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1．【高二·四川达州·期中校考·错误率：60%】在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，( )
A.3 B.4 C. D.
试题解答剖析：
如图，连接交于点G，连接
因为平面，平面，平面平面所以，
所以，因为，E为的三等分点，
则，即.故选:D.
【高三·江苏南京·月考·错误率：50%】如图，直三棱柱中，M，N分别为和的中点．
证明：平面；
试题解答剖析：
取的中点为S，连接，，
因为，，故，，
由直三棱柱的性质可得，，故，，
故四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故平面.
【高三·江苏·月考联考·错误率：61%】如图，在四棱锥中，已知平面.
若四边形ABCD是以AD为上底的梯形，线段PC的中点满足平面PAB，求BC的长；
试题解答剖析：
取PB中点为E，连接AE，EM，
因为E，M分别为PB，PC的中点，所以，
由于ABCD为梯形，且，所以，即ADME四点共面；
因为平面平面ADME，平面平面，
所以；又，所以四边形ADME是平行四边形，有，
所以，则.
1.直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
2.直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
【错误率：50%】1．在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是( )
A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定
【错误率：52%】2．平面平面的一个充分条件是( )
A.存在一条直线，
B.存在一条直线a，，
C.存在两条平行直线a，b，，，，
D.存在两条异面直线a，b，，，，
【错误率：59%】3．在四面体中，M为上一点且，P是的中点，在线段上存在一点Q，使得平面，则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【错误率：56%】4．如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则( )
A. B. C. D.
【错误率：62%】5．如图所示，在棱长为2的正方体中，点M是的中点，动点P在正方体表面上移动，若平面，则P的轨迹长为________.
【错误率：60%】6．在四棱锥中，底面为直角梯形，侧面为等边三角形，，，侧面底面，，且E，F分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【错误率：60%】7．如图1，在矩形中，，P是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，Q是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
1．答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
由图可知平面的法向量.
∵，∴，，
∴.∵，
平面，
故选：B.
2．答案：D
解析：对于A，B，C，当平面，相交时，条件仍然成立，故A，B，C错误，
对于D，存在两条异面直线a，b，，，，，
平移后可得，存在两条相交直线，b，，，，，
由面面平行的判定定理可知，平面平面，故D正确，
故选：D
3．答案：B
解析：如图所示，取的中点O，连接，.
为的中点，P是的中点，.
又平面，平面，平面，
又平面，，，平面，
平面平面.又，平面，
平面平面，平面平面，.
在中，.
故选：B.
4．答案：A
解析：如图，取的中点M，连接，
由，所以D为的中点，
又M为的中点，所以，
平面，平面，所以平面，
又平面，且，平面，
所以平面平面，由平面，所以平面
又平面，平面平面，所以
又，所以，所以，故
故选：A
5．答案：
解析：在棱长为2的正方体中，取，的中点E，F，
连接，，，，，
由M为的中点，得，，四边形为平行四边形，
则，，又，，则四边形是平行四边形，
，，于是，，四边形是平行四边形，
而平面，平面，则平面，同理平面，
又，平面，因此平面平面，
又平面，P在正方体表面上移动，于是点P的轨迹是与正方体的交线，
所以P的轨迹长为.
故答案为：
6．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取中点M，连接，
E为的中点，
，，
又，
，
四边形为平行四边形：，
平面，平面，
平面.
(2)因为平面平面，
平面平面，
平面，，平面，
取中点G，连接，则，平面，
又因为三角形是等边三角形，所以，
则如图以G为坐标原点，为x轴，
为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
又因为，
，，
，
设平面的一个法向量，，
则，
取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
，
平面与平面所成的夹角的余弦为.
7．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）如图所示，取中点E，连接，，
因为在矩形中，，P是的中点，
所以，，即四边形为平行四边形，
从而，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为Q，E分别是，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）取中点O，因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以，，
又因为，，所以，
所以，，两两互相垂直，
以点O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，，，，，
设，，因为四边形为平行四边形，
所以，，
即，所以，，，
故，
又因为，
解得，又因为Q是中点，
所以，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，，
所以平面的法向量为，
设直线和平面所成角为
故所求为.
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