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数学　必修 第四册 RJ
第2课时　复数三角形式的乘除法
一、单选题
1．(1＋i)的值是(　　)
A．－i B．i
C．2i D．－2i
2．复数的辐角主值为(　　)
A． B．
C． D．
3．复数的辐角主值为(　　)
A．40° B．140°
C．220° D．310°
4．复数z＝－3＝(　　)
A．3
B．3
C．3
D．3
5．复数z1，z2分别对应复平面内的点Z1(1，)，Z2(，1)，若将按逆时针方向旋转得到，对应复数z3，则z2z3＝(　　)
A．－2＋2i B．－2－2i
C．－1＋i D．－1－i
二、多选题
6．已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　)
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
7．下列命题中正确的是(　　)
A．复数z的辐角主值是θ，则z2的辐角主值是2θ
B．复数z的辐角主值是θ，则的辐角主值是2π－θ
C．复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，则z1z2的辐角主值是θ1＋θ2
D．复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，且θ1>θ2，则的辐角主值是θ1－θ2
三、填空题
8．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________．
9．如果向量对应的复数是1＋i，顺时针旋转135°后再把模变为原来的倍，得到向量，那么向量对应的复数是________．
10.＋2＝________．
四、解答题
11．计算下列各式：
(1)(cos36°＋isin36°)－5；
(2).
12．已知复数z1＝cos＋isin，z2＝2＋2i，求复数zz2＋zz1的值．
13．若z＝sin＋icos，则z3＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
14．若ω＝－＋i，则1＋ω＋ω2＋ω3＝________．
15．已知|z|＝1，z5＋z＝1，求复数z.
16．设复数z1，z2对应的向量为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2.
第2课时　复数三角形式的乘除法
一、单选题
1．(1＋i)的值是(　　)
A．－i B．i
C．2i D．－2i
答案：B
解析：解法一：原式＝(1＋i)＝(1＋i)2＝×2i＝i.故选B.
解法二：原式＝×＝＝i.故选B.
2．复数的辐角主值为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：解法一：原式＝＝－i＝cos＋isin.故选C.
解法二：原式＝＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝.故选C.
3．复数的辐角主值为(　　)
A．40° B．140°
C．220° D．310°
答案：B
解析：∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°，
∴＝＝cos(310°－170°)＋isin(310°－170°)＝cos140°＋isin140°.∴辐角主值为140°.故选B.
4．复数z＝－3＝(　　)
A．3
B．3
C．3
D．3
答案：C
解析：z＝3＝3＝3＝3.故选C.
5．复数z1，z2分别对应复平面内的点Z1(1，)，Z2(，1)，若将按逆时针方向旋转得到，对应复数z3，则z2z3＝(　　)
A．－2＋2i B．－2－2i
C．－1＋i D．－1－i
答案：A
解析：由题意＝，所以＝＝(0，2)，所以复数z3＝2i，又复数z2＝＋i，所以z2z3＝(＋i)·2i＝－2＋2i.故选A.
二、多选题
6．已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝z对应的向量为，则下列说法正确的是(　　)
A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
答案：AD
解析：因为z1＝(－1－i)z＝2z＝2z，z2＝z＝z＝z，所以将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到.故选AD.
7．下列命题中正确的是(　　)
A．复数z的辐角主值是θ，则z2的辐角主值是2θ
B．复数z的辐角主值是θ，则的辐角主值是2π－θ
C．复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，则z1z2的辐角主值是θ1＋θ2
D．复数z1，z2的辐角主值分别是θ1，θ2，且θ1>θ2，则的辐角主值是θ1－θ2
答案：BD
解析：设z＝r(cosθ＋isinθ)，θ∈[0，2π)，则z2＝r2(cos2θ＋isin2θ)，若θ∈[π，2π)，2θ≥2π，则z2的辐角主值为2θ－2π，A不正确；＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]，的辐角主值为2π－θ，B正确；设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，θ1∈[0，2π)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，θ2∈[0，2π)，z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，若θ1＋θ2≥2π，则z1z2的辐角主值为θ1＋θ2－2π，C不正确；＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，所以的辐角主值是θ1－θ2，D正确．故选BD.
三、填空题
8．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________．
答案：16i
解析：原式＝16(cos240°＋isin240°)×(cos210°＋isin210°)＝16(cos90°＋isin90°)＝16i.
9．如果向量对应的复数是1＋i，顺时针旋转135°后再把模变为原来的倍，得到向量，那么向量对应的复数是________．
答案：－2i
解析：对应的复数为1＋i＝(cos45°＋isin45°)，顺时针旋转135°，再把模变为原来的倍，即可理解为对应的复数为×[cos(45°－135°)＋isin(45°－135°)]＝－2i.
10.＋2＝________．
答案：－i
解析：原式＝＋2＝cos＋isin＋2＝－i＋2＝－i.
四、解答题
11．计算下列各式：
(1)(cos36°＋isin36°)－5；
(2).
解：(1)(cos36°＋isin36°)－5
＝
＝＝－1.
(2)＝
＝
＝16
＝－16i.
12．已知复数z1＝cos＋isin，z2＝2＋2i，求复数zz2＋zz1的值．
解：zz2＋zz1＝(2＋2i)＋(2＋2i)2×
＝×4＋42×
＝4＋16
＝4＋16
＝－8－2＋(2＋8)i.
13．若z＝sin＋icos，则z3＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案：C
解析：＝＝cos＋isin＝i.故选C.
14．若ω＝－＋i，则1＋ω＋ω2＋ω3＝________．
答案：1
解析：因为ω＝－＋i＝cos＋isin，所以ω2＝cos＋isin＝cos＋isin＝－cos－isin＝－－i，ω3＝cos2π＋isin2π＝1.综上，1＋ω＋ω2＋ω3＝1－＋i－－i＋1＝1.
15．已知|z|＝1，z5＋z＝1，求复数z.
解：由|z|＝1，可设z＝cosθ＋isinθ且0≤θ<2π.
代入方程z5＋z＝1，得
(cosθ＋isinθ)5＋(cosθ＋isinθ)＝1，
即(cos5θ＋cosθ－1)＋(sin5θ＋sinθ)i＝0，
所以
即
两式平方后，相加得(1－cosθ)2＋(－sinθ)2＝1.
解得cosθ＝，从而sinθ＝±.
经验证知，z＝±i都是原方程的解．
故z＝＋i或z＝－i.
16．设复数z1，z2对应的向量为，，O为坐标原点，且z1＝－1＋i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2.
解：依题意(－1＋i)＝，
所以z2＝(－1＋i)·
＝2
＝2＝－＋i.
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