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2026-2027学年山东省寿光市第一中学高一（上）第一次段测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，的否定是( )
A. 不存在，使 B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.下列选项中，能表示函数的图象的是( )
A. B. C. D.
4.已知集合，，则( )
A. B.
C. D. 与的关系不确定
5.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为元斤、元斤，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买元钱的汽油，乙每周购买斤汽油，甲、乙两次购买平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. ，的大小无法确定
8.关于的不等式的解集为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
10.下列选项正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若正实数，满足，则的最小值为
C. 的最小值为
D. 函数的最大值是
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，高斯函数在数学中有着广泛应用，则下列关于高斯函数的说法正确的是( )
A. 对任意的，
B. 若不等式的解集为，则
C. 集合共有个元素
D. 时，关于的方程有无数个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集是 ．
13.若集合，，且，则的取值的集合为 ．
14.设是非空数集，定义集合且中的元素个数为集合的“容量”，记为若集合，则 ；集合，且，则正整数的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求；
若为非空数集且是的必要不充分条件，求实数的范围．
16.本小题分
已知，求的解析式；
已知，求函数的解析式；
已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
17.本小题分
某人投资万元建成一座海水养殖场用于海参养殖，建成后每年可获得销售收入万元，同时，经过预算可知年内须另外投入万元的经营成本．
Ⅰ该海水养殖场从第几年起开始盈利总利润为正？
Ⅱ该海水养殖场总利润达到最大时是第几年？请求出总利润的最大值．
Ⅲ该海水养殖场年平均利润达到最大时是第几年？请求出年平均利润的最大值注：总利润销售总收入经营成本投资费用
18.本小题分
已知函数，实数．
若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
解关于的不等式．
19.本小题分
对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称具有孪生性质．
若集合，求集合，；
若集合，，且，求证：；
若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：已知，移项可得，通分可得，
整理得，
则，解得或，
所以集合或，
因为全集，所以，
当时，，
所以；
因为是的必要不充分条件，所以，
结合为非空数集，故，解得，
或者，解得，无解，
所以实数的范围为．
16.【答案】解：，．
设，则，，即，
，．
是二次函数，设由，得．
由，得，整理得，
，，．
17.【答案】解：设第年时，该海水养殖场的总利润为万元，
Ⅰ由题意可得，
令，得，
解得．
因为，所以该海水养殖场从第年起开始盈利；
Ⅱ，
所以当，取得最大值，
即第年时，总利润达到最大，最大值为万元；
Ⅲ设年平均利润为万元，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以第年时，年平均利润达到最大，最大值为万元．
18.【答案】解：由恒成立得对一切实数恒成立，
当时，显然恒成立；
当时，则要满足题意需，解得；
故的取值范围为：；
由得，
若，解得；
若，解得或；
若，解得；
若，解得；
若，解得；
综上：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
19.【答案】， 证明：因为集合，，所以集合的元素在，，，中产生，
且，，又因为，所以中最大元素属于，
又因为为个元素中的最大者，所以，即，，
所以构成的元素为，，，，且与或或重复，
又因为，所以，即
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