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数学　必修 第四册 RJ
10.1.1　复数的概念
一、单选题
1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为(　　)
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
2．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　　)
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
3．复数z的实部Re(z)、虚部Im(z)满足：－Re(z)＋[1－2Im(z)]i＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．－1－i
C．1－i D．－1－i
4．以2i－的虚部为实部，i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．－＋i B．2＋i
C．2－2i D．＋i
5．给出下列命题：
①不全为实数的两个复数不能比较大小；
②复数z1，z2，z3满足(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
③x＋yi＝i x＝0，y＝1.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
二、多选题
6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ的值可能为(　　)
A． B．－
C． D．－
7．下列命题中不正确的是(　　)
A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时，z为纯虚数
B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
C．若a∈R，则ai为纯虚数
D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0
三、填空题
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
9．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________．
10．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的取值范围是________．
四、解答题
11．是否存在实数m，使复数z＝(m2－m－6)＋i为纯虚数？若存在，求出m的值；否则，请说明理由．
12．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N) M，M∩N≠ ，求整数a，b的值．
13．若复数z＝(sinθ－2cosθ)＋(sinθ＋2cosθ)i是纯虚数，则sinθcosθ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
14．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)，m∈R，如果z是纯虚数，则m的值是________，z的虚部为________．
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
16．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z110.1.1　复数的概念
一、单选题
1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为(　　)
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
答案：C
解析：∵复数z＝＋(a2－1)i是实数，∴解得a＝－1.故选C.
2．如果C，R，I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，则(　　)
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I D．R∩I＝
答案：D
解析：由Venn图可知R∩I＝ .
3．复数z的实部Re(z)、虚部Im(z)满足：－Re(z)＋[1－2Im(z)]i＝1＋2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．－1－i
C．1－i D．－1－i
答案：B
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由－Re(z)＋[1－2Im(z)]i＝1＋2i，得－x＋(1－2y)i＝1＋2i，所以解得所以z＝－1－i.
4．以2i－的虚部为实部，i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)
A．－＋i B．2＋i
C．2－2i D．＋i
答案：C
解析：复数2i－的虚部为2，又i＋2i2＝－2＋i，则i＋2i2的实部为－2，所以新复数为2－2i.
5．给出下列命题：
①不全为实数的两个复数不能比较大小；
②复数z1，z2，z3满足(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；
③x＋yi＝i x＝0，y＝1.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：严格按照复数的有关概念和性质进行判断，可知①正确．
二、多选题
6．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ的值可能为(　　)
A． B．－
C． D．－
答案：AD
解析：由复数相等的定义，可知∴cosθ＝，sinθ＝，∴θ＝＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得θ＝；令k＝－1，得θ＝－.故选AD.
7．下列命题中不正确的是(　　)
A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时，z为纯虚数
B．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
C．若a∈R，则ai为纯虚数
D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0
答案：ABC
解析：对于A，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，故A不正确；对于B，当实部等于零，虚部不等于零时才是纯虚数，故B不正确；对于C，当a≠0时，ai为纯虚数，故C不正确；对于D，z∈R，则a＋|a|＝0，所以a≤0，故D正确．故选ABC.
三、填空题
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析：若复数为纯虚数，则有即
∴a＝－1，故复数不是纯虚数时，a≠－1.
9．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________．
答案：－2
解析：∵m∈R，∴解得m＝－2.
10．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的取值范围是________．
答案：{－2}
解析：∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴
∴∴x＝－2.
四、解答题
11．是否存在实数m，使复数z＝(m2－m－6)＋i为纯虚数？若存在，求出m的值；否则，请说明理由．
解：假设存在实数m，使复数z是纯虚数，则
　　
由①，得m＝－2或m＝3.
当m＝－2时，②式无意义；
当m＝3时，②式不成立．
故不存在实数m，使复数z为纯虚数．
12．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且满足(M∩N) M，M∩N≠ ，求整数a，b的值．
解：由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①得解得a＝－3，b＝±2，
由②得解得a＝±3，b＝－2，
由③得该方程组中a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
13．若复数z＝(sinθ－2cosθ)＋(sinθ＋2cosθ)i是纯虚数，则sinθcosθ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
答案：C
解析：因为z是纯虚数，所以 tanθ＝2，所以sinθcosθ＝＝＝＝.故选C.
14．设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(3－m)，m∈R，如果z是纯虚数，则m的值是________，z的虚部为________．
答案：－1　2
解析：因为z是纯虚数，
所以
解得m＝－1.则z＝ilog2(3－m)＝ilog222＝2i，则z的虚部为2.
15．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)．
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围．
解：(1)若z1为纯虚数，则
解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
所以λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.
因为－1≤sinθ≤1，所以当sinθ＝1时，λmin＝2，当sinθ＝－1时，λmax＝6，所以实数λ的取值范围是[2，6]．
16．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0，－1，－2，∴z1＝1或2或5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0，1，4，∴z2＝2或6或18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为 ；
当z111

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