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数学　必修 第四册 RJ
10.2.1　复数的加法与减法
一、单选题
1．若复数z满足z＋11－2i＝3＋3i，则z的虚部为(　　)
A．14 B．5
C．5i D．－8
2．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)＝(　　)
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
3．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)
A． B．i
C．＋i D．＋2i
4．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数－2ai在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
6．复数z＝a－3i(a≥0)，则下列说法正确的是(　　)
A．z在复平面内对应的点都位于第四象限
B．z在复平面内对应的点在直线y＝－3上
C．z－＝－6i
D．|z＋i|的最小值为4
7．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.则下列命题中是真命题的是(　　)
A．对任意z∈C，都有D(z)>0
B．若是复数z的共轭复数，则D()＝D(z)恒成立
C．若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2
D．对任意z1，z2∈C，结论D(z1，z2)＝D(z2，z1)恒成立
三、填空题
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________．
9．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．
10．复数z1＝cosθ＋isinθ(0≤θ＜2π)，z2＝1－i，其中i是虚数单位，则|z1－z2|的最大值为________，最小值为________．
四、解答题
11．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2>0，求实数m的值．
12．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
13．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
14．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝4，则|z1－z2|＝________．
15．设复数z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，集合A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝ ，求a的取值范围．
16．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.指出集合P在复平面内所表示的图形．
10.2.1　复数的加法与减法
一、单选题
1．若复数z满足z＋11－2i＝3＋3i，则z的虚部为(　　)
A．14 B．5
C．5i D．－8
答案：B
解析：因为z＋11－2i＝3＋3i，所以z＝(3＋3i)－(11－2i)＝－8＋5i，所以z的虚部为5.故选B.
2．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)＝(　　)
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
答案：D
解析：∵z1－z2＝1＋5i－(－3＋2i)＝4＋3i，∴z1－z2＝4－3i.∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝4＋3i.
3．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是(　　)
A． B．i
C．＋i D．＋2i
答案：C
解析：设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝.由题意知a＋bi＋＝5＋i，即a＋＋bi＝5＋i，所以解得故所求复数为＋i.
4．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝－3＋5i，∵－3<0，5>0，∴z对应的点在第二象限．
5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，则复数－2ai在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：因为复数z＝－a＋2i(其中a∈R)为“等部复数”，可得a＝－2，即z＝2＋2i，可得＝2－2i，则－2ai＝2－2i＋4i＝2＋2i在复平面内对应的点为Z(2，2)，位于第一象限．故选A.
二、多选题
6．复数z＝a－3i(a≥0)，则下列说法正确的是(　　)
A．z在复平面内对应的点都位于第四象限
B．z在复平面内对应的点在直线y＝－3上
C．z－＝－6i
D．|z＋i|的最小值为4
答案：BC
解析：对于A，B，因为z＝a－3i，所以z在复平面内对应的点为(a，－3)(a≥0)，故A错误，B正确；对于C，＝a＋3i，z－＝(a－3i)－(a＋3i)＝－6i，故C正确；对于D，|z＋i|＝|a－2i|＝≥2，当a＝0时，|z＋i|取得最小值，为2，故D错误．故选BC.
7．已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.则下列命题中是真命题的是(　　)
A．对任意z∈C，都有D(z)>0
B．若是复数z的共轭复数，则D()＝D(z)恒成立
C．若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2
D．对任意z1，z2∈C，结论D(z1，z2)＝D(z2，z1)恒成立
答案：BD
解析：对于A，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故A错误；对于B，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D()＝D(z)恒成立，故B正确；对于C，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故C错误；D显然正确．
三、填空题
8．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________．
答案：3
解析：∵z1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4.由复数相等的条件知解得∴a＋b＝3.
9．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．
答案：－1
解析：∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
10．复数z1＝cosθ＋isinθ(0≤θ＜2π)，z2＝1－i，其中i是虚数单位，则|z1－z2|的最大值为________，最小值为________．
答案：＋1　－1
解析：解法一：因为||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，且|z1|＝＝1，|z2|＝＝，所以|1－|≤|z1－z2|≤1＋，即－1≤|z1－z2|≤1＋，所以|z1－z2|的最大值为＋1，最小值为－1.
解法二：z1－z2＝(cosθ－1)＋(sinθ＋1)i，所以|z1－z2|＝＝，因为0≤θ＜2π，所以－1≤sin≤1，所以≤|z1－z2|≤，即－1≤|z1－z2|≤＋1，所以|z1－z2|的最大值为＋1，最小值为－1.
四、解答题
11．复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2>0，求实数m的值．
解：z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)
＝(－m)＋(m2－2m)i.
∵z1＋z2>0，
∴z1＋z2为实数且大于0，
∴解得m＝2.
12．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．
解：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
∵＝－，
∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.
∴A，B两点间的距离为
|－8－2i|＝＝2.
13．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：D
解析：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以点C(3，4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
14．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝4，则|z1－z2|＝________．
答案：4
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，所以z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝a＋c＋(b＋d)i，又|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝4，所以a2＋b2＝16，c2＋d2＝16，(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋b2＋2ac＋c2＋d2＋2bd＝16，所以2ac＋2bd＝－16，又z1－z2＝a＋bi－(c＋di)＝a－c＋(b－d)i，所以|z1－z2|＝＝＝4.
15．设复数z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，集合A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝ ，求a的取值范围．
解：∵z1＝1＋2ai，z2＝a－i，
∴|z－z1|<，即|z－(1＋2ai)|<，|z－z2|≤2，即|z－(a－i)|≤2，
由复数减法及模的几何意义知，集合A是以点(1，2a)为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以点(a，－1)为圆心，2为半径的圆及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝ ，则两圆圆心距大于或等于半径和，即≥3，解得a≤－2或a≥.
16．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.指出集合P在复平面内所表示的图形．
解：由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1，0)为圆心，1为半径的圆及其内部．
由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1，1)和(2，0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．
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