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1．【高三·贵州遵义·月考校考·错误率：65%】已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，
过O作的垂线，垂足分别为E，F，则（r为内切球的半径），
故，，
故，故，故，
故旋转体的内切球的表面积为，故选:B
【高三·河南信阳·月考联考·错误率：57%】已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为( )
A. B. C. D.3
试题解答剖析：
设甲圆台的高为，乙圆台的高为，则，
，
所以圆台甲的体积，
圆台乙的体积，
所以圆台甲、乙的体积之比为.故选:B
【江西·模拟考试联考·错误率：48%】已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
易知圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心O，且O与底面圆心的连线垂直底面.圆柱底面半径为，高为，则球心到底面的距离.底面圆周上一点到球心的距离为球的半径R，由勾股定理得，则球O的表面积.
故选:C.
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）
棱锥 （如三棱锥）
棱台 （如三棱台）
2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱 底面积： 侧面积： 表面积：
圆锥 底面积： 侧面积： 表面积：
圆台 上底面面积： 下底面面积： 侧面积： 表面积：
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高）， （分别为上、下底面半径，为高）
4.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
【错误率：59%】1.《九章算术》将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为( )
A. B. C. D.
【错误率：56%】2.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A. B. C. D.
【错误率：55%】3.如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
【错误率：54%】4.已知圆锥的底面半径为，O为底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【错误率：65%】5.已知长方体中，，，若与平面所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【错误率：67%】6.如图已知点A，B在圆锥SO的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥SO的底面积为，，若AB与截面SAO所成角为，则圆锥SO的侧面积为______
1.答案：A
解析：因为为正四棱台，所以上、下底面平行且相似，
又上底面与下底面的面积之比为，所以上底面与下底面的边长之比为.
设，则，高，，解得.
由已知得四边形是等腰梯形，如图所示，则，，，过点F作，垂足为M，则，
所以，所以等腰梯形的面积为，
所以正四棱台的表面积，故选A.
2.答案：A
解析：设球的半径为，根据已知条件知，
正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，
球心到截面圆的距离为，
所以由，得，
所以球的体积为．
故选：A．
3.答案：B
解析：根据题意知，该几何体的表面分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，
另一部分是8个完全相同的等边三角形，6个完全相同的正方形的面积之和为，
8个完全相同的等边三角形的面积之和为，故该几何体的表面积为，故选B.
4.答案：B
解析：在中，由余弦定理，，所以，
取中点Q，连接，，则，，
所以，
又，所以，故，
在中，，
所以，故，
所以圆锥的体积.
5.答案：B
解析：如图，连接，因为平面，平面，
所以，所以是与平面所成的角，
所以，所以.
设，则，即.
又，所以，所以，
得，所以，.
设该长方体外接球的半径是R，则，所以该外接球的表面积为.
故选B.
6.答案：
解析：设圆锥的底面半径和母线分别为r，l，
则根据底面面积可得，所以，
过B作于点D，连接
由于平面，平面，故，
，平面，
故平面，
故即为直线AB与截面SAO所成角，故，
因此，
故，解得，
故侧面积为，
故答案为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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