资源简介

数学　必修 第四册 RJ
10.1.2　复数的几何意义
一、单选题
1．在复平面内，复数3i－i2对应的点的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，3) D．(3，－1)
2．已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝1＋3ai，其中a∈R，若|z1|＝|z2|，则a＝(　　)
A．± B．±
C． D．
4．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点为P，则点P不可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点组成的集合是(　　)
A．1个圆 B．1条线段
C．2个点 D．2个圆
二、多选题
6．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，则(　　)
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于
7．已知复数z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则(　　)
A．Z1，Z2两点在以原点为圆心的同一个圆上
B．Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝
C．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π
D．满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π
三、填空题
8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，在复平面内对应的点在函数y＝x的图象上，则z＝________．
9．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
10．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
四、解答题
11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点：
(1)在第四象限？
(2)在x轴负半轴上？
(3)在实轴上方(含实轴)
12．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
13．使|logx－4i|≥|3＋4i|成立的x的取值范围是(　　)
A．
B．(0，1]∪[8，＋∞)
C．∪[8，＋∞)
D．(0，1)∪(8，＋∞)
14．设集合M＝{y|y＝|cosx－sinx|，x∈R}，N＝{x||＋xi|<，x∈R，i为虚数单位}，则M∩N＝________．
15．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．
(1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；
(2)求当m为何值时，||最小．并求出||的最小值．
16．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．
10.1.2　复数的几何意义
一、单选题
1．在复平面内，复数3i－i2对应的点的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，3) D．(3，－1)
答案：A
解析：3i－i2＝1＋3i，故复数3i－i2对应的点的坐标为(1，3)．故选A.
2．已知z＝－1－i，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C． D．2
答案：C
解析：若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C.
3．已知复数z1＝a＋2i，z2＝1＋3ai，其中a∈R，若|z1|＝|z2|，则a＝(　　)
A．± B．±
C． D．
答案：B
解析：因为|z1|＝|z2|，所以＝，化简得8a2－3＝0，解得a＝±.故选B.
4．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点为P，则点P不可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)，所以x＝m＋3，y＝m－1，所以x－y－4＝0，因为直线x－y－4＝0不经过第二象限，所以复数z在复平面内对应的点P不可能在第二象限．
5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点组成的集合是(　　)
A．1个圆 B．1条线段
C．2个点 D．2个圆
答案：A
解析：由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，∴复数z对应的点组成的集合是以原点为圆心，3为半径的圆．
二、多选题
6．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，则(　　)
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为，且z＝，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于
答案：BC
解析：当a＝0，b＝1时，z＝i为纯虚数，故A错误；若z＝，则a＋bi＝a－bi，因此b＝0，故B正确；由|z|是实数且z＝|z|，知z是实数，故C正确；若|z|＝，则a2＋b2＝，又a＋b＝1，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32＜0，无解，即|z|不可以等于，故D错误．故选BC.
7．已知复数z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则(　　)
A．Z1，Z2两点在以原点为圆心的同一个圆上
B．Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝
C．满足|z|＝|z1|的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π
D．满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π
答案：BD
解析：对于A，由题意得z1＝3＋4i，z2＝－2＋5i，所以|z1|＝＝5，|z2|＝＝，所以|z1|≠|z2|，所以Z1，Z2两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误；对于B，Z1，Z2两点之间的距离为|Z1Z2|＝＝，故B正确；对于C，满足|z|＝|z1|＝5的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，5为半径的圆，所以其周长为2π×5＝10π，故C错误；对于D，满足|z1|<|z|<|z2|的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以＝5，＝为半径的两个圆所夹的圆环，所以其面积为π×()2－π×52＝4π，故D正确．故选BD.
三、填空题
8．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|＝5，在复平面内对应的点在函数y＝x的图象上，则z＝________．
答案：－3＋4i
解析：由题意设＝3t＋4ti(t∈R)，则z＝3t－4ti.∵|z|＝5，∴9t2＋16t2＝25，∴t2＝1.又z在复平面内对应的点在第二象限，∴t<0，∴t＝－1，∴z＝－3＋4i.
9．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．
答案：(0，2)
解析：|z|＝＝，∵π<α<2π，∴－110．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的值是________．
答案：5
解析：由已知，得＝(－1，2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，∴x＋y＝x(－1，2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)．由＝x＋y，可得解得∴x＋y＝5.
四、解答题
11．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点：
(1)在第四象限？
(2)在x轴负半轴上？
(3)在实轴上方(含实轴)
解：(1)要使点位于第四象限，
需∴
解得－7∴当－7(2)要使点位于x轴负半轴上，需
∴得m＝4.
∴当m＝4时，复数z对应的点在x轴负半轴上．
(3)要使点在实轴上方(含实轴)，需m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
∴当m≥4或m≤－7时，复数z对应的点在实轴上方(含实轴)．
12．在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
解：(1)由复数的几何意义知，
＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)，
所以＝－＝(1，1)，
＝－＝(－2，2)，
＝－＝(－3，1)，
所以向量，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
13．使|logx－4i|≥|3＋4i|成立的x的取值范围是(　　)
A．
B．(0，1]∪[8，＋∞)
C．∪[8，＋∞)
D．(0，1)∪(8，＋∞)
答案：C
解析：由题意得≥5，∴(logx)2≥9，∴logx≥3或logx≤－3，∴014．设集合M＝{y|y＝|cosx－sinx|，x∈R}，N＝{x||＋xi|<，x∈R，i为虚数单位}，则M∩N＝________．
答案：[0，1)
解析：∵y＝|cosx－sinx|＝∈[0，]，∴M＝[0，]．∵|＋xi|<，∴<，∴－115．已知复数z＝(1＋2m)＋(3＋m)i(m∈R)．
(1)若m＝1，且||＝|x＋(x－1)i|，求实数x的值；
(2)求当m为何值时，||最小．并求出||的最小值．
解：(1)由m＝1，得z＝3＋4i，＝3－4i，
则由||＝|x＋(x－1)i|，
得＝，
整理得x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.
(2)||＝＝＝≥，当且仅当m＝－1时，||取得最小值，为.
16．已知z1＝x2＋i，z2＝(x2＋a)i，对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立，试求实数a的取值范围．
解：∵|z1|＝，|z2|＝|x2＋a|，
且|z1|>|z2|，
∴>|x2＋a|对x∈R恒成立，等价于(1－2a)x2＋(1－a2)>0恒成立．
不等式等价于①解得a＝，
或②
解得－1综上可得，实数a的取值范围是.
13

展开更多......

收起↑