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数学　必修 第四册 RJ
9.2 正选定理与余弦定理的应用
一、单选题
1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)
A．10 km B． km
C．10 km D．10 km
2．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m B． m
C．15 m D．45 m
3．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
4．下图是国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．现从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60米，则OP＝(　　)
A．40米 B．30米
C．30米 D．30米
5．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，在B处测得顶端C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡与地平面的夹角为θ，则cosθ＝(　　)
A． B．
C．－1 D．－1
二、多选题
6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的方案是(　　)
A．测量A，C，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量a，b，B
7．某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　)
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D处在灯塔B的北偏西30°
三、填空题
8．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
9．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________．
10．如图所示，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度保持在海拔h km，飞行员先在A处看到山顶的俯角为α，继续飞行a km后在B处看到山顶的俯角为β，则山顶的海拔高度为________ km(用h，a，α，β表示)．
四、解答题
11．如图，为了测量隧道口A，B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶400 m到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400 m到达隧道口B点处，测得B，D间的距离为1000 m.
(1)若隧道口B在点D的北偏东θ的方向上，求cosθ的值；
(2)求隧道口A，B间的距离．
12．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并向北偏西30°方向移动，速度大小为30 km/h，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起，经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
13．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船向正北方向航行，速度大小为4 km/h，同时，乙船自B岛向北偏东60°方向驶去，速度大小为6 km/h，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(　　)
A． min B． h
C．21.5 min D．2.15 h
14．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度大小为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船所处的位置．
15．天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉．为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处(BD平行于地平面)，已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α(tanα＝2)．
(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长(用h表示)；
(2)已知cos∠BCD＝，求天门山的海拔．
16．如图，要测量山顶上的电视塔FG的高度，已知山的西面有一栋楼AC(该楼的高度低于山的高度)．试设计在楼AC上测山顶电视塔高度的测量、计算方案．
9.2 正选定理与余弦定理的应用
一、单选题
1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)
A．10 km B． km
C．10 km D．10 km
答案：D
解析：在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×＝700，所以AC＝10，即A，C两地的距离为10 km.
2．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30 m B． m
C．15 m D．45 m
答案：B
解析：在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理，得cos∠ACB＝＝＝－，∴sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.在Rt△ADC中，AD＝ACsin∠ACD＝15×＝(m)．故选B.
3．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
答案：B
解析：设竹竿与地面所成的角是α，影子长为x m，由正弦定理得＝，所以x＝sin(120°－α)，因为30°<120°－α<120°，所以当120°－α＝90°，即α＝30°时，x取得最大值，所以竹竿与地面所成的角为30°时，影子最长．故选B.
4．下图是国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．现从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60米，则OP＝(　　)
A．40米 B．30米
C．30米 D．30米
答案：C
解析：设OP＝h米，由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.在Rt△AOP中，OA＝＝h(米)，在Rt△BOP中，OB＝OP＝h米．在△ABO中，由余弦定理得OA2＝AB2＋OB2－2AB×OBcos60°，即3h2＝(60)2＋h2－2×60×h×，所以h＝30.
5．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，在B处测得顶端C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡与地平面的夹角为θ，则cosθ＝(　　)
A． B．
C．－1 D．－1
答案：D
解析：因为∠CBD＝45°，所以∠ACB＝45°－15°＝30°，在△ABC中，由正弦定理得＝，又sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，解得BC＝＝50(－)，在△BCD中，由正弦定理得＝，解得sin∠BDC＝＝－1，即sin(θ＋90°)＝－1，所以cosθ＝－1.故选D.
二、多选题
6．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出四种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，则一定能确定A，B间距离的方案是(　　)
A．测量A，C，b B．测量a，b，C
C．测量A，B，a D．测量a，b，B
答案：ABC
解析：对于A，在△ABC中，B＝π－(A＋C)，所以sinB＝sin(A＋C)．由正弦定理得＝，所以c＝；对于B，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，所以c＝；对于C，在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)，由正弦定理得＝，所以c＝；对于D，由cosB＝解得c可能有两个值．故一定能确定A，B间距离的方案是ABC.
7．某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　)
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D处在灯塔B的北偏西30°
答案：AC
解析：在△ABD中，由已知得AB＝12，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，则∠B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24，所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，又AC＝8，解得CD＝8，所以灯塔C与D处之间的距离为8 n mile，故B错误；因为AC＝CD＝8，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；灯塔B在D处的南偏东60°，则D处在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选AC.
三、填空题
8．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
答案：7
解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，解得cosD＝－，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×＝49，故AC＝7.
9．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________．
答案：30°
解析：如图，DC⊥AC，DC⊥BC，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，∵∠DBC＝30°，∴BC＝10.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ACB＝＝＝，∴∠ACB＝30°.
10．如图所示，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度保持在海拔h km，飞行员先在A处看到山顶的俯角为α，继续飞行a km后在B处看到山顶的俯角为β，则山顶的海拔高度为________ km(用h，a，α，β表示)．
答案：h－
解析：如图，在△ABC中，
由正弦定理得＝，
∴BC＝.过点C作CD垂直于AB的延长线于点D，过点C作CE垂直于水平线于点E，则在Rt△BDC中，CD＝BCsinβ＝，∴CE＝h－CD＝h－.
四、解答题
11．如图，为了测量隧道口A，B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶400 m到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400 m到达隧道口B点处，测得B，D间的距离为1000 m.
(1)若隧道口B在点D的北偏东θ的方向上，求cosθ的值；
(2)求隧道口A，B间的距离．
解：(1)在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sinθ＝.
由已知可得0°＜θ＜90°，所以cosθ＝.
(2)由(1)可知，cos∠ADB＝sinθ＝，
在△ABD中，由余弦定理得
AB2＝BD2＋AD2－2BD×ADcos∠ADB＝10002＋(400)2－2×1000×400×＝1000000，
所以AB＝1000，故隧道口A，B间的距离为1000 m.
12．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并向北偏西30°方向移动，速度大小为30 km/h，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起，经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．
解：如图，设台风中心经过t h到达B点，
由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，
在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，
由余弦定理，得
SB2＝SA2＋AB2－2SA×ABcos∠SAB＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°.
若S岛受到台风影响，
则应满足条件|SB|≤270，
即SB2≤2702，
化简整理，得t2－10t＋19≤0，
解得5－≤t≤5＋.
所以S岛会受到影响，从现在起，经过(5－) h S岛开始受到影响，(5＋)小时后影响结束，持续时间为(5＋)－(5－)＝2(h)．
13．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船向正北方向航行，速度大小为4 km/h，同时，乙船自B岛向北偏东60°方向驶去，速度大小为6 km/h，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(　　)
A． min B． h
C．21.5 min D．2.15 h
答案：A
解析：设航行时间为t时，甲船到达D处，乙船到达C处．当t<2.5 h时，如图甲．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6tcos120°＝28t2－20t＋100.当t＝＝(h)，即 min时，CD2最小，即CD最小为.
当t＝2.5 h时，D与B重合，CD＝6×2.5＝15(km)．当t>2.5 h时，如图乙．∠CBD＝60°，BD＝4t－10，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(4t－10)2＋(6t)2－2×(4t－10)×6tcos60°＝28t2－20t＋100>28×2.52－20×2.5＋100＝225，即CD>15.因为<15，所以当t＝ h，即t＝ min时，甲、乙两船相距最近．
14．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度大小为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船所处的位置．
答案：
解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝＝＝，所以∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，×60＝(min)．
15．天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉．为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处(BD平行于地平面)，已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α(tanα＝2)．
(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长(用h表示)；
(2)已知cos∠BCD＝，求天门山的海拔．
解：(1)如图，过C作CO⊥β，垂足为O，则CO＝h米，∠CBO＝45°，∠CDO＝α，
在Rt△COB中，BC＝＝h米．
在Rt△COD中，CD＝米，
因为tanα＝2，所以sinα＝，
所以CD＝米．
(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，
由(1)得5182＝2h2＋h2－h2×，整理得5182＝h2，即h＝518，
所以天门山的海拔为600＋400＋518＝1518米．
16．如图，要测量山顶上的电视塔FG的高度，已知山的西面有一栋楼AC(该楼的高度低于山的高度)．试设计在楼AC上测山顶电视塔高度的测量、计算方案．
解：设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是α，β，从楼顶下B点看塔底的仰角为γ，测出BC＝h.
如图，在△BCF中，BC＝h，∠CBF＝－γ，∠BCF＝＋β，∠BFC＝γ－β.
由正弦定理，得＝，
即＝，
∴BF＝.
在Rt△BEF中，
有BE＝BFcosγ＝.
在Rt△CGM中，∠GCM＝α，又CM＝BE，
则MG＝CMtanα＝.
在Rt△CFM中，∠FCM＝β，又CM＝BE，
则MF＝CMtanβ＝
＝.
从而电视塔高
FG＝MG－MF＝.
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