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2026-2027学年四川省仁寿第一中学校北校区高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.如图，在圆锥中，点，在底面圆周上，点，分别是母线，的中点，，记，则( )
A.
B.
C.
D.
4.圆上的点到直线的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
5.已知袋子中装有大小、质地完全相同的个球，其中个红球、个白球，从中一次摸出个球记“摸出的球中恰有个红球”，“摸出的球中恰有个红球”，“摸出的球中至少有个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
6.已知圆：，直线：与圆相交于，两点，则( )
A. B. C. D.
7.若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
8.已知为直线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设事件，是互斥事件，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知，则下列说法正确的是( )
A. 是平面的一个法向量 B. ，，，四点共面
C. D.
11.在长方体中，，，，空间中的点满足，，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则点在平面上
B. 若，且，则与面所成角最小值的正切值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，且在长方体表面上，则的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与直线平行，并且距离等于的直线方程是 ．
13.设、，向量，，，且，，则 ．
14.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的个黑球、个白球，其中黑球编号为，，，白球编号为，现从盒子里随机取出个小球．
记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率．
记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率；
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，点，，，分别在棱，，，上，，，．
证明：；
点为中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
中，顶点，，边所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求边所在直线的方程；
求的面积．
18.本小题分
如图，平行六面体的所有棱长均为、，，平面平面，点、满足．．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值；
是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足．
求的方程；
已知直线：，与交于，两点．
若是等边三角形，求；
(ⅱ)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】，或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】解：证明：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，则，
，
又，不在同一条直线上，
；
点为中点，，
则，，
设平面的法向量，
则，令，得，，，
平面的法向量，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.【答案】解：设边所在直线的方程，
把代入上述方程可得：，解得，
边所在直线的方程为：．
联立，解得，
，
．
点到直线的距离．
的面积．
18.【答案】解：证明：如图，连接交于，连接，，
因为，，所以与相似，所以，
即，又，所以，
又平面，平面，所以平面；
取中点，连接，因为平面平面，且，
平面平面，平面，
所以平面，由于，所以，
又，，由余弦定理得，
所以，所以，则，
如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
由得，则，
设平面的一个法向量为，
则，可取，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为；
设，因为，，
所以，
所以，
则点到平面的距离，
整理得，解得或舍去，
所以时使得点到平面的距离为．
19.【答案】解：设动点，，，
则，，
所以，即的方程为；
因为是等边三角形，则圆心到直线的距离，
即，化简得：，解得或，
(ⅱ)因为直线：，可知直线过定点，
设，，
联立方程，消去得：，
则，解得，
可得，，
则，
可得
，
所以为定值．
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