB＝，又0°在△ABC中，AC＝BCsinB＝2×＝.
13．在△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：由正弦定理＝，得sinC＝sinA，∴0＜sinC≤.∵AB＜BC，∴C＜A，∴角C必定为锐角，∴C∈.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，B＝，且该三角形有两解，则a的取值范围是________．
答案：(6，12)
解析：由正弦定理可得＝，即sinA＝＝＝，因为三角形有两解，所以A>B且A≠，则即所以615．在△ABC中，cosC＝，c＝8，cosB＝.
求：(1)b的值；
(2)角A的大小和△ABC的面积．
解：(1)因为cosB＝，0所以sinB＝＝＝.
因为cosC＝，0所以sinC＝＝＝.
由正弦定理＝，得＝，
解得b＝5.
(2)由(1)知sinB＝，sinC＝，
又因为cosB＝，cosC＝，
在△ABC中，A＝π－(B＋C)，
所以cosA＝cos[π－(B＋C)]
＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC
＝－×＋×＝，
又0所以A＝.
所以S△ABC＝bcsinA＝×5×8×＝10.
16．已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)∵A＋B＝3C，
∴π－C＝3C，即C＝，
又2sin(A－C)＝sinB＝sin(A＋C)，
∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
∴sinA＝3cosA，
即tanA＝3，∴0又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝.
(2)由(1)知，cosA＝＝，
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC
＝×＝，
由正弦定理得＝，可得AC＝＝2，
∴AB边上的高h＝AC·sinA＝2×＝6.
16

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