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数学　必修 第四册 RJ
10.2.2　复数的乘法与除法
一、单选题
1．在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是(　　)
A．－15 B．－3
C．3 D．15
3．若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
4．方程x2－x＋1＝0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
5．已知复数z满足＝2i21，则(　　)
A．z＝－＋i B．＝－i
C．z的虚部为 D．z2＝－－i
二、多选题
6．已知虚数z1，z2是方程z3－8＝0的两个不同的根，则下列说法正确的是(　　)
A．z＋2z1＋4＝0 B．z＝z2
C．z1z2＝4 D．|z1|＝2
7．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，下列四个结论中正确的是(　　)
A．(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)
B．z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)
C．(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)
D．z1*z2＝z2*z1
三、填空题
8．已知复数(2－i)的实部大于0，写出符合条件的一个复数z＝________．
9．设z1是复数，z2＝z1－iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，＋＝，则＝________，|z|＝________．
四、解答题
11．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i(i为虚数单位)．
(1)求z1z2；
(2)若＝＋，求z.
12．已知复数z1满足z1－4＝(3－2z1)i(i为虚数单位)，z＝＋|z1－2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程．
13．若复数z满足z2＋z＋1＝0，则z2025＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
14．若复数z满足|z|＝|z＋2i|，且为纯虚数，则z＝________．
15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
16．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
10.2.2　复数的乘法与除法
一、单选题
1．在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：A
解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.
2．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是(　　)
A．－15 B．－3
C．3 D．15
答案：B
解析：＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
3．(2024·新课标Ⅰ卷，2)若＝1＋i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
答案：C
解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
4．方程x2－x＋1＝0的解集为(　　)
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：配方，得＝－，∴x－＝±i，∴x＝±i，∴方程的解集为.
5．已知复数z满足＝2i21，则(　　)
A．z＝－＋i B．＝－i
C．z的虚部为 D．z2＝－－i
答案：D
解析：由题意可得＝2i，即1＋2i＝z(－1＋2i)，所以z＝＝＝－i，所以z的虚部为－，＝＋i，z2＝－－i.
二、多选题
6．已知虚数z1，z2是方程z3－8＝0的两个不同的根，则下列说法正确的是(　　)
A．z＋2z1＋4＝0 B．z＝z2
C．z1z2＝4 D．|z1|＝2
答案：ACD
解析：对于A，z3－8＝(z－2)(z2＋2z＋4)，令z2＋2z＋4＝0，其中Δ＝4－16＝－12<0，由于z1，z2为虚数，故z1，z2为z2＋2z＋4＝0的两个根，则z＋2z1＋4＝0，A正确；对于B，z2＋2z＋4＝0的两个根为＝－1±i，若z1＝－1＋i，z2＝－1－i，则z＝(－1＋i)2＝1－2i＋3i2＝－2－2i≠z2，B错误；对于C，由根与系数的关系得z1z2＝4，C正确；对于D，由B项分析可知，z1＝－1＋i或－1－i，均有|z1|＝＝2，D正确．故选ACD.
7．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝，其中是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3，下列四个结论中正确的是(　　)
A．(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)
B．z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)
C．(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)
D．z1*z2＝z2*z1
答案：AB
解析：对于A，(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3)，显然成立；对于B，z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3)，显然成立；对于C，(z1*z2)*z3＝(z1)＝z1，而z1*(z2* z3)＝z1*(z2)＝z1z3，显然不一定成立；对于D，z1*z2＝z1，而z2*z1＝z2，显然不一定成立．
三、填空题
8．已知复数(2－i)的实部大于0，写出符合条件的一个复数z＝________．
答案：1＋i(答案不唯一)
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(2－i)＝(x－yi)(2－i)＝2x－y－(x＋2y)i，由2x－y＞0，可取x＝1，y＝1，此时z＝1＋i.(答案不唯一)
9．设z1是复数，z2＝z1－iz1(其中z1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
答案：1
解析：设z1＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x＋yi－i(x－yi)＝(x－y)＋(y－x)i，故有x－y＝－1，y－x＝1，所以z2的虚部为1.
10．设z＝x＋yi(x，y∈R)，＋＝，则＝________，|z|＝________．
答案：－1－5i　
解析：＋＝＋＝＋i，＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以z＝－1＋5i，＝－1－5i，|z|＝＝.
四、解答题
11．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i(i为虚数单位)．
(1)求z1z2；
(2)若＝＋，求z.
解：(1)∵z1＝1－i，z2＝2＋2i，
∴z1z2＝(1－i)(2＋2i)＝4.
(2)由＝＋，得z＝，
z＝＝＝－i.
12．已知复数z1满足z1－4＝(3－2z1)i(i为虚数单位)，z＝＋|z1－2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程．
解：由z1－4＝(3－2z1)i，得z1(1＋2i)＝4＋3i，
所以z1＝＝2－i，
所以z＝＋|－i|＝3＋i，若实系数一元二次方程有虚数根z＝3＋i，则必有共轭虚数根＝3－i.
因为z＋＝6，z＝10，
所以所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0.
13．若复数z满足z2＋z＋1＝0，则z2025＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：A
解析：因为z2＋z＋1＝0，所以z3－1＝(z－1)·(z2＋z＋1)＝0，故z3＝1，因为2025＝3×675，所以z2025＝(z3)675＝1.故选A.
14．若复数z满足|z|＝|z＋2i|，且为纯虚数，则z＝________．
答案：1－i
解析：因为为纯虚数，设＝ai(a∈R，且a≠0)，则z＝，z＋2i＝，因为|z|＝|z＋2i|，
所以＝，
所以2|a|＝，
解得a＝－1，所以z＝＝1－i.
15．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i为实数，
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
16．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
所以△ABC的面积为1.
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