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数学　必修 第四册 RJ
第2课时　正弦定理(二)
一、单选题
1．在△ABC中，＝＝，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C＝(　　)
A．120° B．105°
C．90° D．75°
3．已知半径R为4的圆的内接三角形ABC的面积S是，△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则abc的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
4．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，若将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝3 cm，则sinC＝(　　)
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
二、多选题
6．在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的值可能是(　　)
A．1.3 B．1.5
C．1.7 D．1.9
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于1
B．若cos2＝，则此三角形为直角三角形
C．若a＝3，b＝4，B＝，则此三角形必有两解
D．若△ABC是锐角三角形，则sinA＋sinB>cosA＋cosB
三、填空题
8．在△ABC中，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积为________．
9．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC，则＝________．
10．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，则b的取值范围为________．
四、解答题
11．在△ABC中，若acos2＋ccos2＝，求证：a＋c＝2b.
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
13．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且asinB＝bcosA，当b＋c＝4时，△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝2c，则A＝________．
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsinC＝csin2B，求△ABC的周长．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
第2课时　正弦定理(二)
一、单选题
1．在△ABC中，＝＝，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案：D
解析：因为＝＝，由正弦定理可得＝＝，所以＝，即sinB＝cosB.因为角B为三角形的内角，所以B＝.同理，C＝，所以A＝，因此△ABC是等腰直角三角形．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C＝(　　)
A．120° B．105°
C．90° D．75°
答案：A
解析：∵c＝a，∴sinC＝sinA＝sin(180°－30°－C)＝sin(30°＋C)＝，即sinC＝－cosC，∴tanC＝－.又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
3．已知半径R为4的圆的内接三角形ABC的面积S是，△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则abc的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
答案：A
解析：由三角形的面积公式S＝absinC＝，得absinC＝.由正弦定理可知＝2R＝8，∴sinC＝c，∴abc＝1.
4．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具．有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10 cm，较短边为5 cm，若将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A，B，C都在圆周上，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c＝3 cm，则sinC＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：设△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝5(cm)，由正弦定理＝2R，可得sinC＝＝＝.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由题意结合正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋sinBcosA，整理可得sinBcosA＝0，由于B∈(0，π)，故sinB>0，据此可得cosA＝0，A＝，则B＝π－A－C＝π－－＝.故选C.
二、多选题
6．在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的值可能是(　　)
A．1.3 B．1.5
C．1.7 D．1.9
答案：BC
解析：在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，∴<3A<π，且0<2A<，故7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆的半径等于1
B．若cos2＝，则此三角形为直角三角形
C．若a＝3，b＝4，B＝，则此三角形必有两解
D．若△ABC是锐角三角形，则sinA＋sinB>cosA＋cosB
答案：ABD
解析：根据正弦定理，2R＝＝＝2，所以R＝1，则△ABC外接圆的半径等于1，故A正确；cos2＝＝＝＝，所以2sinC＋2cosAsinC＝2sinB＋2sinC，所以cosAsinC＝sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝0，在△ABC中，sinA>0，所以cosC＝0，所以C＝，则此三角形为直角三角形，故B正确；因为a＝3，b＝4，B＝，所以asinB＝，所以asinBcosA＋cosB，故D正确．故选ABD.
三、填空题
8．在△ABC中，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积为________．
答案：
解析：由正弦定理，得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.又因为A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.
9．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC，则＝________．
答案：
解析：由正弦定理得，＝　①，＝　②.又AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以可得＝＝.
10．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，·＝2S，则b的取值范围为________．
答案：(2，4)
解析：因为·＝2S，所以bccosA＝2×bcsinA，解得tanA＝.又A∈，所以A＝.若△ABC为锐角三角形，则0＜B＜，A＋B＝＋B＞，解得＜B＜，所以＜sinB＜1.在△ABC中，由正弦定理，得＝，则b＝＝4sinB∈(2，4)．
四、解答题
11．在△ABC中，若acos2＋ccos2＝，求证：a＋c＝2b.
证明：因为acos2＋ccos2＝，
所以由正弦定理得
sinAcos2＋sinCcos2＝，
所以sinA·＋sinC·＝，
即sinA＋sinAcosC＋sinC＋sinCcosA＝3sinB，
所以sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，
所以sinA＋sinC＝2sinB，
所以由正弦定理可得a＋c＝2b.
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
解：(1)证明：由正弦定理，得
sinB＋sinC＝2sinAcosB，
即sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB＝2sinAcosB，
于是sinB＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，所以0所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝得absinC＝，
由正弦定理易得
sinBsinC＝sinA＝sin2B＝sinBcosB，
因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.
又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
13．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且asinB＝bcosA，当b＋c＝4时，△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．2
答案：C
解析：由asinB＝bcosA，得sinAsinB＝sinBcosA，又sinB≠0，∴tanA＝，∵014．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝2c，则A＝________．
答案：
解析：在△ABC中，sinA>0，sinB>0，由＋＝2c及正弦定理，得2sinC＝＋≥2，即sinC≥1，当且仅当sinA＝sinB时取等号，而sinC≤1，因此sinC＝1，且sinA＝sinB，所以C＝，A＝B＝.
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsinC＝csin2B，求△ABC的周长．
解：(1)解法一(利用辅助角公式求解)：
由sinA＋cosA＝2，可得sinA＋cosA＝1，即sin＝1，由于A∈(0，π) A＋∈，故A＋＝，解得A＝.
解法二(利用同角三角函数的基本关系求解)：
由sinA＋cosA＝2，
又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA，
得4cos2A－4cosA＋3＝0
(2cosA－)2＝0，
解得cosA＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由题设条件和正弦定理，
得bsinC＝csin2B
sinBsinC＝2sinCsinBcosB，
又B，C∈(0，π)，则sinBsinC≠0，
得cosB＝，故B＝，
于是sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
由正弦定理＝＝，
得＝＝，
解得b＝2，c＝＋，
故△ABC的周长为2＋3＋.
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsinA.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理，
得sinAsin＝sinBsinA.
因为sinA≠0，所以sin＝sinB.
由A＋B＋C＝180°可得＝B，A＋C＝2B，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理，得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°所以因此△ABC面积的取值范围是.
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