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1．【高三·厦门双十中学·开学考试·错误率：56%】已知等差数列的前n项和为，若，，则( )
A.30 B.58 C.60 D.90
试题解答剖析：
由数列为等差数列，
故、、、、亦为等差数列，
由，，则，
故，，，
即有，，.
故选：D.
【四川广元·一模校考·错误率：59%】设等差数列，的前n项和分别为，，若对任意的，都有，则的值为( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
由题意可知，
故选：C．
【四川绵阳·模拟考试校考·错误率：53%】（多选）已知首项为正数的等差数列的前n项和为，若，则( )
A.
B.
C.当时，取最大值
D.当时，n的最小值为27
试题解答剖析：
A:首项为正数的等差数列的前n项和为，
所以，
若，则一定大于零，不符合题意，所以，，故A正确；
B:由A可知，
，故B正确；
C:由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误；
D:，，故D正确.
故选:ABD.
1.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（3）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（4）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
2.等差中项公式：.
【错误率：52%】1.已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【错误率：54%】2.已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则( )
A. B. C. D.
【错误率：60%】3.已知等差数列的前n项和为，，，则使得不等式成立的最大的n的值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【错误率：59%】4.已知数列是等差数列，为其前n项和，且，则( )
A.
B.
C.
D.
【错误率：62%】5.（多选）记为等差数列的前n项和，则( )
A.，，成等差数列
B.，，成等差数列
C.
D.
【错误率：48%】6.已知是等差数列的前n项和，，则_________.
【错误率：52%】7.已知为等差数列的前n项和，若当时，，则__________.
1.答案：B
解析：，由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得.故选B.
2.答案：B
解析：因为等差数列和的前n项和分别为、，
满足，所以，
又，故，
故选：B
3.答案：C
解析：是等差数列，，又，所以，公差，
因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，
又，，
所以使得的最大的n为11，
故选：C.
4.答案：A
解析：由，得，设，则.因为数列是等差数列，所以，，，，……是以m为首项，m为公差的等差数列，所以，，所以，，所以.
5.答案：ABD
解析：因为为等差数列的前n项和，
设等差数列的公差为d，则，，，
则，，，
所以，
则，，成等差数列，故选项A正确；
因为，，，
则，，，所以，
则，，成等差数列，故选项B正确；
因为，，，
所以，则，故选项C错误；
因为，，，
所以，
故选项D正确.
故选：ABD.
6.答案：33
解析：解法一
因为是等差数列，所以，则，所以.
解法二
设等差数列的公差为d，所以由得，
则，所以.
7.答案：
解析：当时，，得，
在等差数列中，，所以，得.
故答案为：.
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