资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1．【高二·青海西宁·月考校考·错误率：46%】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，则二面角的大小是( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
如图建立空间直角坐标系，因为，
所以，，，
，，，
显然面的一个法向量可以为，
设面的法向量为，则，即，
令则，，所以，
设二面角为，则，
所以，故选：C
【高三·江苏苏州·月考校考·错误率：59%】在直二面角的棱l上取一点A，过点A分别在，内A的同侧都作与l成角的射线，则这两条射线间的夹角为( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
在棱l上取一点P，分别在，内过P点作，，与过A点的两条射线分别相交于Q，R，
则是二面角的平面角，
由得等腰，等腰，等腰全等，
所以，
所以两射线间的夹角为，故选:B.
【高三·山西·月考联考·错误率：65%】已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
试题解答剖析：
设棱台的高为h，则，解得，
连接，，交于点O，过作，垂足为E，连接，，
由正四棱台性质可得，且平面，即，
所以是与平面所成的角.
因为在正四棱台中，，，
则，，所以，
则，
所以在中，，
所以在中，.故选：A.
1.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
2.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为. 也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
3.直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则.
4.平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则.
【错误率：47%】1.在正四棱锥中，，二面角大小为，则该四棱锥的体积为( )
A.4 B.2 C. D.
【错误率：59%】2.如图，平面四边形中，，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【错误率：69%】3.如图，圆锥中，B，C是圆O上的不同两点，若，且二面角为，动点P在线段上，则与平面所成角的正切值的最大值为( )
A.2 B. C. D.1
【错误率：59%】4.（多选）如图，直角梯形中，，，，E为的中点，以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且，则( )
A.平面平面
B.
C.二面角的大小为
D.与平面所成角的正切值为
【错误率：49%】5.如图，在四棱柱中，平面平面ABCD，且四边形和四边形ABCD都是正方形，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
【错误率：49%】6.如图，在三棱台中，，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的大小是，求线段的长.
1.答案：C
解析：如图，设P在底面的射影为O，则O为底面正方形的中心
过O作于H，则H为CD中点
连接PH，则，
二面角的平面角为，
又底面正方形边长为2，
，
该正四椥雉的体积为.
故选:C
2.答案：B
解析：过点B作，垂足为E，过E作，垂足为F，连接BF，
因平面平面DAC，平面平面，平面BAC，
则平面ACD，又平面ACD，则，
又，，EF，平面BEF，则平面BEF，
又平面BEF，则，
则为二面角的平面角，
因，，则E为AC的中点，，，
因，，则为等边三角形，
则F为CD边上靠近点C的四等分点，，
则，则，
则，
故二面角的余弦值为.
故选：B.
3.答案：A
解析：面是二面角的平面角，
由题意，，
如图1，取中点G，连接，，因为，，
所以是正三角形，故，结合可得面，
所以即为直线与面所成的角，，
不妨设，则，代入①得：，
因为，所以，
如图2，当时，最小，所以，
代入②得.
4.答案：AC
解析：对于A，，
在中，，所以，
由题意知四边形是正方形，所以，又，平面，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，若，又，，平面，平面，
则平面，又平面，所以，
则，不符合题意，故B错误；
对于C，由对A的分析知，，所以是二面角的平面角，
在中，，，所以，故C正确；
对于D，因为平面，所以为直线与平面所成的角，在中，，故D错误.
故选AC.
5.答案：
解析：由和平面平面ABCD，可知平面ABCD，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建系，
则，平面的法向量，
所以.
6.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，设的中点为O，连接，，，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，即.
由于平面平面，且交线为平面，
所以平面，
又平面，所以.
又，，，平面，所以平面.
（2）由（1）得平面，又平面，所以平面平面.
由于平面，所以.
结合（1）得，所以三角形是等边三角形，.
以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，.
设，则，.
平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，令，则.
由于二面角的大小是，
所以，所以，
，，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑