资源简介

第九章　单元质量测评
　时间：120分钟　　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝b，A＝2B，则cosB＝(　　)
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，则C＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　)
A．2 B．－
C．4－2 D．4＋2
4．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．75°
5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C． D．6
6．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)A． B．
C． D．
7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，则旗杆的高度为(　　)
A．10 m B．30 m
C．10 m D．20 m
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sinA＋sinC＝(　　)
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c的可能取值为(　　)
A． B．2
C． D．2
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若A＝150°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解
B．若A＝30°，a＝1，b＝4，则△ABC无解
C．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
D．若A＝60°，a＝b＝2，则△ABC有两解
11．已知△ABC的面积为，若cos2A＋cos2B＋2sinC＝2，cosAcosBsinC＝，则(　　)
A．sinC＝sin2A＋sin2B
B．AB＝
C．sinA＋sinB＝
D．AC2＋BC2＝3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________．
13．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，某人在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登4千米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登8千米方到达C处，则索道AC的长为________千米．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
17．(本小题满分15分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
18．(本小题满分17分)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n.
(1)若f(x)＝1，求cos的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．
19．(本小题满分17分)如图，岛A，C相距10海里．上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处沿直线方向匀速开往岛A，在岛A停留10分钟后前往B市．上午9：30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C 10海里的E处，此时小张从岛C乘坐速度为v海里/时的小艇沿直线方向前往岛A换乘客轮去B市．
(1)若v∈(0，30]，问小张能否乘上这班客轮？
(2)现测得cos∠BAC＝－，sin∠ACB＝.已知速度为v海里/时(v∈(0，30])的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
第九章　单元质量测评
　时间：120分钟　　满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝b，A＝2B，则cosB＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由正弦定理，得＝，∴a＝b可化为＝.又A＝2B，∴＝，∴cosB＝.
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，则C＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：B
解析：根据正弦定理，由已知条件可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，再根据余弦定理，得cosC＝＝，故C＝60°.
3．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　)
A．2 B．－
C．4－2 D．4＋2
答案：A
解析：sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝，由a＝c，知C＝75°，B＝30°，sinB＝.由正弦定理，得＝＝＝4，所以b＝4sinB＝2.
4．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．75°
答案：B
解析：令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3，2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝＝－，∴最大角为120°.
5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C． D．6
答案：A
解析：由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0，∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2×，∴c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.
6．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)A． B．
C． D．
答案：D
解析：由题意，得sin2A0，则cosA＝>0，∴0，∴角A的取值范围是.
7．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 m(如图所示)，则旗杆的高度为(　　)
A．10 m B．30 m
C．10 m D．20 m
答案：B
解析：依题意知，在△ABC中，∠ABC＝30°＋15°＝45°，∠ACB＝180°－60°－15°＝105°，所以∠BAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理知＝，所以AC＝·sin∠ABC＝×＝20(m)，在Rt△ACD中，AD＝ACsin∠ACD＝20×＝30(m)，即旗杆的高度为30 m.
8．(2024·全国甲卷，11)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sinA＋sinC＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理，得sinAsinC＝sin2B＝.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，再由正弦定理，得sin2A＋sin2C＝sinAsinC＝，所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝，因为A，C为三角形的内角，所以sinA＋sinC>0，所以sinA＋sinC＝.故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c的可能取值为(　　)
A． B．2
C． D．2
答案：AB
解析：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴5＝15＋c2－2×c×.化简，得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.故选AB.
10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　)
A．若A＝150°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解
B．若A＝30°，a＝1，b＝4，则△ABC无解
C．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
D．若A＝60°，a＝b＝2，则△ABC有两解
答案：BC
解析：对于A，因为a＝31，即△ABC无解，所以B正确；对于C，由正弦定理＝，得＝，所以sinB＝，因为45°11．(2025·新课标Ⅰ卷，11)已知△ABC的面积为，若cos2A＋cos2B＋2sinC＝2，cosAcosBsinC＝，则(　　)
A．sinC＝sin2A＋sin2B
B．AB＝
C．sinA＋sinB＝
D．AC2＋BC2＝3
答案：ABC
解析：cos2A＋cos2B＋2sinC＝2，由二倍角公式，得1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，整理可得，sinC＝sin2A＋sin2B，故A正确．由诱导公式，得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，展开可得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2A＋sin2B，即sinA(sinA－cosB)＋sinB(sinB－cosA)＝0.解法一：若A＋B＝，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，等式成立；若A＋B<，即A<－B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA0，sinB>0，于是sinA(sinA－cosB)＋sinB(sinB－cosA)<0，与条件不符，则A＋B<不成立；若A＋B>，同理可得sinA(sinA－cosB)＋sinB(sinB－cosA)>0，则A＋B>不成立．综上可知，A＋B＝，即C＝.
解法二：当sinC＝sin2A＋sin2B时，由C∈(0，π)，得sinC∈(0，1]，于是1×sinC＝sin2A＋sin2B≥sin2C，由正弦定理，得a2＋b2≥c2，由余弦定理可知，cosC≥0，则C∈，若C∈，则A＋B>，注意到cosAcosBsinC＝，则cosAcosB>0，于是cosA>0，cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈，结合A＋B> A>－B，而A，－B都是锐角，则sinA>sin＝cosB>0，于是sinC＝sin2A＋sin2B>cos2B＋sin2B＝1，这和sinC≤1相矛盾，故C∈不成立，则C＝.
解法一：由A＋B＝，得cosB＝sinA，所以cosAcosBsinC＝sinAcosA＝，则sin2A＝，同理，sin2B＝，注意到A，B是锐角，则2A，2B∈(0，π)，不妨设A解法二：由A＋B＝及cosAcosBsinC＝，得sinAsinB＝，(sinA＋sinB)2＝sin2A＋sin2B＋2sinAsinB＝sinC＋2sinAsinB＝1＋2×＝，所以sinA＋sinB＝，故C正确；由S△ABC＝，得AC·BC＝，即AC·BC＝，由正弦定理，得＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，则＝4R2＝＝2，得R＝，所以AB＝2R＝，所以AC2＋BC2＝AB2＝2，故B正确，D错误．故选ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________．
答案：1
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B，∴B＝.由正弦定理，知sinA＝＝.又a13．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，某人在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登4千米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登8千米方到达C处，则索道AC的长为________千米．
答案：4
解析：∵在△ABD中，BD＝4千米，∠ABD＝120°，∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°，∴AB＝BD＝4千米．在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝42＋(4＋8)2－2×4×(4＋8)×＝208，∴AC＝4千米．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则＋的最大值为________．
答案：2
解析：因为S△ABC＝×a×＝bcsinA，所以a2＝2bcsinA.由余弦定理得cosA＝，所以b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2bcsinA＋2bccosA，所以＋＝＝2sinA＋2cosA＝2sin，因为A∈(0，π)，所以当A＋＝，即A＝时，＋取得最大值，为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝，
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcosB＝82＋52－2×8×5×＝49，所以AC＝7.
16．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．
解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC有ccosB＋bcosC＝a，
代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝.
(2)由cosA＝，得sinA＝.
则cosB＝－cos(A＋C)
＝－cosC＋sinC，
代入cosB＋cosC＝得cosC＋sinC＝，
从而得sin(C＋φ)＝1，
其中sinφ＝，cosφ＝，0<φ<.
则C＋φ＝，于是sinC＝，
由正弦定理，得c＝＝.
17．(本小题满分15分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
解：(1)在△POC中，由余弦定理，得PC2＝OP2＋OC2－2OP×OCcosθ＝5－4cosθ，
所以y＝S△OPC＋S△PCD
＝×1×2sinθ＋(5－4cosθ)
＝2sin＋(0<θ<π)．
(2)当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
18．(本小题满分17分)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n.
(1)若f(x)＝1，求cos的值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．
解：由题意，得f(x)＝sincos＋cos2
＝sin＋cos＋＝sin＋.
(1)由f(x)＝1，得sin＝，
则cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝－.
(2)已知acosC＋c＝b，由余弦定理，得
a×＋c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，
则cosA＝＝，
又A为三角形的内角，所以A＝，B＋C＝，
易知0所以1故f(B)的取值范围为.
19．(本小题满分17分)如图，岛A，C相距10海里．上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处沿直线方向匀速开往岛A，在岛A停留10分钟后前往B市．上午9：30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C 10海里的E处，此时小张从岛C乘坐速度为v海里/时的小艇沿直线方向前往岛A换乘客轮去B市．
(1)若v∈(0，30]，问小张能否乘上这班客轮？
(2)现测得cos∠BAC＝－，sin∠ACB＝.已知速度为v海里/时(v∈(0，30])的小艇每小时的总费用为元，若小张由岛C直接乘小艇去B市，则至少需要多少费用？
解：(1)如题图，根据题意，得CD＝10海里，CE＝10海里，AC＝10海里，∠DCE＝70°－40°＝30°.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝
＝
＝10(海里)，
所以客轮的航行速度v1＝10×2＝20(海里/时)．
因为CD＝DE，所以∠DEC＝∠DCE＝30°，
所以∠AEC＝180°－30°＝150°.
在△ACE中，由余弦定理，得
AC2＝AE2＋CE2－2AE×CEcos∠AEC，
整理得AE2＋30AE－400＝0，
解得AE＝10或AE＝－40(不符合题意，舍去)．
所以客轮从E处到岛A所用的时间
t1＝＝(小时)，
小张到岛A所用的时间至少为
t2＝＝(小时)．
由于t2>t1＋，
所以若小张9：30出发，则无法乘上这班客轮．
(2)在△ABC中，cos∠BAC＝－，sin∠ACB＝，
所以∠BAC为钝角，∠ACB为锐角，sin∠BAC＝，cos∠ACB＝.
所以sinB＝sin[180°－(∠BAC＋∠ACB)]
＝sin(∠BAC＋∠ACB)
＝sin∠BACcos∠ACB＋cos∠BACsin∠ACB
＝×－×＝.
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝15(海里)，
所以小张由岛C直接乘小艇去B市的总费用为f(v)＝
＝15
≥165(v∈(0，30])，
当且仅当v＝，即v＝10时，f(v)min＝165(元)．
所以若小张由岛C直接乘小艇去B市，其费用至少需要165元．
11

展开更多......

收起↑