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数学　必修 第四册 RJ
第1课时　复数的三角形式
一、单选题
1．复数z＝－3的辐角主值是(　　)
A． B．
C． D．
2．复数z＝的辐角主值是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知复数z＝－1＋i，则它的共轭复数的三角形式为(　　)
A．＝2
B．＝－2
C．＝2
D．＝2
4．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：eix＝cosx＋isinx(其中i为虚数单位，i2＝－1)，根据这个公式，e3i表示的复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．复数z＝1－cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的辐角主值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
二、多选题
6．复数－－i的辐角可能是(　　)
A． B．
C．－ D．
7．下列说法正确的是(　　)
A．复数z＝cos＋isin的辐角主值为
B．复数z＝cos＋isin的辐角主值为－
C．复数z＝8的代数形式为4＋4i
D．复数z＝－2i的三角形式为z＝－2
三、填空题
8．复数z＝2的实部是________，虚部是________，三角形式是________．
9．复数1＋i的模是________，辐角主值是________，三角形式是________．
10．复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β，则tan(α＋β)＝________．
四、解答题
11．把下列复数表示成三角形式：
(1)z1＝3＋3i；(2)z2＝－4i.
12．已知复数z＝＋i，w＝＋i，求复数zw＋zw3的模及辐角主值．
13．已知复数z＝＋i，则arg＝(　　)
A． B．
C． D．
14．已知复数z－1的一个辐角为，z＋1的一个辐角为，则复数z＝________．
15．已知复数z＝1＋i，求复数的模和辐角主值．
16．已知复数z＝1－sinθ＋icosθ，求z的共轭复数的辐角主值．
第1课时　复数的三角形式
一、单选题
1．复数z＝－3的辐角主值是(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：z＝－3＝3＝3，∴argz＝.
2．复数z＝的辐角主值是(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：z＝＝－i＝，所以辐角主值是.故选D.
3．已知复数z＝－1＋i，则它的共轭复数的三角形式为(　　)
A．＝2
B．＝－2
C．＝2
D．＝2
答案：C
解析：∵＝－1－i，∴||＝2，＝2＝2.
4．著名数学家欧拉发现了复数的三角形式：eix＝cosx＋isinx(其中i为虚数单位，i2＝－1)，根据这个公式，e3i表示的复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：B
解析：∵eix＝cosx＋isinx，∴e3i＝cos3＋isin3，3弧度的角终边在第二象限．故选B.
5．复数z＝1－cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的辐角主值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
答案：C
解析：z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2＋2isincos＝2sin＝2sin.∵π<θ<2π，∴<<π，∴sin>0，－<－<0.∵辐角主值的取值范围为[0，2π)，∴复数z的辐角主值为－.故选C.
二、多选题
6．复数－－i的辐角可能是(　　)
A． B．
C．－ D．
答案：BCD
解析：复数－－i的辐角为＋2kπ，k∈Z，且当k＝0时，为；当k＝－1时，为－；当k＝1时，为；不存在的情况．
7．下列说法正确的是(　　)
A．复数z＝cos＋isin的辐角主值为
B．复数z＝cos＋isin的辐角主值为－
C．复数z＝8的代数形式为4＋4i
D．复数z＝－2i的三角形式为z＝－2
答案：AC
解析：对于A，因为∈[0，2π)，故z的辐角主值为，故A正确；对于B，－ [0，2π)，故z的辐角主值不是－，故B错误；对于C，z＝8＝8＝4＋4i，故C正确；对于D，－2＝－2，故D错误．故选AC.
三、填空题
8．复数z＝2的实部是________，虚部是________，三角形式是________．
答案：　－1　2
解析：z＝2＝－i，所以实部为，虚部为－1，三角形式为2.
9．复数1＋i的模是________，辐角主值是________，三角形式是________．
答案：　　
解析：复数1＋i的模是＝，∵1＋i对应的点在第一象限，且辐角的正切tanθ＝1，∴arg(1＋i)＝，∴三角形式为.
10．复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β，则tan(α＋β)＝________．
答案：1
解析：∵复数2＋i和－3－i的辐角主值分别为α，β，∴tanα＝，tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝1.
四、解答题
11．把下列复数表示成三角形式：
(1)z1＝3＋3i；(2)z2＝－4i.
解：(1)由a＝3，b＝3，知点Z1(3，3)在第一象限，故辐角为第一象限角．
r＝＝6.
又tanθ＝＝，所以argz1＝.
所以复数z1＝3＋3i的三角形式为
z1＝6.
(2)由a＝0，b＝－4<0，
知r＝＝4，argz2＝，
因此复数z2＝－4i的三角形式为
z2＝4.
12．已知复数z＝＋i，w＝＋i，求复数zw＋zw3的模及辐角主值．
解：∵zw＋zw3＝zw(1＋w2)
＝(1＋i)
＝
＝.
∴复数zw＋zw3的模为，辐角主值为.
13．已知复数z＝＋i，则arg＝(　　)
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由题设，＝＝，所以复数对应的点为，在第四象限，且正切值为－，则arg＝.故选B.
14．已知复数z－1的一个辐角为，z＋1的一个辐角为，则复数z＝________．
答案：－＋i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为z－1＝a－1＋bi的一个辐角为，所以tan＝＝－.因为z＋1＝a＋1＋bi的一个辐角为，所以tan＝＝，解得所以z＝－＋i.
15．已知复数z＝1＋i，求复数的模和辐角主值．
解：＝＝＝1－i，
|1－i|＝＝，
因为1－i对应的点在第四象限且辐角的正切tanθ＝－1，
所以辐角主值为.
16．已知复数z＝1－sinθ＋icosθ，求z的共轭复数的辐角主值．
解：z＝1＋cos＋isin
＝2cos2＋2isincos
＝2cos，
当<θ<π时，<－<，<＋<，
∴＝－2cos
＝－2cos，
∴的辐角主值为－.
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