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高一数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A x Z 1 x 2 ， B x x 2 ，则 A B （ ）
A. 1,0,1, 2 B. 1,0,1 C. 0,1 D. 1
2. 命题 x 0， x2 1 2x的否定为（ ）
A. x 0， x2 1 2x B. x 0， x2 1 2x
C. x 0， x2 1 2x D. x 0， x2 1 2x
3.下列四组函数表示同一个函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. y x 1 x 1与 y x2 1
4．函数 的定义域为（ ）
A． B. C. D．

5.命题“ x 1,
1
， x 1 a 0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） 2
A. a 2 B.a 1 C. a 0 D. a 1
6.下列命题为真命题的是（ ）
a a m
A.若 a b 0，则 ac2 bc2 B.若 a b 0，则
b b m
a b 0 1 1C.若 ，则 D.若 a b 0，则 a2 ab b2
a b
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7.一家商店使用一架左臂长为 acm ,右臂长为bcm（ a b）的天平称黄金.一位顾客到
店里购买 10g 黄金，售货员先将 5g 的砝码放在天平左盘中，取出 x g 黄金放在天平右盘
中使天平平衡；再将 5g 的砝码放在天平右盘中，取出 y g 黄金放在天平左盘中使天平平
衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客购得的黄金 x y（ ）
A.大于 10g B.等于 10g C.小于 10g D.无法确定
8. 已 知 函 数 f x 的 定 义 域 为 R ， 对 任 意 x1，x2 0， x1 x2 ， 都 有
x1 x2 f x1 f x2 0，且 y f x 关于 y轴对称，若 f 2m 1 f m ，
则实数m的取值范围为（ ）
1 1 1
A. ， B. 1， C. ，1 D. ， 1，
3 3 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.下列说法正确的是（ ）
A.集合 A 1,a2 ， B 1,a 2 ，若 A B，则实数 a的值为 1
B.已知集合M 0,1 ，则满足条件 N M的集合 N 有 4 个
C. 的最小值是 2
D.函数 y f x 1,2 3 的定义域为 ，则函数 y f 2x 1 的定义域为 0, 2
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10.若实数a,b满足 a,b 0， a 2b 6，则下列结论中正确的是（ ）
ab 9A. B.a2 4b2 18
2
1 2 9 a2 4b2 9
C. 的最小值为 D. 的最小值为
a b 4 a 1 2b 1 2
11.对任意实数 x， x 表示不超过 x的最大整数， y x 称为高斯函数.例如 3，
1.5 2，令 f x x x ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 不等式2 x 2 7 x 3 0的解集为 x 1 x 4
B. 函数 f x x x 的值域为 0,1
C. f x 1 f x
D. 方程 f x 1 x 2 有 3 个不相等的解
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2x 1
12.不等式 0的解集为 .
2 x
13.高一某班共有 48 名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团.已知参加漫画社
24 人，参加围棋社 23 人，参加航模社 22 人；漫画与围棋都参加的有 14 人，漫画与航
模都参加的有 13 人，围棋与航模都参加的有 12 人；三项都没有参加的共 10 人.则三项
社团全都参加的人数为 .
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14.“杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、
大规模集合检索.设 A和 B为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当 A、 B不全
A B
为 时，J A,B ；（2）当 A B 时，J A,B 1 .其中 A 表示集合 A
A B
中 的 元 素 个 数 ， S1，S2，S3 为 有 限 集 . 若 S1 1，2,3, 4 ， S2 3,4，5,6 ， 则
J S1,S2 ；若M S1 S2 S3 ，N S1 S2 S3，M p，N q
（其中 p N ， q N），则 J S1,S2 的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题 13 分）
已知集合 ， ．
（1）分别求 ， ；
（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围．
16.（本小题 15 分）
已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．
(1) 求函数 在 上的解析式；
(2)若函数 ，记函数 的最小值 ，求 的解
析式．
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17.（本小题 15 分）
某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特
色地区”.经调研发现：某果树的单株产量P(x)（单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）
4 x2 2 ,0 x 2

满足如下关系：P x 50x ，肥料成本投入为 元，其它成本投入
, 2 x 5
1 x
元.已知这种水果的市场售价大约 20 元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株
利润为 （单位：元）
（1）写出单株利润 （元）关于施用肥料 （千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
18.（本小题 17 分）
已知定义在 上的函数 ，对任意的 x R都有 f x 0恒成立，且
f x y f (y) f x 1，当 时，0 f x 1， f 2 .
4
（1）求 f 0 和 f 2 的值.
（2）判断 在 上的单调性并证明.
（3）求不等式 f x2 2x 4 f 2 x 的解集.
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19.（本小题 17 分）
已知二次函数 f x ax2 bx c（a,b,c R且 a 0）为偶函数，且对任意 x R都
有 2x 1 f x x2 2x 3， f x 在R上的最小值为 1.
（1）求 f x 的解析式；
（2）若 x 1,2 时，使不等式 f x t x 1 成立，求实数 t的取值范围；
（3）存在实数m,n使 x2 mx n kf x 对任意 x 2,2 恒成立，求实数 k的最小
值.
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洪山区 2026-2027 第一学期期中高一数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C B A C A D ABD ABD BCD
1
12.【答案】 ，2

2
13.【答案】8
1 q
14.【答案】 ； （第一空2分，第二空3分）
3 p
解析： S1 1，2,3, 4 ， S2 3,4，5,6 时， S1 S2 3,4 ， S1 S2 1，2,3, 4，5,6
S1 S2 2， S1 S2 6，所以 J S1,S
1
2 3
由 N S1 S2 S3得 N S1 S2 ，所以 S1 S2 N
由M S1 S2 S3得 S1 S2 M ，所以 S1 S2 M
S S N
所以 J S1,S2 1 2
q

S1 S2 M p
15.（1） ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（2 分）
，所以 ，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（4 分）
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（7 分）
（2）①当 时， ，此时 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（9 分）
②当 时， ，则 ；┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（12 分）
综合①②，可得 的取值范围是 ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（13 分）
16．（1）已知 是定义在 上的奇函数，则 ，
若 ，则 ，则 ，
又因为 为奇函数，则 ，
综上可得， ．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（6 分）
（2）当 时， ，
则函数 开口向上，且对称轴的方程为 ，
①当 时，函数 在区间 单调递增，
故当 时，函数 取得最小值，最小值是 ，┄┄┄（9 分）
②当 时，函数 在 单调递减，在 单调递增，
故当 时，函数 取最小值，最小值是 ，┄┄┄（12 分）
③当 时，函数 在区间 单调递减，
故当 时，函数 取得最小值，最小值是 ，
所以函数 的最小值 ．┄┄┄（15 分）
17. 1）由题意可知：
80x2 40x 160,0 x 2
f x 20P x 15x 25x 1000x （6分）
40x, 2 x 5 1 x
2）根据（1）可知：
当 时， ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
易知 ，┄┄┄┄┄┄┄┄（10 分）
当 时，
，
┄┄┄┄┄┄┄┄（14 分）
当且仅当 ，即 时取得等号，┄┄┄┄┄┄┄┄（15 分）
综上，当施用肥料 千克时，单株利润取得最大值 640.
18 .1)则 f 0 f 0 2， f 0 0所以 f 0 1，
1
令 x 0， y 2，得 f 0 f 2 f 2 ，所以 f 2 4f 2 ┄┄┄┄┄(5分)
2） 在 上单调递减；
设 ，因为 f x y f y f x ，
所以 f x2 f x2 x1 f x1 ，
f (x2 )
所以 f x x f x x 1f (x 2 1 ，因为 ，所以 2 1 ，1)
所以 f x1 f x2 ，故 在 上单调递减. ┄┄┄┄┄(11分)
1
3）由（1）知 f 2 4f 2 ，
不等式 f x2 2x 4 f 2 x 2化为 f x 2x f 2 f 2 x f x ┄（13 分）
因为 在 上单调递减，所以 ，┄┄┄┄┄（15 分）
即 ，解得 ，
即不等式 的解集是 .┄┄┄┄┄（17 分）
19.（17 分）
（1）因为 f x 是偶函数，所以b 0 .
因为 f x 在 R上的最小值为 1，所 a 0,c 1
令 x 2则3 1 f 2 3，所以 f 2 3，因此 a
2
所以 f x 的解析式为 f x 1 x 2 1 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（3 分）
2
（2）因为 x 1,2 ，所以 x 1 2,3
x2 2 x 1
2 2
f x t x 1 2t x 1 3 x 1 3 得 2
x 1 x 1 x 1
因为 y 3 在 2,3 3 7上单调递增，所以 x 1 2即 x 1 时 x 1

x 1 min 2
2
故 x 1,2 x 2 3时， x 1 min 2
x 1,2 时，使不等式 f x t x 1 2t 3 t 3 成立
2 4
3
所以实数 t的取值范围为 ， .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（9 分） 4
（3）当 x 2时， 4 2m n 3k ；当 x 2时， 4 2m n 3k
所以6k 4 2m n 4 2m n 4 2m n 4 2m n 2 4 n ，故3k 4 n
当 x 0时， k n ，所以 4k 4 n n 4 n n 4，故 k 1
下面证明 k 1成立.
当 k 1时，由等号成立的条件得m 0,n 1，此时 x2 mx n x2 1
当 x 2,2 1时， x2 0,4 ，此时 x2 1
x2 1 1 x
2 1成立
2 2
综上， k的最小值为 1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（17 分）

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