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数学　选择性必修 第二册 RJ
第2课时　基本计数原理的综合应用
一、选择题
1．某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员．规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方法有(　　)
A．10种 B．11种
C．12种 D．13种
2．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)
A．10个 B．14个
C．15个 D．21个
3．如图所示为某公园景观的一隅，是由A，B，C，D，E五处区域构成的，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同颜色的鲜花，有4种颜色的鲜花可供选用，则不同的装饰方案种数为(　　)
A B C
D
E
A.216 B．144
C．128 D．96
4．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　)
A．36个 B．18个
C．9个 D．6个
5．(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　)
A．所有可能的安排方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
二、填空题
6．5个不同的球，放入2个不同的箱子中，每箱不空，共有________种不同的放法．
7．从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．
8．现用3种不同的颜色给正五边形ABCDE的五个顶点涂色，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为________．
三、解答题
9．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，现要演出一个1人唱歌1人伴舞的节目，有多少种不同的选法？
10．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的九个小正方形(如图)，使得任意有公共边的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂色方法共有多少种？
1 2 3
4 5 6
7 8 9
11．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同．若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　)
A．1080种 B．720种
C．660种 D．600种
12．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有________种．
13．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案有多少种？
14．有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．
第2课时　基本计数原理的综合应用
一、选择题
1．某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁四人中选出三人分别担任书记、副书记、组织委员．规定上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职方法有(　　)
A．10种 B．11种
C．12种 D．13种
答案：B
解析：分丁入选与不入选两类，当丁不入选时，则由甲、乙、丙三人担任，甲有2种选择，余下的乙和丙只有一种选择；当丁入选时，有3种选择，丁若担任三个人中没有入选的人的职务，则只有一种结果，丁若担任入选的两个人中的一人的原职务，则有2种结果，共有3×(2＋1)＝9种．综上可知，不同的任职方法共有2＋9＝11种．
2．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)
A．10个 B．14个
C．15个 D．21个
答案：A
解析：当b＝1时，c可取4；当b＝2时，c可取4，5；当b＝3时，c可取4，5，6；当b＝4时，c可取4，5，6，7.故共有1＋2＋3＋4＝10个这样的三角形．
3．如图所示为某公园景观的一隅，是由A，B，C，D，E五处区域构成的，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同颜色的鲜花，有4种颜色的鲜花可供选用，则不同的装饰方案种数为(　　)
A B C
D
E
A.216 B．144
C．128 D．96
答案：B
解析：区域B有4种颜色的鲜花可供选择，区域A有3种颜色的鲜花可供选择，区域D有3种颜色的鲜花可供选择，区域C，E各有2种颜色的鲜花可供选择，由分步乘法计数原理可知，不同的装饰方案种数为4×3×3×2×2＝144.故选B.
4．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　)
A．36个 B．18个
C．9个 D．6个
答案：B
解析：分三步完成，1，2，3这三个数字中必有某一个数字被重复使用2次．第一步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故共有3×3×2＝18个符合条件的四位数．
5．(多选)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(　　)
A．所有可能的安排方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
答案：BCD
解析：对于A，所有可能的安排方法有43种，A错误；对于B，分三类：第一类，若有一名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学有3种情况，另外两名同学的安排方法有3×3＝9种，此类共有3×9＝27种；第二类，若有两名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学有3种情况，另外一名同学的安排方法有3种，此类共有3×3＝9种；第三类，若三名同学都去工厂甲，此类情况唯一，则共有27＋9＋1＝37种安排方法，B正确；对于C，若同学A必须去工厂甲，则B，C两名同学各有4种安排方法，共有4×4＝16种安排方法，C正确；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，则共有4×3×2＝24种安排方法，D正确．故选BCD.
二、填空题
6．5个不同的球，放入2个不同的箱子中，每箱不空，共有________种不同的放法．
答案：30
解析：第1个球有2种放法，第2个球有2种放法，……，第5个球有2种放法，共有25＝32种放法，但要每箱不空，故有2种情况不符合要求，所以符合要求的不同的放法共有32－2＝30种．
7．从1，2，3，4，7，9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．
答案：17
解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.
(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93.所以所有不同的对数的值的个数为1＋5×4－4＝17.
8．现用3种不同的颜色给正五边形ABCDE的五个顶点涂色，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为________．
答案：30
解析：如图，考虑B，C，E三点的涂色情况．若B，C，E三点涂3种颜色，则该三点共有3×2×1＝6种涂色方法，此时A有1种涂色方法，D有1种涂色方法，则共有6×1×1＝6种涂色方法；若B，C，E三点涂2种颜色，则E与B同色，或E与C同色，当E与B同色时，该三点共有3×2＝6种涂色方法，此时A有2种涂色方法，D有1种涂色方法，则共有6×2×1＝12种涂色方法，同理，当E与C同色时，共有6×2×1＝12种涂色方法．综上，不同的涂色方法种数为6＋12＋12＝30.
三、解答题
9．某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，现要演出一个1人唱歌1人伴舞的节目，有多少种不同的选法？
解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人．
第一类，从只会唱歌的5人中任选1人唱歌，从只会跳舞的3人中任选1人伴舞，有5×3＝15种不同的选法；
第二类，从只会唱歌的5人中任选1人唱歌，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人伴舞，有5×2＝10种不同的选法；
第三类，从只会跳舞的3人中任选1人伴舞，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人唱歌，有3×2＝6种不同的选法；
第四类，将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，1人唱歌1人伴舞，有2种选法．
由分类加法计数原理知，共有15＋10＋6＋2＝33种不同的选法．
10．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的九个小正方形(如图)，使得任意有公共边的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂色方法共有多少种？
1 2 3
4 5 6
7 8 9
解：第一步，涂标号为1，5，9的三个小正方形，有3种涂法．
第二步，涂标号为2，3，6的三个小正方形：
若标号为2，6的小正方形颜色相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形也有2种涂法，共有2×2＝4种涂法；
若标号为2，6的小正方形颜色不相同，则有2种涂法，此时标号为3的小正方形只有1种涂法，共有2×1＝2种涂法．
所以对标号为2，3，6的三个小正方形涂色共有4＋2＝6种涂法．
第三步，对标号为4，7，8的三个小正方形涂色，同理共有6种涂法．
故符合条件的所有涂色方法共有3×6×6＝108种．
11．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同．若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　)
A．1080种 B．720种
C．660种 D．600种
答案：A
解析：若使用5种颜色，即每个面涂一种颜色，则有6×5×4×3×2＝720种涂色方案；若使用4种颜色，即面AED与面BFC同色，则有6×5×4×3＝360种涂色方案．故不同的涂色方案有720＋360＝1080种．故选A.
12．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的选择方法共有________种．
答案：100
解析：由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论：若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有3种选择，丙有10种选择，根据分步乘法计数原理，不同的选择方法有2×3×10＝60种；若甲选马作吉祥物，则乙有4种选择，丙有10种选择，根据分步乘法计数原理，不同的选择方法有1×4×10＝40种．综上所述，不同的选择方法共有60＋40＝100种．
13．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案有多少种？
解：5日至9日，即5，6，7，8，9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外1天安排其他车，有2×2＝4种，第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，有22＝4种，共有4＋4＝8种．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案有8×8＝64种．
14．有6张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，求不同的排法种数．
解：将1，2，3，4，5，6中数字之和等于7的两个数字分成一组，记A＝{1，6}，B＝{2，5}，C＝{3，4}．
第一步，排第一行的两个数字，先从A，B，C三组中选取两组，有3种选法，再从这两组中各选取一个数，有2×2＝4种选法，最后将这两个数排在第一行，有2种排法，故第一行的排法种数为3×4×2＝24；
第二步，排第二行的两个数字，先从A，B，C中第一步未选到的那一组中选取一个数，有2种选法，再从第一步选取的两组中剩余的两个数中选取一个数，有2种选法，最后将这两个数排在第二行，有2种排法，故第二行的排法种数为2×2×2＝8；
第三步，将余下的两个数排在第三行，有2种排法．
由分步乘法计数原理知，不同的排法种数为24×8×2＝384.
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