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1．【高三·浙江·月考联考·错误率：52%】取正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为( )
A.16 B.24 C.32 D.48
试题解答剖析：
先任选一条棱，余下的11条棱中与它异面的有4条，
故共有对异面直线．
故选：B．
【高二·陕西咸阳·月考校考·错误率：60%】如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
连接MD，取其中点Q，连接，由题意可得，
，且，
所以是直线AM和CN的夹角或补角，，
所以.
所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为.故选:C
【高三·辽宁鞍山·期中联考·错误率：51%】在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为_______________.
试题解答剖析：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，则，
异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.
1.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
2.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
【错误率：49%】1.如图，在三棱柱中，是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述中正确的是( )
A.与是异面直线 B.与AE共面
C.AE与是异面直线 D.AE与所成的角为
【错误率：55%】2.在正三棱柱中，，则“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【错误率：54%】3.在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【错误率：58%】4.如图，已知点E，F，G，H分别是正方体中棱，，，的中点，则( )
A.，且直线EF，GH是相交直线
B.，且直线EF，GH是异面直线
C.，且直线EF，GH是相交直线
D.，且直线EF，GH是异面直线
【错误率：59%】5.（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A.直线与是相交直线 B.直线与是异面直线
C.与平行 D.直线与共面
【错误率：61%】6.如图，在三棱锥中，，，若，则直线与所成角的大小是___________.
【错误率：54%】7.如图所示，已知是正方体，E，F分别是棱，的中点，求直线EF与所成角的余弦值.
1.答案：C
解析：对于A，由于与都在平面内，故与是共面的，故错误.
对于B，由于在平面内，而AE与平面相交于点E，点E不在上，故与AE是异面直线，同理，AE与是异面直线，所以B错误，C正确.
对于D，与所成的角就是AE与BC所成的角，且E是BC的中点，也为正三角形，所以，即AE与所成的角为，故错误.故选C.
2.答案：A
解析：如图，
设，，在正三棱柱中，以为基底，
，，
，因为，
所以，
当异面直线与所成角的余弦值是时，
可得，即，解得或，
即或，故“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的充分不必要条件.故选A.
3.答案：D
解析：如图，取中点F，连接，，则且，
又且，所以且，
从而四边形是平行四边形，故，
设，则，
，，，，
在中，由余弦定理推论，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
4.答案：C
解析：方法一：如图，连接，，取的中点M，连接HM，MG，可得，，，则，且，延长EF与MG，与的延长线交于点L，同理可得交点N，K，可得截面KLN，所以直线EF，GH是相交直线，且，故选C.
方法二：取中点J，中点I，连接EJ，HJ，HI，GI，FG.易知六边形EFGIHJ是正六边形，所以，，，所以，即，且直线EF，GH是相交直线，故选C.
5.答案：BD
解析：对于A，M，C，三点在平面内，M点不在直线上，
A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误；
对于B，B，N，三点在平面内，不在直线上，
M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确；
对于C，取的中点E，连接，，又N为的中点，
则有，，
所以四边形是平行四边形，所以，
，则与不平行，故C错误；
对于D，连接，，，
因为M，N分别为棱，的中点，
所以，由正方体的性质可知:，
所以，则有，B，M，N四点共面，
所以直线与共面，故D正确.
故选:BD.
6.答案：
解析：根据题意可得，又，
所以
，得.
设直线与所成的角为，则，又，所以.
7.答案：
解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则，，，，
，，
，
直线EF与所成角的余弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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