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2026-2027学年山东省青岛第三十九中学（中国海洋大学附属中学）高二（上）阶段检测数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，则“”是“平行于”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线，与两坐标轴分别交于、两点．当的面积取最小值时为坐标原点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 若空间三个向量，，，满足，则向量，，共面
B. 若与共线，与共线，则与共线
C. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则
10.下列说法不正确的是( )
A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B. 不经过原点的直线都可以用方程表示
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 当点到直线的距离最大时，的值为
11.正方体的棱长为，点为侧面内的一个动点含边界，点、分别是线段、的中点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得二面角大小为
B. 最大值为
C. 直线与面所成角为时，则点的轨迹长度为
D. 当时，则三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，且在上的投影向量为，则 ．
13.如图，二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角的平面角为，且，，，则 ．
14.直线：与直线：交于点，是实数，为坐标原点，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件分别写出直线的一般式方程．
经过点，倾斜角是；
斜率为，在轴上的截距为．
已知方程．
求该方程表示一条直线的条件；
若方程表示的直线的倾斜角是，求实数的值．
16.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，，是的中点，是的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面的夹角余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
17.本小题分
已知的三个顶点是，，，求：
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；
若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积的最小值及取面积最小值时直线的方程；
的角平分线所在直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点．
求证：平面；
若判断直线是否在平面内，说明理由．
设与平面所成角为，求的范围．
19.本小题分
空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．
现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示．
若，求向量的斜坐标；
若，且，求；
如图三棱锥，，，，为的中点，点满足利用本题介绍的斜坐标系，求二面角的正弦值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：直线的倾斜角是，则直线斜率，
又直线过点，则点斜式方程为，
化为一般式为；
斜率为，在轴上的截距为，由点斜式得，
化为一般式为．
当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令，解得或；
令，解得或，所以当时，，的系数同时为零，
故若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为；
由知，且时，直线的斜率存在，
此时方程化为，
故斜率为，因为直线的倾斜角是，所以斜率为，
所以，解得舍去，
所以实数的值为．
16.【答案】Ⅰ证明见解析；Ⅱ；Ⅲ．
17.【答案】解：，，
则的中点坐标为，，
当直线过点与的中点时，
直线方程为，即；
当直线过点与直线平行时，
直线方程为，即．
所以直线的方程为或；
设直线的方程为，
把代入，可得，则，
解得，当且仅当，即，时等号成立，
可得，即面积最小值为，
此时直线方程为；
由，可得的方程为，即．
由，可得的方程为，即．
设的角平分线上的点的坐标为，于是，
整理得：或，经检验不符合题意．
所以的角平分线所在直线为．
18.【答案】解：证明：因为平面，平面，所以，
又因为，、是平面内相交直线，故CD平面
以为原点，过点作的平行线为轴，以、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，故
因为，且、、有公共点，故直线在平面内；
由可知，
设，
则，
故
，
令，
则，
而，，故．
19.【答案】解：设分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
，
所以向量的斜坐标为；
由题意知，
的斜坐标为，所以，
因，故，
展开得：，
结合斜坐标系中，，整理得，
所以；
设，如图，建立斜坐标系，，，
且满足，，，，
，．，，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，得，
设平面的一个法向量为，
所以，即，
取，得，
设二面角的平面角为，
所以，
从而，
所以二面角的正弦值为．

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