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数学　必修 第四册 RJ
9.1.2　余弦定理
一、单选题
1．在△ABC中，若a＝2，b＝4，cosC＝，则△ABC的周长为(　　)
A．8 B．16
C．10 D．20
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则sinC＝(　　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，AB＝，BC＝1，cosC＝，则·＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且sinA＝2sinB，2acosC＋b＝0，则cosA＝(　　)
A． B．
C． D．
5．已知钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
二、多选题
6．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形
B．若a2＝b2＋c2＋bc，则A为150°
C．若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形
D．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcsin2A＝b2＋c2－a2，则A的大小可能为(　　)
A． B．
C． D．
三、填空题
8．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________．
9．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度为________．
10．在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________．
四、解答题
11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ccosB＋b＝a.
(1)求角C；
(2)如图，若a＝b，D为△ABC外一点，AD∥BC，AD＝CD＝2，求四边形ABCD的面积．
13．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度确定
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA＋2csinC＝2bsinCcosA，则角A的最大值为________．
15．在△ABC中，cosB＝，b＝5，＝.
(1)求a；
(2)求sinA；
(3)求cos(B－2A)．
16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，sinB＋sinC＝2sinA.
(1)若cosA＝，求△ABC的面积；
(2)若△ABC是锐角三角形，D为BC的中点，求AD长的取值范围．
9.1.2　余弦定理
一、单选题
1．在△ABC中，若a＝2，b＝4，cosC＝，则△ABC的周长为(　　)
A．8 B．16
C．10 D．20
答案：C
解析：因为a＝2，b＝4，cosC＝，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－2×2×4×＝16，所以c＝4，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋4＋4＝10.
2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则sinC＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：由已知得S△ABC＝bcsinA＝c＝，∴c＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，∴a＝，由正弦定理知＝，即＝，∴sinC＝.故选C.
3．在△ABC中，AB＝，BC＝1，cosC＝，则·＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
答案：C
解析：在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA×CBcosC，即2＝CA2＋1－2CA×，∴CA2－CA－1＝0，∴CA＝2，∴·＝||||cos(180°－C)＝－||·||cosC＝－1×2×＝－.
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且sinA＝2sinB，2acosC＋b＝0，则cosA＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为sinA＝2sinB，所以a＝2b，因为2acosC＋b＝0，所以2a×＋b＝0，化简得a2＋2b2－c2＝0，将a＝2b代入，可得6b2＝c2，所以c＝b，所以cosA＝＝＝.故选C.
5．已知钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理，得cosα＝＝，所以－≤<0，解得≤a<3.
二、多选题
6．在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形
B．若a2＝b2＋c2＋bc，则A为150°
C．若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形
D．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3
答案：AB
解析：对于A，若a2>b2＋c2，则b2＋c2－a2<0，即有cosA＝<0，即A为钝角，故A正确；对于B，若a2＝b2＋c2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，则cosA＝＝－，即A＝150°，故B正确；对于C，若a2＋b2>c2，则a2＋b2－c2>0，即cosC>0，即C为锐角，不能说明A，B也是锐角，故C错误；对于D，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则A＝30°，B＝60°，C＝90°，故a∶b∶c＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝1∶∶2，故D错误．故选AB.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2bcsin2A＝b2＋c2－a2，则A的大小可能为(　　)
A． B．
C． D．
答案：ACD
解析：依题意可得sin2A＝＝cosA，即2sinAcosA＝cosA，则cosA＝0或sinA＝，因为A∈(0，π)，所以A＝或或.故选ACD.
三、填空题
8．在△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________．
答案：30°
解析：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋42－2×2×4cos60°＝12，∴c＝2.由正弦定理，得＝，解得sinA＝.∵a9．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD的长度为________．
答案：4
解析：由题意知sin∠ABC＝＝sin＝cos∠CBD，在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2BC×BDcos∠CBD＝27＋25－2×3×5×＝16，所以CD＝4.
10．在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，BC＝，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD＝________．
答案：2
解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a.
解法一：在△ABC中，由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋.由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，×2×b×sin60°＝×2×AD×sin30°＋×AD×b×sin30°，解得AD＝＝＝2.
解法二：在△ABC中，由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos60°＝6，因为b＞0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sinB＝，sinC＝，因为1＋＞＞2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，所以AD＝AB＝2.
四、解答题
11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
解：(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又a＋c＝6，①
b＝2，cosB＝，∴ac＝9，②
由①②，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，
∵cosB＝，∴sinB＝＝.
由正弦定理，得sinA＝＝，
∵a＝c，∴A为锐角，
∴cosA＝＝.
∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ccosB＋b＝a.
(1)求角C；
(2)如图，若a＝b，D为△ABC外一点，AD∥BC，AD＝CD＝2，求四边形ABCD的面积．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理得
sinCcosB＋sinB＝sinA.
又A＝π－(B＋C)，
所以sinCcosB＋sinB＝sin(B＋C)，
即sinCcosB＋sinB＝sinBcosC＋cosBsinC，
所以sinBcosC＝sinB.
又B∈(0，π)，所以sinB≠0，故cosC＝.
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为AD∥BC，
所以∠CAD＝∠ACB＝.
在△ACD中，AD＝CD＝2，
所以∠ACD＝∠CAD＝，故∠ADC＝，
所以AC2＝22＋22－2×2×2cos＝12，
即AC＝2.
又∠ACB＝，AC＝BC，
所以S△ACB＝AC×BCsin＝AC2＝3.
又S△ACD＝CD×ADsin＝，
所以四边形ABCD的面积为3＋.
13．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度确定
答案：A
解析：设直角三角形的三边长为a，b，c，且a2＋b2＝c2，令三边都增加x(x>0)，则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，所以c＋x所对的最大角变为锐角，所以三角形是锐角三角形．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinA＋2csinC＝2bsinCcosA，则角A的最大值为________．
答案：
解析：由asinA＋2csinC＝2bsinCcosA及正弦定理得a2＋2c2＝2bccosA，即cosA＝，又由余弦定理得cosA＝，∴a2＋2c2＝b2＋c2－a2，∴2a2＝b2－c2，∴cosA＝＝＝≥＝，当且仅当b＝c时，等号成立，又A∈(0，π)，∴角A的最大值为.
15．在△ABC中，cosB＝，b＝5，＝.
(1)求a；
(2)求sinA；
(3)求cos(B－2A)．
解：(1)设a＝2t，c＝3t，t>0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，
即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×，
解得t＝2(负值舍去)，则a＝4，c＝6.
(2)解法一：因为B∈(0，π)，
所以sinB＝＝＝，
再根据正弦定理，得＝，
解得sinA＝.
解法二：由余弦定理，得
cosA＝＝＝，
因为A∈(0，π)，则sinA＝＝.
(3)因为cosB＝>0，且B∈(0，π)，
所以B∈，
由(2)解法一知sinB＝，
因为a所以cosA＝＝，
则sin2A＝2sinAcosA＝2××＝，cos2A＝2cos2A－1＝2×－1＝，
cos(B－2A)＝cosBcos2A＋sinBsin2A＝×＋×＝.
16．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，sinB＋sinC＝2sinA.
(1)若cosA＝，求△ABC的面积；
(2)若△ABC是锐角三角形，D为BC的中点，求AD长的取值范围．
解：(1)因为sinB＋sinC＝2sinA，
由正弦定理可得b＋c＝2a，故b＋c＝4，
又4＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－＝16－，
故bc＝，
因为cosA＝，而A为三角形的内角，
故sinA＝，
所以S△ABC＝bcsinA＝××＝1.
(2)在△ABD中，c2＝＋AD2－a×AD×cos∠BDA，
在△ACD中，b2＝＋AD2－a×AD×cos∠CDA，
而cos∠CDA＋cos∠BDA＝0，
所以b2＋c2＝＋2AD2＝2＋2AD2，
故AD2＝＝＝b2－4b＋7＝(b－2)2＋3，
而△ABC是锐角三角形，
故即
解得故3≤AD2<，即≤AD<.
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