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知识点一 最短路径问题
1.如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯__________米.
3.如图所示的是一个供滑板爱好者使用的U型池.该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而形成的，中间可供滑行部分的截面是半径为3m的半圆，其边缘，点E在上，.一滑板爱好者从点A滑行到点E，则他滑行的最短距离约是多少米（边缘部分的厚度可以忽略不计，取整数3）？
4.2025年中国轮滑(滑板)公开赛于5月2日在江西崇义站举行,标志着我国乡村体育发展的新突破.如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图,该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆,其边缘米,点E在上,米,该选手从A点滑到E点,则他滑行的最短距离为______米.
5.如图所示，有一个圆柱形玻璃容器，高，底面周长为，在外侧下底面点S处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕获苍蝇充饥，则蜘蛛所走的最短路程是( )
A. B.
C. D.
6.如图是一个透明的长方体玻璃鱼缸,假设其长,高,水深.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路线的长为__________cm.
7.【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为，，，A和B是一个三级台阶上两个相对的端点.
【探究实践】
老师让同学们探究：如图（1），若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？
（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为___________，就是最短路程.
【变式探究】
（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为___________.
【拓展应用】
（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为AB为底面直径，
所以将圆柱侧面沿AC“剪开”后，点B在长方形上面那条边的中点处，
因为两点之间，线段最短，所以只有C选项符合题意.
2.答案：14
解析：由题意得，米，米，
将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长等于两直角边的和.
由勾股定理得，所以米，则(米).
故答案为14.
3.答案：他滑行的最短距离约41m
解析：可供滑行部分展开图如图所示.
由题意，得，.
在中，，即.
故他滑行的最短距离约41m.
4.答案：50
解析：如图是其侧面展开图,则的长为滑行最短距离,
(米),(米),(米),
在中,,
∴,解得(负值舍去),
故他滑行的最短距离约为50(米).
故答案为：50.
5.答案：B
解析：将圆柱形容器的侧面展开，
如图所示，作点F关于直线AB的对称点，连接，
则的长度即为蜘蛛所走的最短路程.
由题可知，所以，
即蜘蛛所走的最短路程是，故选B.
6.答案：100
解析：如图所示,作点A关于BC的对称点,连接交BC于点Q,连接AQ,
则蚂蚁沿着的路线爬行时路程最短,为的长.
在中,,,
蚂蚁爬行的最短路线的长为100cm.故答案为100.
7.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由勾股定理，得，
所以.故答案为.
（2）如图（1），将圆柱侧面沿点C所在高线展开，易知.
因为圆柱底面的周长为，圆柱高为，
所以，，所以，
所以，所以.
即这只蚂蚁爬行的最短路程为.故答案为.
（3）玻璃杯一半的侧面展开示意图如图（2），作B关于EF的对称点，作，交AE延长线于点D，连接，则的长为最短路程.
由题意得，，
所以.
因为底面周长为，所以.
因为，所以在中，，
所以，
所以蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为.
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