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1．【高三·福州市第一中学·期中·错误率：51%】已知，是两个互相垂直的平面，l，m是两条直线，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
试题解答剖析：
由题意知，，
若，当时，有；
当时，m与可能相交、平行、垂直.
若，由，得.
故“”是“”是必要不充分条件.
故选：B
【高三·辽宁锦州·期中·错误率：61%】如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，.证明:平面ABC；
试题解答剖析：
取BC的中点M，连结MA、.
因为，，所以，，
由于AM，平面，且，
因此平面，
因为平面，所以，又因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，因为，所以平面ABC.
【高三·江苏南京·月考校考·错误率：51%】如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点E，作交于点F，连接，，，.证明：；
试题解答剖析：
证明：因为平面，平面，所以，
由底面为矩形，有，而，平面，
所以平面，又平面，所以.
又因为，点E是的中点，所以.
而，平面，所以平面，
平面，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，所以得证.
1.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作， 直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
点到面的距离 线到面的距离 两面间的距离 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
2.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ，，，， .
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
3.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行. ，
【错误率：51%】1．已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【错误率：53%】2．已知直线l，m与平面，，，，则下列命题中正确的是( )
A.若，则必有 B.若，则必有
C.若，则必有 D.若，则必有
【错误率：58%】3．（多选）下列四棱锥的所有棱长都相等，A，B，C，D，E是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是( )
A. B. C. D.
【错误率：58%】4．如图，在斜三棱柱中，，，侧面为菱形，且，点D为棱的中点，平面平面.设平面与平面的交线为l.
(1)求证：平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【错误率：59%】5．已知点P是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点O，已知，是等边三角形.
（1）求证:；
（2）求点D到平面的距离；
【错误率：61%】6．如图，在直三棱柱中，点D是的中点，.
（1）证明:平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
1．答案：B
解析：直线平面，则且，
反之，若，则，，
所以“，”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．答案：C
解析：对A，如图a所示，设，，，则，但是与不平行，因此A不正确；
对B，如图b所示，假设，，，，则，
但是与不垂直，因此B不正确；
对C，若，，根据线面垂直的判定定理可得，因此C正确；
对D，如图c所示，设，若，，，则，故，因此D不正确.
综上可知，选C.
3．答案：BCD
解析：由条件可知四棱锥为正四棱锥，
对于A：
设，的交点为O，由正四棱锥的结构特征可知：面，
易知：，又，，为平面内两条相交直线，
所以直线与平面垂直；
对于B：
取的中点为O，连接，，
有中位线性质可知：，，
所以四边形为平行四边形，所以，
可证直线平行平面；
对于C：
设棱长为2，，
所以
，
所以与不垂直，所以直线不与平面垂直；
对于D：
设棱长为2，，，
所以
所以与不垂直，所以直线不与平面垂直；
故选：BCD.
4．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）分别延长，，设，连接，如图，
则即为平面与平面的交线l，
因为D为棱的中点，，则A是的中点，
因为中，，所以，从而，
因为平面平面且交线为，平面，
所以平面，即平面；
（2）取的中点G，因为侧面为菱形，
且，所以，由（1）知平面，
所以，分别以所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，侧面为菱形，且，
所以，，，
则，，，，
设平面的法向量为，则，
所以，可取，
设平面的法向量为，
则，所以，可取，
所以，
所以二面角的正弦值为.
5．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）点P在底面上的射影是与的交点O，
平面，平面，
，
四边形为菱形，，
，平面，平面，
平面，；
（2）由题意，得、与都是边长为2的等边三角形，
，，
，
，，
设点D到平面的距离为h，
由，得，即，解得，
故点D到平面的距离为.
6．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）如图，记与的交点为点O，连接，，
因为三棱柱是直三棱柱，
所以.
因为，所以四边形是正方形，故.
因为，，所以又因为D是的中点，
所以，所以D.
因为四边形是正方形，所以点O是的中点，
所以.又因为，平面，，所以平面.
（2）因为，，所以.
如图，以点C为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，.
因为平面，所以平面的法向量为.
设平面的法向量为，
则即解得取，
得
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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