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2027年高考物理一轮复习 ：功能关系 基础题型通关
目录
【题型1】运用W其它=E机2-E机1定量计算机械能的变化 1
【题型2】有空气阻力时功能关系分析 3
【题型3】粗糙斜面上运动时功能关系分析 4
【题型4】物块由静止释放随传送带运动问题 6
【题型5】物块冲上传送带运动的的功能关系 8
【题型6】物块由底部释放随传送带运动问题 10
【题型7】水平面内弹簧模型的功能关系 11
【题型8】竖直方向上弹簧模型的功能关系 13
【题型9】斜面上弹簧模型的功能关系 15
【题型10】弹簧（橡皮筋）连接物体竖直、倾斜面内机械能守恒定律应用 17
【题型11】与弹簧有关的物体脱离临界问题中的功能分析 19
【题型12】与弹簧有关的系统获最大速度问题中的功能分析 21
【题型1】运用W其它=E机2-E机1定量计算机械能的变化
【典例】秋天是可爱的，唐代诗人丁仙芝的诗句“更闻枫叶下，淅沥度秋声”，通过枫叶掉落的淅沥声，带来了秋天的讯息。如图为枫叶在秋风中下落的景色，若其中一片枫叶从树枝上匀速飘落到地面上。则该枫叶（　　）
A.下落过程中所受合力做正功
B.下落过程中所受重力做负功
C.在下落过程中机械能减少
D.在下落过程中重力势能增加
【举一反三1】在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项.质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)(　　)
A.他的动能减少了Fh
B.他的重力势能增加了mgh
C.他的机械能减少了
D.他的机械能减少了Fh
【举一反三2】如图所示，轨道的ab段和cd段为半径 R＝0.8 m的四分之一光滑圆弧，bc 段为长 L＝2 m的水平面，水平面与物体间的动摩擦因数为μ＝0.2，圆弧和水平面平滑连接．质量 m＝1 kg的物体从 a点处由静止下滑，重力加速度 g＝10 m/s2，求：
(1)物体第一次通过c点时对轨道的压力大小；
(2)物体最终停下来的位置；
(3)物体从a点静止下滑到停下来的过程中机械能损失了多少．
【举一反三3】如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F(未知)将质量为m的物块(可视为质点)从静止开始推到B处，且物块到B处时立即撤去恒力F，物块沿半圆轨道运动到轨道最高点C处后，又正好落回A点．已知重力加速度为g.
(1)求水平恒力F对物块所做的功WF与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系．
(2)x取何值时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为多少？
【题型2】有空气阻力时功能关系分析
【典例】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．如图所示，是某小区宣传窗中的一则漫画．不计空气阻力，若画中被抛下的物体在下落过程中重力做功30 J，下列说法正确的是(　　)
A.物体重力势能保持不变
B.物体重力势能增加了30 J
C.物体机械能减少了30 J
D.物体动能增加了30 J
【举一反三1】如图所示，排球运动员朱婷在训练中垫球，排球离开手臂后先竖直向上运动，又竖直向下落回原位置。在此过程中，下列选项正确的是(　　)
A.空气阻力对排球做负功
B.合外力对排球所做总功为零
C.排球的重力势能先减小后增大
D.排球升、降过程中，在同一位置的动能相同
【举一反三2】某人将质量为0.2kg的小球斜向上抛出，抛出点距离地面2.6m，抛出时速度大小为12m/s，方向与水平方向之间的夹角为30°。取重力加速度
(1)若不计空气阻力，求小球落地时的速度大小。
(2)若小球落地时的速度为13m/s，求小球在空中运动过程中克服阻力做的功。
【举一反三3】某航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，质量动力系统提供的恒定升力试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。假设飞行器飞行时所受阻力大小不变，取重力加速度
(1)第一次试飞，飞行器飞行 时到达的高度 求飞行器所受阻力f。
(2)第二次试飞，飞行器飞行 时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能到达的最大高度
【题型3】粗糙斜面上运动时功能关系分析
【典例】如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中（ ）
A. 小球的机械能守恒
B. 重力对小球不做功
C. 绳的张力对小球不做功
D. 在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
【举一反三1】如图所示，分别用恒力F1和F2先后将质量为m的物体从静止开始沿着同一个粗糙程度均匀的固定斜面由低端推到顶端，第一次力F1的方向沿斜面向上，第二次力F2的方向沿水平向左，两次所用的时间相同，在这两个过程中（　　）
A.F1和F2所做的功相同
B.第二次物体机械能变化量较大
C.第二次物体所受的合力做功较多
D.物体的动能的变化量相同
【举一反三2】“南方小土豆”来东北旅游时，滑雪是深受喜欢的运动项目之一，滑雪过程可简化为如图所示。斜面与水平面平滑连接，质量为的游客从高度为的斜坡顶端无初速度滑下，并运动到水平面上的点停下。假设游客与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，，下列说法正确的是（　　）
A.游客沿斜面下滑过程中机械能守恒
B.游客沿斜面下滑过程中重力的瞬时功率大小不变
C.水平距离
D.游客下滑高度一定时，斜面倾角越大，水平距离越大
【举一反三3】如图所示，一个小女孩从滑梯上加速下滑(摩擦阻力不能忽略)，在这个过程中，重力势能将　　　　　 ，机械能将　　　　　 。(填“增加”“不变”或“减少”)
【举一反三4】请阅读下述文字，完成下列小题
如图所示，斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，最终停在水平面上的A点。已知斜面与水平面间的夹角为θ，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，A点到O点的距离为x。
1.下列说法正确的是(　　)
A．小木块在斜面上运动的加速度大小为
B．小木块在水平面上运动的加速度大小为μg
C．小木块滑至底端时的动能为mgh
D．小木块从释放到停止运动的总时间为
2.下列关系正确的是(　　)
A．B．C．D．
【题型4】物块由静止释放随传送带运动问题
【典例】如图所示，足够长的水平传送带以稳定的速度v0匀速向右运动，某时刻在其左端无初速度地放上一个质量为m的物体，经一段时间，物体的速度达到，这个过程因物体与传送带间的摩擦而产生的热量为Q1，物体继续加速，再经一段时间速度增加到v0，这个过程中因摩擦而产生的热量为Q2，则Q1∶Q2的值为(　　)
A.3∶1 B.1∶3 C.1∶1 D.与μ大小有关
【举一反三1】如图所示为面粉厂的水平传送带，现将一袋面粉轻放在传送带左端的点，面粉袋传送至右端点时面粉袋恰好与传送带速度相同。若增大传送带的速度，下列说法正确的是(　　)
A.摩擦力对面粉袋做的功不变
B.面粉袋传送时间将缩短
C.面粉袋到达点时动能增大
D.系统因摩擦产生的热量不变
【举一反三2】某快递公司用于分拣包裹的传输装置如图所示。足够长的水平传送带以的速度顺时针转动，现将一质量的包裹无初速度放在传送带上，一段时间后与传送带达到共速。已知包裹和传送带间的动摩擦因数，重力加速度包裹可以视为质点。在包裹由放上传送带至与传送带达到共同速度的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.摩擦力对包裹做的功为4.5J
B.包裹相对传送带滑动的距离为0.9m
C.包裹与传送带间因摩擦产生的热量为2.25J
D.摩擦力对包裹做的功大于包裹机械能的增加量
【举一反三3】如图，水平传送带顺时针匀速运转，速度大小为2m/s，质量为1.5kg的货箱无初速度放上传送带，经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止。取重力加速度，则货箱与传送带之间的动摩擦因数为　　　，因摩擦产生的热量为　　　J，若以同样的方式运送材质相同但质量更大的货箱，则货箱与传送带相对静止所用的时间　　　0.5s(选填“”、“”或“”)。
【举一反三4】如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v顺时针匀速转动．现将质量为m的物块无初速度地放在传送带的左端，经过一段时间物块恰好与传送带相对静止．设物块与传送带间的动摩擦因数为μ.
(1)这一过程摩擦力对物块做的功为多少？
(2)传送带克服摩擦力做的功为多少？
(3)系统摩擦生热为多少？
(4)与不放物块时相比，电动机多做的功为多少？
(5)与不放物块时相比，电动机多做的这部分功与哪种能量的变化对应？总结这条功能关系．
【题型5】物块冲上传送带运动的的功能关系
【典例】如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率匀速向右运动。一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率)滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右端。就上述过程，下列判断正确的是(　　)
A.滑块返回传送带右端时的速率为
B.此过程中传送带对滑块做功为
C.此过程中电动机对传送带做功为
D.此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为
【举一反三1】如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速度4 m/s顺时针运行，质量为1 kg的小物块以6 m/s的初速度从传送带右端滑上传送带，经一段时间后小物块离开传送带。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，传送带的长度为10 m，重力加速度g＝10 m/s2，对上述过程，下列说法正确的是(　　)
A.小物块对传送带做功为20 J
B.小物块对传送带做功为48 J
C.带动传送带转动的电动机多做的功为40 J
D.带动传送带转动的电动机多做的功为50 J
【举一反三2】如图所示：一游戏装置的轨道由水平传送带与足够长的光滑斜面平滑连接构成。电动机带动长为的传送带以顺时针转动。质量的滑块从点以速度进入传送带，滑块与传送带间的动摩擦因数。不计空气阻力。求：
(1)若，求滑块第一次经过传送带所需的时间；
(2)若，求滑块第一次经过传送带过程电动机多消耗的电能；
(3)若，求滑块在斜面上速度为0时距点的竖直高度的可能值。
【举一反三3】如图所示，水平传送带长L＝12 m，且以v＝5 m/s的恒定速率顺时针转动，光滑轨道与传送带的右端B点平滑连接，有一质量m＝2 kg的物块从距传送带高h＝5 m的A点由静止开始滑下。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物块距传送带左端C的最小距离；
(2)物块再次经过B点后滑上曲面的最大高度；
(3)在上述整个运动过程中，物块与传送带间因摩擦而产生的热量。
【题型6】物块由底部释放随传送带运动问题
【典例】如图甲所示，传送带沿顺时针方向运行，滑块以初速度v0滑上传送带，从传送带底端滑至顶端的过程中，滑块速度随时间变化的规律如图乙所示，在这一过程中，下列说法正确的是(　　)
A.滑块的机械能一直减小
B.滑块的机械能一直增大
C.滑块的机械能先减小后不变
D.滑块的机械能先减小后增大
【举一反三1】倾角θ=30°的传送带以v=1.0 m/s的恒定速率顺时针运转，位于其底部的煤斗每秒钟向其输送m=2 kg的煤屑，煤屑刚落到传送带上时速度为零，传送带将煤屑送到h=2.5 m的高处，煤屑与传送带间的动摩擦因数μ=，重力加速度g=10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A.煤屑刚落到传送带上的加速度大小为7.5 m/s2
B.煤屑从落到传送带开始到与传送带速度相等前进的位移是0.1 m
C.传送带电机因输送煤屑而多输出的功率是51 W
D.传送带电机因输送煤屑而多输出的功率是54 W
【举一反三2】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0=5 m/s的速率运行，现把一质量为m=50 kg的工件(可视为质点)轻轻放在传送带的底端，工件被传送到h=10 m的高处，已知工件与传送带之间的动摩擦因数μ=，g取10 m/s2，求：
(1)工件从放上传送带到与传送带共速的时间t；
(2)工件从底端运送到顶端的过程中，摩擦力对工件做的功W；
(3)电动机由于传送工件到顶端多消耗的电能E。
【举一反三3】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，M、N间距l＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的恒定速率顺时针运转．现将一质量m＝2 kg的物体(可看作质点)无初速度地放在M点，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝，重力加速度取g＝10 m/s2，在传送带将物体从M点传送到N点的过程中，求：
(1)传送带对物体做的功；
(2)电动机对传送带做的功．
【题型7】水平面内弹簧模型的功能关系
【典例】如图所示，轻弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端与放在水平面上的小木块接触(不固接)，开始时弹簧处于原长，右端位于O点。现使木块以初动能Ek向左运动，弹簧的最大压缩量为x，最终小木块停在O点右侧距离O点为s的P点。小木块可视为质点，根据上述条件不能求出的是(　　)
A.弹簧的最大弹性势能
B.小木块离开弹簧时的动能
C.小木块离开弹簧后的加速度
D.小木块运动过程中克服摩擦力做的总功
【举一反三1】轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x=0.4m处时速度为零，g=10m/s2，则此时弹簧的弹性势能为( )
A.3.1J B.3.5J C.1.8J D.2.0J
【举一反三2】在赛车场上，为了安全，车道外围都固定上废旧轮胎作为围栏，当车碰撞围栏时起缓冲作用，如图甲所示．在一次模拟实验中用弹簧来代替废旧轮胎，实验情境如图乙所示，水平放置的轻弹簧左侧固定于墙上，处于自然状态，开始时赛车在A处且处于静止状态，距弹簧自由端的距离为L1＝1 m．当赛车启动时，产生水平向左的恒为F＝24 N的牵引力使赛车向左匀加速前进，当赛车接触弹簧的瞬间立即关闭发动机，赛车继续压缩弹簧，最后被弹回到B处停下．已知赛车的质量为m＝2 kg，A、B之间的距离为L2＝3 m，赛车被弹回的过程中离开弹簧时的速度大小为v＝4 m/s，方向水平向右．g取10 m/s2.
(1)求赛车和地面间的动摩擦因数；
(2)弹簧被压缩的最大距离是多少？试从加速度和速度变化的角度分析赛车关闭发动机后的运动性质；
(3)试分析赛车速度过大时，存在什么安全隐患．
【举一反三3】某同学利用如图所示的装置测量滑块P与水平桌面间的动摩擦因数。一轻质弹簧左端固定在墙面上，右端与滑块P接触不粘连，滑块P上面安装有宽度为d(约为)的遮光条，每次光电门都记录下遮光条通过光电门的时间(滑块经过光电门正下方B点时已经与弹簧分离)，已知滑块P(包括遮光条)的质量为m，重力加速度为g，某一次实验操作步骤如下：
(1)按要求安装好各实验器材；
(2)先用外力将滑块P缓慢的推到A位置，然后撤去外力，滑块由静止开始运动，最后停在水平桌面上的C点，记录下光电门的读数t，则滑块通过光电门的速度大小为　　　；用刻度尺测量出BC的长度L，利用已知条件和所测量的量可以得到动摩擦因数的表达式
　　　　　；(用题中所给已知物理量的符号表示)
(3)重复以上操作，多次测量，记录多组数据，多次计算，动摩擦因数测量值的结果取平均值即可；
(4)另一实验小组的同学实验结束后发现还可以用该装置测量弹簧最初储存的弹性势能。他们测得AB两点间的距离为，BC两点间的距离为，那么这次操作时弹簧最初储存的弹性势能等于　　　。(用、、、、表示)
【题型8】竖直方向上弹簧模型的功能关系
【典例】“跳跳杆”是一种锻炼反应能力和平衡感的运动器材，其结构如图所示。某男子踩着“跳跳杆”由人在最低点到支杆离开地面的过程中(　　)
A.“跳跳杆”内的弹簧弹力做负功，弹性势能减小
B.“跳跳杆”内的弹簧弹力做正功，弹性势能减小
C.重力对人做正功，人的动能增大
D.重力对人做负功，人的动能增大
【举一反三1】如图，小球与轻质弹簧相连，在外力作用下压缩至a点．撤去外力，小球从开始到运动至弹簧原长处的过程中，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.小球增加的重力势能等于小球克服重力做的功
B.弹簧增加的弹性势能等于小球对弹簧做的功
C.小球增加的动能等于弹簧对小球做的功
D.小球运动至弹簧原长处时的动能最大
【举一反三2】美国职业跳伞玩家卢克艾金斯曾不带降落伞从近万米高空一跃而下，后落入一张的缓冲网中，毫发无损。卢克艾金斯的起跳高度离地约7280m，经过空中140s下落过程，以的速度竖直落入缓冲网兜中心。已知缓冲网兜离地面高度100m，艾金斯体重70 kg，在落入网中以后还要下降60 m才能停稳。忽略起跳初速度，g近似取。求：
(1)若艾金斯触网前做自由落体运动，触网时速度(答案中可以保留根号)；
(2)空中下落过程中(触网前)艾金斯损失的机械能。
(3)触网后艾金斯受到的平均阻力。
【举一反三3】某兴趣小组通过探究得到弹性势能的表达式为ΔEp=kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度，请结合弹性势能表达式计算下列问题。放在地面上的物体上端系在劲度系数k=200 N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示，手拉绳子的另一端，当往下拉0.1 m时物体开始离开地面，继续拉绳使物体缓慢升高到离地h=0.5 m处。如果不计弹簧质量和滑轮与绳的摩擦，g取10 m/s2。求：
(1)弹簧弹性势能的大小；
(2)物体重力势能的增量。
【题型9】斜面上弹簧模型的功能关系
【典例】如图所示，光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧下端连接在挡板上，上端放置一个小物块，小物块处于静止状态。现对小物块施加一个沿斜面向上的恒力F(F　
A.物块获得的最大动能为
B.物块增加的机械能为
C.开始时，弹簧中的弹性势能为
D.当物块与弹簧分离时，重力的瞬时功率为mgvsinθ
【举一反三1】如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上的O点，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置由静止释放，将弹簧压缩至最低点B，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是(　　)
A.物块运动到A点时的动能最大
B.物块从A点运动到B点过程中机械能守恒
C.物块运动到B点后将在B点保持静止状态
D.弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量
【举一反三2】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点到弹簧上端B的距离lAB＝4 m(此时弹簧处于原长)．物体到达B点后继续运动，将弹簧压缩到C点，最大压缩量lBC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点到A点的距离lAD＝3 m．已知挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
【举一反三3】如图为某探究活动小组设计的节能运输系统。木箱在倾角为30°的斜面轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与木箱之间无相对滑动)，当斜面底端的轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端。已知木箱下滑的最大距离为L，木箱与轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g。
(1)求木箱的质量M；
(2)若木箱下滑过程中速度最大时弹簧的形变量为，上滑过程中速度最大时弹簧的形变量为，求两次形变量之比。
【题型10】弹簧（橡皮筋）连接物体竖直、倾斜面内机械能守恒定律应用
【典例】下图为某次蹦极运动中的情景，原长为的轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当蹦极者下落至最低点时在距机臂的高度为，忽略空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是(　　)
A.蹦极者下落的整个过程中机械能守恒
B.下落过程中蹦极者的最大动能为
C.弹性绳最大的弹性势能为
D.蹦极者下落至最低点时减少的重力势能为
【举一反三1】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点．已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，小球运动到B、D间某点时速度为零，在小球滑到最低点的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小球的动能与重力势能之和保持不变
B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
【举一反三2】研究蹦极运动时，在运动员身上装好传感器，用于测量他在不同时刻下落的高度及速度。已知运动员及其所携带的全部设备的总质量为60kg，弹性绳原长为10m。运动员从蹦极台无初速度下落，根据某次传感器测到的数据，得到如图所示的速度——位移图像。请据图像作出初步判断：运动员下落过程中在什么位置动能最大 该位置受力有什么特点 运动员下落速度最大时和落到最低点时，绳的弹性势能分别为多大 请陈述你运用相关定律解决问题的条件。
【举一反三3】在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”。如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点，运动员做自由落体运动，竖直落入水中。将运动员视为质点，运动员质量m=60 kg。(g取10 m/s2)求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能。
(2)运动员入水前的速度大小。(可以用根号表示结果)
【题型11】与弹簧有关的物体脱离临界问题中的功能分析
【典例】防护罩的一部分是固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，为了检验该防护罩承受冲击的能力，轨道下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射质量不同的钢珠(视为质点)。如图所示，某次发射的质量为的钢珠恰好能沿轨道内侧经过上端点P水平飞出，另一次发射的质量为的钢珠在Q点脱离轨道，OQ与竖直方向的夹角为。若弹簧枪的长度不计，每次发射时弹簧具有相同的压缩量，弹簧在弹性限度内，则为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图所示，粗糙斜面倾角为37°，两相同物块A和B，质量都为2 kg，轻质弹簧一端连在斜面底部一端与A物块相连．A、B在外力F作用下静止在斜面上，此时弹簧压缩了0.1 m．物块与斜面间动摩擦因数μ＝0.5，弹簧劲度系数k＝400 N/m.从撤去F至两物块恰好分离，下列说法正确的是(　　)
A.分离前弹簧对A先做正功，后做负功
B.分离前A对B一直做正功
C.此过程B物体一直在加速
D.此过程摩擦产生的热量为0.8 J
【举一反三2】如图所示，在竖直方向A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C，使细线恰好伸直但没拉力，并保证ab段细线竖直、cd段细线与斜面平行。已知物体A、B质量均为m，C的质量为 )，细线与滑轮之间摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放物体C后它沿斜面下滑，当物体A恰要离开地面时B获得最大速度(物体 B 未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内)，重力加速度大小为g，求：
(1)释放物体C之前弹簧的压缩量；
(2)物体B的最大速度；
(3)从释放物体C开始，到物体A恰好要离开地面的过程中，细线对物体C所做的功。
【举一反三3】如图所示，粗糙水平面与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量的小滑块(可视为质点)将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过B点后恰好能通过最高点作平抛运动。
已知：导轨半径，小滑块的质量，小滑块与轨道间的动摩擦因数，的长度，重力加速度取。求：
(1)小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小；
(2)弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能；
(3)若仅改变的长度，其他不变，滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出的可能值。
【题型12】与弹簧有关的系统获最大速度问题中的功能分析
【典例】如图所示，固定的竖直杆上A点处套有一质量为m的圆环，圆环与水平放置的轻质弹簧一端相连，弹簧另一端固定在竖直墙壁上的D点，弹簧水平时恰好处于原长状态。现让圆环从图示位置(距地面高度为h)由静止沿杆滑下，圆环经过C处时的速度最大，滑到杆的底端时速度恰好为零。若圆环在B处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A点。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　)
A.竖直杆可能光滑，且圆环下滑到B处时弹簧的弹性势能为mgh
B.下滑到C处，圆环受到的重力与摩擦力大小相等
C.圆环从A下滑到B的过程中克服摩擦力做的功为mv2
D.圆环上滑经过C的速度与下滑经过C的速度大小相等
【举一反三1】如图a所示的弹跳精灵的构造为在绘上可爱表情的圆球下方拴接弹力十足的尼龙网裙子(可看成轻弹簧)，玩的时候用力往下压，使尼龙网产生弹性形变(如图b)，然后迅速放手，玩具竖直向上飞起(如图c)。从放手至冲到最高点过程，不计空气及摩擦阻力，下列说法正确的是 (　　)
　　
A.圆球的机械能守恒
B.圆球的动能先增大后减小
C.圆球的动能与尼龙网裙的弹性势能之和一直不变
D.圆球的重力势能与尼龙网裙的弹性势能之和一直减小
【举一反三2】(2025·广东湛江一中高一期末)如图所示，固定在水平面上足够长的光滑斜面倾角为θ＝30°，轻质弹簧劲度系数为k，下端固定在斜面底端，上端与质量为m的物块A相连，物块A与质量也为m的物块B用跨过光滑定滑轮的细线相连。先用手托住物块B，使细线刚好拉直但无拉力，然后由静止释放物块B，在物块A向上运动的整个过程中，物块B未碰到地面。弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能大小为Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，重力加速度为g，两物块均可视为质点。求：
(1)从释放到达到最大速度过程中细线对物块A做的功；
(2)释放物块B后B能下降的最大距离。
【举一反三3】请阅读下述文字，完成下列小题
如图所示，竖直放置的内壁光滑圆筒底部固定一弹簧，质量为m的小球(直径略小于筒的内径)放在弹簧上，将小球向下按至A位置，无初速度释放，小球被弹簧弹起，当小球经过B位置时，弹簧恢复原长，小球与弹簧脱离，此后小球仅受重力作用，升至最高位置C。B、A间的高度差为，C、B间的高度差为，不计弹簧的质量和空气阻力，重力加速度为g。
1.下列说法正确的是(　　)
A．小球由A位置运动至C位置的过程中弹力做功为
B．小球由A位置运动至C位置的过程中弹力做功为
C．小球由A位置运动至B位置的过程中重力做功为
D．小球由A位置运动至B位置的过程中弹力做功为
2.小球由A位置运动至B位置的过程中，其速度随时间变化的图像正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.下列说法正确的是(　　)
A．由A位置运动至C位置的过程中，小球在B位置动能最大
B．由A位置运动至C位置的过程中，小球所受合力先增大后减小
C．由A位置运动至B位置的过程中，弹簧弹性势能的减少量大于小球动能的增加量
D．由A位置运动至B位置的过程中，弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量
2027年高考物理一轮复习 ：功能关系 基础题型通关（参考答案）
【题型1】运用W其它=E机2-E机1定量计算机械能的变化
【典例】秋天是可爱的，唐代诗人丁仙芝的诗句“更闻枫叶下，淅沥度秋声”，通过枫叶掉落的淅沥声，带来了秋天的讯息。如图为枫叶在秋风中下落的景色，若其中一片枫叶从树枝上匀速飘落到地面上。则该枫叶（　　）
A.下落过程中所受合力做正功
B.下落过程中所受重力做负功
C.在下落过程中机械能减少
D.在下落过程中重力势能增加
【答案】C
【解析】下落过程中是匀速的，合力等于零，所以合力做功为零，A错误；下落过程中，重力与速度方向相同，所以重力做正功，重力势能减少，BD错误；枫叶匀速下落过程中除重力做功外，还有空气阻力做负功，故枫叶的机械能减小，C正确。故选C。
【举一反三1】在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项.质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)(　　)
A.他的动能减少了Fh
B.他的重力势能增加了mgh
C.他的机械能减少了
D.他的机械能减少了Fh
【答案】D
【解析】根据动能定理可得，，可知他的动能减少了，故A错误；
重力做功为，，可知他的重力势能减少了，故B错误；
阻力做功为，，可知他的机械能减少了，故C错误，D正确。故选D。
【举一反三2】如图所示，轨道的ab段和cd段为半径 R＝0.8 m的四分之一光滑圆弧，bc 段为长 L＝2 m的水平面，水平面与物体间的动摩擦因数为μ＝0.2，圆弧和水平面平滑连接．质量 m＝1 kg的物体从 a点处由静止下滑，重力加速度 g＝10 m/s2，求：
(1)物体第一次通过c点时对轨道的压力大小；
(2)物体最终停下来的位置；
(3)物体从a点静止下滑到停下来的过程中机械能损失了多少．
【答案】(1)20 N　(2)b点　(3)8 J
【解析】(1)从a点到c点由动能定理有mgR－μmgL＝mvc2，在c点时FN－mg＝m
联立两式解得FN＝20 N，由牛顿第三定律可知，物体第一次通过c点时对轨道的压力大小
FN′＝FN＝20 N
(2)对物体运动的全过程有mgR＝μmgx，解得x＝4 m
则物体恰好停在b点；
(3)物体从a点静止下滑到停下来的过程中机械能损失了ΔE＝μmgx＝mgR＝8 J
【举一反三3】如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F(未知)将质量为m的物块(可视为质点)从静止开始推到B处，且物块到B处时立即撤去恒力F，物块沿半圆轨道运动到轨道最高点C处后，又正好落回A点．已知重力加速度为g.
(1)求水平恒力F对物块所做的功WF与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系．
(2)x取何值时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为多少？
【答案】(1)WF＝2mgR＋　(2)当x＝2R时，恒力F做的功最少，为mgR
【解析】(1)物块从半圆轨道的C处做平抛运动又回到A点，设物块在C点的速度为v0，物块从C点运动到A点所用的时间为t.
在水平方向上，有x＝v0t，竖直方向上，有2R＝gt2，
解得v0＝.
对物块从A到C，由动能定理，有WF－mg·2R＝mv02，解得WF＝2mgR＋.
(2)要使力F做的功最少，由WF＝2mgR＋mv02，可知只要物块在C点速度最小，WF就最少．若物块恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，由牛顿第二定律，有mg＝.
则v＝，有＝.
解得x＝2R.
故当x＝2R时，WF最小，最小值为WF＝mgR.
【题型2】有空气阻力时功能关系分析
【典例】高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．如图所示，是某小区宣传窗中的一则漫画．不计空气阻力，若画中被抛下的物体在下落过程中重力做功30 J，下列说法正确的是(　　)
A.物体重力势能保持不变
B.物体重力势能增加了30 J
C.物体机械能减少了30 J
D.物体动能增加了30 J
【答案】D
【解析】重力做正功，重力势能减小，重力做功30 J，物体重力势能减小30 J，故A、B错误；只有重力做功，物体的机械能不变，故C错误；重力为物体所受的合外力，根据动能定理，重力做功30 J，物体动能增加了30 J，故D正确．
【举一反三1】如图所示，排球运动员朱婷在训练中垫球，排球离开手臂后先竖直向上运动，又竖直向下落回原位置。在此过程中，下列选项正确的是(　　)
A.空气阻力对排球做负功
B.合外力对排球所做总功为零
C.排球的重力势能先减小后增大
D.排球升、降过程中，在同一位置的动能相同
【答案】A
【解析】当排球竖直向上运动时，空气阻力方向向下，与运动方向相反，做负功，当排球竖直向下运动时，空气阻力方向向上，也与运动方向相反，做负功，所以空气阻力对排球始终做负功，A正确；由题意可知，排球在运动的过程中只受到重力和空气阻力的作用，即合外力做的总功等于重力做的功和空气阻力做的功之和，在整个运动过程中排球的高度不变，即重力不做功，运动空气阻力与运动方向始终相反，空气阻力对排球所做总功为负功，合外力对排球所做总功不为零，B错误；排球向上运动时，高度增加，重力势能增大，向下运动时，高度减小，重力势能减小，所以排球的重力势能先增大后减小，C错误；排球在上升下降过程中，在同一高度处，重力在此过程中不做功，由于空气阻力对排球始终做负功，排球上升的速度比下降时到达同一高度的速度大，因此动能也会大，D错误。
【举一反三2】某人将质量为0.2kg的小球斜向上抛出，抛出点距离地面2.6m，抛出时速度大小为12m/s，方向与水平方向之间的夹角为30°。取重力加速度
(1)若不计空气阻力，求小球落地时的速度大小。
(2)若小球落地时的速度为13m/s，求小球在空中运动过程中克服阻力做的功。
【答案】(1)在小球抛出后至地前的整个运动过程中，
由动能定理得：
解得v=14 m/s
(2)在整个运动过程中，
由动能定理得
解得
【举一反三3】某航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，质量动力系统提供的恒定升力试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。假设飞行器飞行时所受阻力大小不变，取重力加速度
(1)第一次试飞，飞行器飞行 时到达的高度 求飞行器所受阻力f。
(2)第二次试飞，飞行器飞行 时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力，求飞行器能到达的最大高度
【答案】(1)飞行器从静止开始匀加速运动此过程中，飞行器受力如图(a)所示，则有得f=4N。
(2)飞行器从静止开始匀加速运动，6s内上升高度为
飞行器失去动力后，受力如图(b)所示，飞行器向上减速运动，则
解得H=42 m
【题型3】粗糙斜面上运动时功能关系分析
【典例】如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中（ ）
A. 小球的机械能守恒
B. 重力对小球不做功
C. 绳的张力对小球不做功
D. 在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
【答案】C
【解析】试题分析：过程中需要克服摩擦力做功，所以小球的机械能不守恒，A错误；因为在斜面上做圆周运动过程中，小球在竖直方向上会发生位移，所以重力对小球做功，B错误；绳子的张力与小球的运动方向恒垂直，所以张力不做功，C正确；根据除了重力之外的力做功量度机械能的变化，在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球的机械能的减少，故D错误．
【举一反三1】如图所示，分别用恒力F1和F2先后将质量为m的物体从静止开始沿着同一个粗糙程度均匀的固定斜面由低端推到顶端，第一次力F1的方向沿斜面向上，第二次力F2的方向沿水平向左，两次所用的时间相同，在这两个过程中（　　）
A.F1和F2所做的功相同
B.第二次物体机械能变化量较大
C.第二次物体所受的合力做功较多
D.物体的动能的变化量相同
【答案】D
【解析】设斜面倾角为，第一次推物块时，对物块受力分析，将物块所受之力沿斜面与垂直于斜面分解，垂直于斜面方向有，根据牛顿第二定律，沿斜面方向有，第二次推物块时，对物块受力分析，同样将物块所受之力沿斜面与垂直于斜面分解，垂直于斜面方向有，根据牛顿第二定律，沿斜面方向有，因为物块两次从斜面底端到顶端所用时间相同，记斜面的长度为，则根据位移与时间公式有，可得两次运动的加速度相同，联立上式整理可知，根据功的表达式，，联立上式解得做的功小于做的功；由速度与时间公式，可知物块两次运动到顶端的速度相同，增加的机械能等于增加的重力势能与动能之和，则有，所以两次增加的机械能相同；就物块在斜面运动上的全程，根据动能定理，可知两次运动物块动能变化量相同，所受合外力对物块做的功也相同。故选D。
【举一反三2】“南方小土豆”来东北旅游时，滑雪是深受喜欢的运动项目之一，滑雪过程可简化为如图所示。斜面与水平面平滑连接，质量为的游客从高度为的斜坡顶端无初速度滑下，并运动到水平面上的点停下。假设游客与斜面、水平面间的动摩擦因数均为，，下列说法正确的是（　　）
A.游客沿斜面下滑过程中机械能守恒
B.游客沿斜面下滑过程中重力的瞬时功率大小不变
C.水平距离
D.游客下滑高度一定时，斜面倾角越大，水平距离越大
【答案】C
【解析】机械能守恒的条件是只有重力或弹簧得弹力做功，游客在下滑过程中，摩擦力做负功，机械能减少，A错误；游客在下滑过程中，速度越来越大，根据瞬时功率的计算公式可知，重力的瞬时功率大小在变大，B错误；滑块从开始下滑到最后停在A点，设斜面投影长度为，斜面底端到A点距离为，整个过程中，根据动能定理，有，求得水平距离，游客下滑高度一定时，斜面倾角与水平距离无关，C正确，D错误。故选C。
【举一反三3】如图所示，一个小女孩从滑梯上加速下滑(摩擦阻力不能忽略)，在这个过程中，重力势能将　　　　　 ，机械能将　　　　　 。(填“增加”“不变”或“减少”)
【答案】　　 减少　　 减少
【解析】一个小女孩从滑梯上加速下滑(摩擦阻力不能忽略)，在这个过程中，由于重力做正功，则重力势能将减少；由于摩擦阻力做负功，则机械能将减少。
【举一反三4】请阅读下述文字，完成下列小题
如图所示，斜面的顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接。一小木块从斜面的顶端由静止开始滑下，最终停在水平面上的A点。已知斜面与水平面间的夹角为θ，小木块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，A点到O点的距离为x。
1.下列说法正确的是(　　)
A．小木块在斜面上运动的加速度大小为
B．小木块在水平面上运动的加速度大小为μg
C．小木块滑至底端时的动能为mgh
D．小木块从释放到停止运动的总时间为
2.下列关系正确的是(　　)
A．B．C．D．
【答案】1.B　　2.A
【解析】1.设小木块在斜面上和在水平面上运动的加速度大小分别为a1和a2，对两段过程分别应用牛顿第二定律，小木块在斜面上有，小木块在水平面上有，整理上式解得小木块在斜面上得加速度为，小木块在水平面上的加速度为；因小木块与斜面间存在摩擦，存在热量消耗，所以小木块减小的重力势能未完全转化为动能，小木块滑至底端时的动能小于mgh；设小木块滑至底端时的速度大小为v，则根据速度与位移公式有，整理上式解得小木块至底端时的速度大小为，设小木块在斜面上和水平面上运动的时间分别为t1和t2，则根据速度与时间公式有，，整理上式解得小木块在斜面上的时间为，小木块在水平面上的时间为，联立上述结果，小木块从释放到停止运动的总时间为。
2.设斜面长度为l，斜面底端到A点的距离为l′，则对小木块运动的全过程，根据动能定理有，又结合几何关系可知小木块从A点到O点的距离为，联立上式，整理解得。
【题型4】物块由静止释放随传送带运动问题
【典例】如图所示，足够长的水平传送带以稳定的速度v0匀速向右运动，某时刻在其左端无初速度地放上一个质量为m的物体，经一段时间，物体的速度达到，这个过程因物体与传送带间的摩擦而产生的热量为Q1，物体继续加速，再经一段时间速度增加到v0，这个过程中因摩擦而产生的热量为Q2，则Q1∶Q2的值为(　　)
A.3∶1 B.1∶3 C.1∶1 D.与μ大小有关
【答案】A
【举一反三1】如图所示为面粉厂的水平传送带，现将一袋面粉轻放在传送带左端的点，面粉袋传送至右端点时面粉袋恰好与传送带速度相同。若增大传送带的速度，下列说法正确的是(　　)
A.摩擦力对面粉袋做的功不变
B.面粉袋传送时间将缩短
C.面粉袋到达点时动能增大
D.系统因摩擦产生的热量不变
【答案】A
【解析】对面粉袋受力分析可知，面粉袋受到传送带水平向右的摩擦力，重力、垂直于传送带向上的支持力，由题意可知，面粉袋传送至右端点时面粉袋恰好与传送带速度相同，可知整个过程中面粉袋一直由摩擦力带动做加速运动，根据做功表达式可知，摩擦力对面粉袋做的功为fL(L为AB间距)；若增大传送带的速度，因动摩擦因数不变、面粉袋与传送带之间的正压力不变，故面粉袋与传送带之间的摩擦力不变，且面粉袋的位移不变，可知摩擦力对面粉袋做功相同，根据牛顿第二定律可知，面粉袋的加速度不变，可知面粉袋传送至右端点时面粉袋的速度不变，结合运动学公式可知，面粉袋传送时间将不变，根据，面粉袋到达点时动能不变，根据Q=fx相对=f(x传送带-L)，结合运动学公式可知，传送带速度变大，则传送带位移变大，则系统因摩擦产生的热量变大。故选A。
【举一反三2】某快递公司用于分拣包裹的传输装置如图所示。足够长的水平传送带以的速度顺时针转动，现将一质量的包裹无初速度放在传送带上，一段时间后与传送带达到共速。已知包裹和传送带间的动摩擦因数，重力加速度包裹可以视为质点。在包裹由放上传送带至与传送带达到共同速度的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.摩擦力对包裹做的功为4.5J
B.包裹相对传送带滑动的距离为0.9m
C.包裹与传送带间因摩擦产生的热量为2.25J
D.摩擦力对包裹做的功大于包裹机械能的增加量
【答案】C
【解析】对于包裹有，，设包裹位移为x时，其与传动带共速，有，，解得，，该过程摩擦力做功为，，故A项错误；
设包裹经过时间t与传送带共速，有，，解得，，该过程中，传送带的位移为，，所以包裹的相对位移为，，故B项错误；
由功能关系有，，故C项正确；
由功能关系可知，摩擦力对包裹做的功等于包裹机械能的增加量，故D项错误。故选C。
【举一反三3】如图，水平传送带顺时针匀速运转，速度大小为2m/s，质量为1.5kg的货箱无初速度放上传送带，经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止。取重力加速度，则货箱与传送带之间的动摩擦因数为　　　，因摩擦产生的热量为　　　J，若以同样的方式运送材质相同但质量更大的货箱，则货箱与传送带相对静止所用的时间　　　0.5s(选填“”、“”或“”)。
【答案】0.4　　 3　　 =
【解析】经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止，则有，，根据牛顿第二定律有，，解得，
货箱与传送带保持相对静止时，相对位移为，，则因摩擦产生的热量为，
若以同样的方式运送材质相同但质量更大的货箱，由于材质相同，则动摩擦因数相同，货箱做加速运动的加速度相同，结合上述可知，则货箱与传送带相对静止所用的时间仍然等于0.5s。
【举一反三4】如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v顺时针匀速转动．现将质量为m的物块无初速度地放在传送带的左端，经过一段时间物块恰好与传送带相对静止．设物块与传送带间的动摩擦因数为μ.
(1)这一过程摩擦力对物块做的功为多少？
(2)传送带克服摩擦力做的功为多少？
(3)系统摩擦生热为多少？
(4)与不放物块时相比，电动机多做的功为多少？
(5)与不放物块时相比，电动机多做的这部分功与哪种能量的变化对应？总结这条功能关系．
【答案】(1)mv2　(2)mv2　(3)mv2　(4)mv2　(5)见解析
【解析】设物块与传送带之间的滑动摩擦力大小为Ff，从滑上传送带到相对静止的过程中物块的位移大小为x1，传送带相对地面的位移大小为x2，则x1＝vt，x2＝vt＝2x1.
(1)对物块运用动能定理有Ffx1＝mv2.
(2)传送带克服摩擦力做的功W克f＝Ffx2＝2Ffx1＝mv2.
(3)系统摩擦生热Q＝Ffx相对＝Ff(x2－x1)＝Ffx1＝mv2.
(4)电动机多做的功为传送带克服摩擦力做的功，W多＝W克f＝mv2.
(5)电动机做功就是消耗电能的过程，按照能量守恒定律，消耗的电能转化成传送带与物块系统的机械能和内能．(即物块增加的动能和系统摩擦生热)
W多＝ΔE电→其他＝ΔE机＋Q
【题型5】物块冲上传送带运动的的功能关系
【典例】如图所示，在匀速转动的电动机带动下，足够长的水平传送带以恒定速率匀速向右运动。一质量为m的滑块从传送带右端以水平向左的速率)滑上传送带，最终滑块又返回至传送带的右端。就上述过程，下列判断正确的是(　　)
A.滑块返回传送带右端时的速率为
B.此过程中传送带对滑块做功为
C.此过程中电动机对传送带做功为
D.此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为
【答案】C
【解析】滑块从传送带右端滑上传送带，先向右做匀减速直线运动到速度减为0，之后反向向右做匀加速直线运动，由于，则滑块返回传送带右端时的速率为；根据动能定理可知，此过程中传送带对滑块做功为，，故AB错误；
设滑块与传送带的动摩擦因数为，由运动学公式可得，滑块在传送带上运动的时间为，，则传送带的位移为，，此过程为了维持传送带匀速运动，则有，，则此过程中电动机对传送带做功为，，故C正确；
根据题意可知，此过程中滑块的位移为0，则滑块与传送带间的相对位移为，则此过程中滑块与传送带间摩擦产生的热量为，，故D错误。故选C。
【举一反三1】如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速度4 m/s顺时针运行，质量为1 kg的小物块以6 m/s的初速度从传送带右端滑上传送带，经一段时间后小物块离开传送带。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，传送带的长度为10 m，重力加速度g＝10 m/s2，对上述过程，下列说法正确的是(　　)
A.小物块对传送带做功为20 J
B.小物块对传送带做功为48 J
C.带动传送带转动的电动机多做的功为40 J
D.带动传送带转动的电动机多做的功为50 J
【答案】C
【解析】物块的加速度大小为a＝＝2 m/s2，物块向左减速至0的位移为x＝＝9 m，物块向左运动的时间为t1＝＝3 s，向右运动至共速的时间为t2＝＝2 s，小物块对传送带做功为W＝－μmgv0(t1＋t2)＝－40 J，A、B错误；全程物块与传送带的相对位移为Δx＝＝25 m，根据功能关系，带动传送带转动的电动机多做的功为W′＝＝40 J，C正确，D错误。
【举一反三2】如图所示：一游戏装置的轨道由水平传送带与足够长的光滑斜面平滑连接构成。电动机带动长为的传送带以顺时针转动。质量的滑块从点以速度进入传送带，滑块与传送带间的动摩擦因数。不计空气阻力。求：
(1)若，求滑块第一次经过传送带所需的时间；
(2)若，求滑块第一次经过传送带过程电动机多消耗的电能；
(3)若，求滑块在斜面上速度为0时距点的竖直高度的可能值。
【答案】(1)1s；(2)2J；(3)0.45m，0.2m
【解析】(1)滑块刚放到传送带上时，受到重力、支持力和摩擦力的作用。由于滑块相对传送带向左运动，所以滑块受到向右的摩擦力，根据牛顿第二定律
滑块加速时的加速度
可得加速度大小
加速时间
加速时位移
匀速时间
总时间
(2)滑块加速过程中，传送带的位移
在加速过程中有相对位移
计算滑块与传送带间的摩擦生热
物块动能增加
根据能量守恒定律，滑块第一次经过传送带过程电动机多消耗的电能
(3)假设以初速度进入传送带将一直减速到B，则B点速度
假设成立，接下来滑上斜面，则滑上斜面的高度
滑块返回到传送带上后先减速后反向加速到2m/s，再次滑上斜面的高度
以后不断返回后将始终滑上斜面，最大高度为0.2m。
【举一反三3】如图所示，水平传送带长L＝12 m，且以v＝5 m/s的恒定速率顺时针转动，光滑轨道与传送带的右端B点平滑连接，有一质量m＝2 kg的物块从距传送带高h＝5 m的A点由静止开始滑下。已知物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物块距传送带左端C的最小距离；
(2)物块再次经过B点后滑上曲面的最大高度；
(3)在上述整个运动过程中，物块与传送带间因摩擦而产生的热量。
【答案】(1)2 m　(2)1.25 m　(3)225 J
【解析】(1)物块从A到B的运动过程中
由动能定理得mgh＝mvB2
解得vB＝10 m/s
物块在传送带上向左运动的过程中
由牛顿第二定律得μmg＝ma
解得a＝5 m/s2
由运动学公式得0－vB2＝－2ax1
解得x1＝10 m，且t1＝＝2 s
物块距传送带左端C的最小距离
dmin＝L－x1＝2 m。
(2)物块在传送带上向右运动的过程中
由牛顿第二定律得μmg＝ma′
解得a′＝5 m/s2
物块达到与传送带共速的时间t2＝＝1 s
x2＝a′t22＝2.5 m<10 m
此后物块随传送带向右做匀速直线运动，经过B点时的速度v＝5 m/s
物块经过B点后滑上曲面的过程中
由动能定理得－mghm＝0－mv2
解得hm＝1.25 m。
(3)物块在传送带上向左运动的过程中，相对位移Δx1＝x1＋vt1＝20 m
此过程中产生的热量Q1＝μmgΔx1＝200 J
物块在传送带上向右运动的过程，相对位移Δx2＝vt2－x2＝2.5 m，此过程中产生的热量Q2＝μmgΔx2＝25 J
全程产生的热量Q热＝Q1＋Q2＝225 J。
【题型6】物块由底部释放随传送带运动问题
【典例】如图甲所示，传送带沿顺时针方向运行，滑块以初速度v0滑上传送带，从传送带底端滑至顶端的过程中，滑块速度随时间变化的规律如图乙所示，在这一过程中，下列说法正确的是(　　)
A.滑块的机械能一直减小
B.滑块的机械能一直增大
C.滑块的机械能先减小后不变
D.滑块的机械能先减小后增大
【答案】D
【解析】由v-t图像可知，开始滑块的速度大于传送带的速度，摩擦力对滑块做负功，机械能减小，当滑块速度与传送带速度相等后，滑块匀速上升，摩擦力对滑块做正功，滑块的机械能增大，因此滑块的机械能先减小后增大，故选D。
【举一反三1】倾角θ=30°的传送带以v=1.0 m/s的恒定速率顺时针运转，位于其底部的煤斗每秒钟向其输送m=2 kg的煤屑，煤屑刚落到传送带上时速度为零，传送带将煤屑送到h=2.5 m的高处，煤屑与传送带间的动摩擦因数μ=，重力加速度g=10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A.煤屑刚落到传送带上的加速度大小为7.5 m/s2
B.煤屑从落到传送带开始到与传送带速度相等前进的位移是0.1 m
C.传送带电机因输送煤屑而多输出的功率是51 W
D.传送带电机因输送煤屑而多输出的功率是54 W
【答案】D
【解析】煤屑刚落到传送带上时，由牛顿第二定律可得μmg cos θ-mg sin θ=ma，解得a=2.5 m/s2，故A错误；煤屑从落到传送带开始到与传送带速度相等时前进的位移是x1==0.2 m，故B错误；每秒煤屑动能增加量ΔEk=mv2，每秒重力势能增加量ΔEp=mgh，煤屑在传送带上做加速运动的时间为t1==0.4 s，摩擦产生的热量Q=μmg cos θ·(vt1-x1)，传送带电机因输送煤屑而多输出的功率P=，t=1 s，解得P=54 W，故C错误，D正确。
【举一反三2】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0=5 m/s的速率运行，现把一质量为m=50 kg的工件(可视为质点)轻轻放在传送带的底端，工件被传送到h=10 m的高处，已知工件与传送带之间的动摩擦因数μ=，g取10 m/s2，求：
(1)工件从放上传送带到与传送带共速的时间t；
(2)工件从底端运送到顶端的过程中，摩擦力对工件做的功W；
(3)电动机由于传送工件到顶端多消耗的电能E。
【答案】(1)2 s　(2)5 625 J　(3)7 500 J
【解析】(1)对工件进行受力分析
根据牛顿第二定律可得μmgcos θ-mgsin θ=ma
解得a=2.5 m/s2
故工件从放上传送带到与传送带共速的时间为t==2 s。
(2)工件从底端运送到顶端的过程中
根据动能定理有-mgh+W=-0
解得W=5 625 J。
(3)工件从放上传送带到与传送带共速
工件相对传送带的位移为Δs=v0t-=5 m
工件从放上传送带到与传送带共速过程中产生的热量为Q=μmgcos θ·Δs=1 875 J
工件从底端运送到顶端的过程中
由功能关系可得电动机多消耗的电能为E=+mgh+Q=7 500 J。
【举一反三3】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，M、N间距l＝5 m，传送带在电动机的带动下以v＝1 m/s的恒定速率顺时针运转．现将一质量m＝2 kg的物体(可看作质点)无初速度地放在M点，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝，重力加速度取g＝10 m/s2，在传送带将物体从M点传送到N点的过程中，求：
(1)传送带对物体做的功；
(2)电动机对传送带做的功．
【答案】(1)51 J　(2)54 J
【解析】(1) 由功能关系得传送带对物体做的功为W＝mv2＋mglsin 30°＝51 J
(2)小物体轻放在传送带上时，根据牛顿第二定律得沿斜面方向μmgcos θ－mgsin θ＝ma
可知小物体上升的加速度为a＝2.5 m/s2，在物体加速运动的过程，根据运动学公式可得匀加速所用时间为t＝＝0.4 s，相对位移为x′＝vt－at2＝0.2 m，电动机做功使小物体机械能增加，同时使物体与传送带间因摩擦产生热量Q，则因摩擦产生的热量为Q＝μmgcos θ·x′＝3 J
故电动机对传送带做的功为W电＝W＋Q＝54 J.
【题型7】水平面内弹簧模型的功能关系
【典例】如图所示，轻弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端与放在水平面上的小木块接触(不固接)，开始时弹簧处于原长，右端位于O点。现使木块以初动能Ek向左运动，弹簧的最大压缩量为x，最终小木块停在O点右侧距离O点为s的P点。小木块可视为质点，根据上述条件不能求出的是(　　)
A.弹簧的最大弹性势能
B.小木块离开弹簧时的动能
C.小木块离开弹簧后的加速度
D.小木块运动过程中克服摩擦力做的总功
【答案】C
【解析】木块运动至最左端时根据能量守恒有Ek=Ep+μmgx，小木块停在P点，根据能量守恒有Ep=μmg(x+s)，解得弹簧的最大弹性势能为Ep=Ek，故A不符合题意要求；小木块离开弹簧时的动能为Ek'=μmgs=Ek，故B不符合题意要求；小木块离开弹簧后的加速度为a==μg，由于动摩擦因数未知，小木块离开弹簧后的加速度不能求出，故C符合题意要求；根据能量守恒可知小木块运动过程中克服摩擦力做的总功为Ek，故D不符合题意要求。
【举一反三1】轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m=0.5kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x=0.4m处时速度为零，g=10m/s2，则此时弹簧的弹性势能为( )
A.3.1J B.3.5J C.1.8J D.2.0J
【答案】A
【解析】由图线与坐标轴围成的面积表示功，可得到力F做的功，，设克服弹簧弹力做的功为W弹，根据动能定理，WF-W弹-μmgx=0，解得，W弹=3.1J
则弹簧的弹性势能为，EP=3.1J，故选A。
【举一反三2】在赛车场上，为了安全，车道外围都固定上废旧轮胎作为围栏，当车碰撞围栏时起缓冲作用，如图甲所示．在一次模拟实验中用弹簧来代替废旧轮胎，实验情境如图乙所示，水平放置的轻弹簧左侧固定于墙上，处于自然状态，开始时赛车在A处且处于静止状态，距弹簧自由端的距离为L1＝1 m．当赛车启动时，产生水平向左的恒为F＝24 N的牵引力使赛车向左匀加速前进，当赛车接触弹簧的瞬间立即关闭发动机，赛车继续压缩弹簧，最后被弹回到B处停下．已知赛车的质量为m＝2 kg，A、B之间的距离为L2＝3 m，赛车被弹回的过程中离开弹簧时的速度大小为v＝4 m/s，方向水平向右．g取10 m/s2.
(1)求赛车和地面间的动摩擦因数；
(2)弹簧被压缩的最大距离是多少？试从加速度和速度变化的角度分析赛车关闭发动机后的运动性质；
(3)试分析赛车速度过大时，存在什么安全隐患．
【答案】(1)0.2　(2)0.5 m　赛车的运动性质见解析　(3)见解析
【解析】(1)从赛车离开弹簧到B点静止，由动能定理得
－μmg(L1＋L2)＝0－mv2
解得μ＝0.2.
(2)设弹簧被压缩的最大距离为L，从赛车加速到离开弹簧，由动能定理得
FL1－μmg(L1＋2L)＝mv2－0
解得L＝0.5 m.
赛车接触弹簧后立即关闭发动机，牵引力消失，水平方向摩擦力不变，弹簧弹力增大，由牛顿第二定律知赛车做加速度增大的减速运动，当弹簧被压缩至最短时，赛车速度减为零，然后赛车在弹簧弹力作用下被反向弹回，赛车被反向弹回时摩擦力大小不变，方向向左，弹簧弹力逐渐减小，赛车脱离弹簧时弹力为0，赛车先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动．赛车脱离弹簧后，受地面摩擦力的作用，做匀减速直线运动至速度减为0.
(3)若赛车速度过大，撞击时超过弹簧的弹性限度，就会冲出围栏，发生安全事故．
【举一反三3】某同学利用如图所示的装置测量滑块P与水平桌面间的动摩擦因数。一轻质弹簧左端固定在墙面上，右端与滑块P接触不粘连，滑块P上面安装有宽度为d(约为)的遮光条，每次光电门都记录下遮光条通过光电门的时间(滑块经过光电门正下方B点时已经与弹簧分离)，已知滑块P(包括遮光条)的质量为m，重力加速度为g，某一次实验操作步骤如下：
(1)按要求安装好各实验器材；
(2)先用外力将滑块P缓慢的推到A位置，然后撤去外力，滑块由静止开始运动，最后停在水平桌面上的C点，记录下光电门的读数t，则滑块通过光电门的速度大小为　　　；用刻度尺测量出BC的长度L，利用已知条件和所测量的量可以得到动摩擦因数的表达式
　　　　　；(用题中所给已知物理量的符号表示)
(3)重复以上操作，多次测量，记录多组数据，多次计算，动摩擦因数测量值的结果取平均值即可；
(4)另一实验小组的同学实验结束后发现还可以用该装置测量弹簧最初储存的弹性势能。他们测得AB两点间的距离为，BC两点间的距离为，那么这次操作时弹簧最初储存的弹性势能等于　　　。(用、、、、表示)
【答案】　　 　　 　　
【解析】(2)遮光条宽度为d，滑块上的遮光条经光电门的时间t，因遮光条的宽度d(约为)很小，则滑块经光电门的速度大小可为，
对滑块和遮光条，由牛顿第二定律可得，，解得滑块和遮光条运动的加速度为，，由速度位移关系公式，解得，
(4)由功能关系，可得弹簧最初储存的弹性势能等于，
【题型8】竖直方向上弹簧模型的功能关系
【典例】“跳跳杆”是一种锻炼反应能力和平衡感的运动器材，其结构如图所示。某男子踩着“跳跳杆”由人在最低点到支杆离开地面的过程中(　　)
A.“跳跳杆”内的弹簧弹力做负功，弹性势能减小
B.“跳跳杆”内的弹簧弹力做正功，弹性势能减小
C.重力对人做正功，人的动能增大
D.重力对人做负功，人的动能增大
【答案】B
【解析】踩着“跳跳杆”由人在最低点到支杆离开地面的过程中，弹簧从压缩状态变成刚好恢复原长，弹簧弹力一直对人做正功，弹性势能减少，故A错，B正确；
“跳跳杆”由人在最低点到支杆离开地面的过程中，弹簧从压缩状态变成刚好恢复原长，弹力不断减少。弹力一开始比重力大，人向上做加速运动，然后某个位置弹力等于重力，此时速度达到最大值，弹力继续减少，小于重力，人向上做减速运动，所以踩着“跳跳杆”由人在最低点到支杆离开地面的过程中，重力一直对人做负功，人的动能先增大再减少，故CD错误。故选B。
【举一反三1】如图，小球与轻质弹簧相连，在外力作用下压缩至a点．撤去外力，小球从开始到运动至弹簧原长处的过程中，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.小球增加的重力势能等于小球克服重力做的功
B.弹簧增加的弹性势能等于小球对弹簧做的功
C.小球增加的动能等于弹簧对小球做的功
D.小球运动至弹簧原长处时的动能最大
【答案】A
【举一反三2】美国职业跳伞玩家卢克艾金斯曾不带降落伞从近万米高空一跃而下，后落入一张的缓冲网中，毫发无损。卢克艾金斯的起跳高度离地约7280m，经过空中140s下落过程，以的速度竖直落入缓冲网兜中心。已知缓冲网兜离地面高度100m，艾金斯体重70 kg，在落入网中以后还要下降60 m才能停稳。忽略起跳初速度，g近似取。求：
(1)若艾金斯触网前做自由落体运动，触网时速度(答案中可以保留根号)；
(2)空中下落过程中(触网前)艾金斯损失的机械能。
(3)触网后艾金斯受到的平均阻力。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)根据公式
其中
解得
(2)实际落入网兜重心的速度大小为
损失的机械能为
解得
(3)触网后，由动能定理有
解得
【举一反三3】某兴趣小组通过探究得到弹性势能的表达式为ΔEp=kx2，式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧伸长(或缩短)的长度，请结合弹性势能表达式计算下列问题。放在地面上的物体上端系在劲度系数k=200 N/m的弹簧上，弹簧的另一端拴在跨过定滑轮的绳子上，如图所示，手拉绳子的另一端，当往下拉0.1 m时物体开始离开地面，继续拉绳使物体缓慢升高到离地h=0.5 m处。如果不计弹簧质量和滑轮与绳的摩擦，g取10 m/s2。求：
(1)弹簧弹性势能的大小；
(2)物体重力势能的增量。
【答案】(1)1 J　(2)10 J
【解析】(1)物体缓慢升高过程处于平衡状态，则有kΔx=mg，Δx=0.1 m
则弹簧弹性势能的大小ΔEp=kx2=kΔx2
联立解得ΔEp=1 J。
(2)由(1)得m=2 kg，物体重力势能的增量为ΔEp'=mgh=10 J。
【题型9】斜面上弹簧模型的功能关系
【典例】如图所示，光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧下端连接在挡板上，上端放置一个小物块，小物块处于静止状态。现对小物块施加一个沿斜面向上的恒力F(F　
A.物块获得的最大动能为
B.物块增加的机械能为
C.开始时，弹簧中的弹性势能为
D.当物块与弹簧分离时，重力的瞬时功率为mgvsinθ
【答案】D
【解析】从开始运动到物块与弹簧分离的过程中，由牛顿第二定律可知，，当a=0时，速度最大，此时弹簧弹力大小为，，弹簧仍处于压缩状态，此后速度减小，所以物块获得的最大动能大于，故A错误；
小物块处于静止状态时，弹簧压缩量为，，从开始运动到物块与弹簧分离的过程中，恒力F做的功为，，由功能关系可知，物块增加的机械能为，，可知物块增加的机械能大于。开始时弹簧中的弹性势能为，，故B、C错误；
当物块与弹簧分离时，重力做功的瞬时功率为，，故D正确。故选D。
【举一反三1】如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上的O点，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置由静止释放，将弹簧压缩至最低点B，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是(　　)
A.物块运动到A点时的动能最大
B.物块从A点运动到B点过程中机械能守恒
C.物块运动到B点后将在B点保持静止状态
D.弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量
【答案】D
【解析】物块运动到A点时，弹力为零，合力不为零，则物块有沿斜面向下的加速度，则此时速度不是最大，即动能不是最大，选项A错误；
物块从A点运动到B点过程中弹簧的弹力对物块做负功，则物块的机械能不守恒，选项B错误；
物块运动到B点后合力沿斜面向上，则将沿斜面向上运动，不会在B点保持静止状态，选项C错误；
由能量关系可知，弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量，选项D正确。故选D。
【举一反三2】如图所示，一物体质量m＝2 kg，在倾角θ＝37°的斜面上的A点以初速度v0＝3 m/s下滑，A点到弹簧上端B的距离lAB＝4 m(此时弹簧处于原长)．物体到达B点后继续运动，将弹簧压缩到C点，最大压缩量lBC＝0.2 m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点到A点的距离lAD＝3 m．已知挡板及弹簧质量不计，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)弹簧的最大弹性势能Epm.
【答案】(1)0.52　(2)24.5 J
【解析】(1)物体从起始位置A点到D点的过程中，弹性势能没有发生变化，动能和重力势能减少，机械能的减少量为
E减＝mv02＋mglADsin 37°，①
物体克服摩擦力产生的热量为
Q＝F1x，②
其中x为物体通过的路程，即x＝5.4 m．③
滑动摩擦力Ff＝μmgcos 37°，④
由能量守恒定律，可得E减＝Q，⑤
联立①②③④⑤式，解得μ≈0.52.
(2)由A到C的过程中，动能减少量为mv02，
重力势能减少量为mglACsin 37°，
摩擦生热Q′＝FflAC＝μmgcos 37°·lAC，
由能量守恒定律，得弹簧的最大弹性势能
Epm＝mv02＋mglACsin 37°－Q′，
联立解得Epm≈24.5 J.
【举一反三3】如图为某探究活动小组设计的节能运输系统。木箱在倾角为30°的斜面轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下(货物与木箱之间无相对滑动)，当斜面底端的轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端。已知木箱下滑的最大距离为L，木箱与轨道间的动摩擦因数为，重力加速度为g。
(1)求木箱的质量M；
(2)若木箱下滑过程中速度最大时弹簧的形变量为，上滑过程中速度最大时弹簧的形变量为，求两次形变量之比。
【答案】(1)　　(2)1
【解析】(1)系统从开始下滑到再次回到顶端过程，设向下运动到最低点的距离为L，由能量守恒定律可知货物减少的重力势能等于克服摩擦力所做的功，则，，解得，
(2)下滑过程中，当木箱速度最大时合力为零，由受力平衡得，，同理，上滑过程中，由受力平衡得，，可知，
【题型10】弹簧（橡皮筋）连接物体竖直、倾斜面内机械能守恒定律应用
【典例】下图为某次蹦极运动中的情景，原长为的轻弹性绳一端固定在机臂上，另一端固定在质量为的蹦极者身上，蹦极者从机臂上由静止自由下落，当蹦极者下落至最低点时在距机臂的高度为，忽略空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是(　　)
A.蹦极者下落的整个过程中机械能守恒
B.下落过程中蹦极者的最大动能为
C.弹性绳最大的弹性势能为
D.蹦极者下落至最低点时减少的重力势能为
【答案】D
【解析】蹦极者下落的整个过程中，在弹性绳被拉长的过程中拉力对人做负功，此过程中人的机械能减小，A错误；蹦极者下落过程中，当蹦极者速度最大时弹力等于重力，此时弹性绳处于拉长状态，不是原长状态，可知下落过程中蹦极者的最大动能大于，B错误；由弹性绳和蹦极者组成的整体遵循机械能守恒可知，弹性绳的最大的弹性势能等于减小的重力势能为，C错误；蹦极者下落至最低点的过程，重力做正功，重力势能减少，减少的重力势能为，D正确。故选D。
【举一反三1】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点．已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，小球运动到B、D间某点时速度为零，在小球滑到最低点的整个过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小球的动能与重力势能之和保持不变
B.小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
【答案】B
【解析】小球沿杆下滑的过程中受重力、杆的弹力和弹簧的拉力，重力和弹簧的拉力做功，所以小球机械能不守恒，故A错误．小球自C点由静止释放到B点的过程中弹簧的拉力做正功，所以小球的机械能增大，从B点向下，弹簧的拉力与速度方向成钝角，做负功，小球的机械能减小，故B正确．小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，而小球的重力势能减小，所以小球的动能与弹簧的弹性势能之和增大，故C错误．小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，而小球的动能在变化，所以小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和也在变化，故D错误．
【举一反三2】研究蹦极运动时，在运动员身上装好传感器，用于测量他在不同时刻下落的高度及速度。已知运动员及其所携带的全部设备的总质量为60kg，弹性绳原长为10m。运动员从蹦极台无初速度下落，根据某次传感器测到的数据，得到如图所示的速度——位移图像。请据图像作出初步判断：运动员下落过程中在什么位置动能最大 该位置受力有什么特点 运动员下落速度最大时和落到最低点时，绳的弹性势能分别为多大 请陈述你运用相关定律解决问题的条件。
【答案】由图可知，下落距离为15m时，速度最大此时动能最大，且在该位置弹性绳弹力大小等于重力；下落速度最大时，由能量守恒定律可得 解得此时绳的弹性势能同理，下落至最低点时绳的弹性势能此时下落距离可由图像读出，代入数据，解得当运动员仅受重力和弹性绳弹力时，满足机械能守恒的条件。
【举一反三3】在跳水比赛中，有一个单项是“3 m跳板”。如图所示，其比赛过程可简化为：运动员走上跳板，跳板被压弯到最低点C，跳板又将运动员竖直向上弹到最高点，运动员做自由落体运动，竖直落入水中。将运动员视为质点，运动员质量m=60 kg。(g取10 m/s2)求：
(1)跳板被压弯到最低点C时具有的弹性势能。
(2)运动员入水前的速度大小。(可以用根号表示结果)
【答案】(1)1 200 J　(2)3 m/s
【解析】(1)运动员由C点运动到A点时，跳板的弹性势能转化为运动员增加的重力势能，则
Ep=mghAC=60×10×(1.5+0.5) J=1 200 J。
(2)运动员由A点开始做自由落体运动，机械能守恒，则mghA=mv2，
解得v= m/s=3 m/s。
【题型11】与弹簧有关的物体脱离临界问题中的功能分析
【典例】防护罩的一部分是固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，为了检验该防护罩承受冲击的能力，轨道下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射质量不同的钢珠(视为质点)。如图所示，某次发射的质量为的钢珠恰好能沿轨道内侧经过上端点P水平飞出，另一次发射的质量为的钢珠在Q点脱离轨道，OQ与竖直方向的夹角为。若弹簧枪的长度不计，每次发射时弹簧具有相同的压缩量，弹簧在弹性限度内，则为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】质量为的钢珠恰好能过P点，则在P点时重力提供向心力，根据牛顿第二定律有，，从发射到经过P点，质量为的钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒有，，质量为的钢珠在Q点脱离轨道，则在此位置轨道对钢珠的弹力刚好为零，由重力沿半径方向的分力提供向心力，即，，从发射到经过Q点，质量为的钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒有，每次发射时弹簧具有相同的压缩量，即，联立解得，，故选A。
【举一反三1】如图所示，粗糙斜面倾角为37°，两相同物块A和B，质量都为2 kg，轻质弹簧一端连在斜面底部一端与A物块相连．A、B在外力F作用下静止在斜面上，此时弹簧压缩了0.1 m．物块与斜面间动摩擦因数μ＝0.5，弹簧劲度系数k＝400 N/m.从撤去F至两物块恰好分离，下列说法正确的是(　　)
A.分离前弹簧对A先做正功，后做负功
B.分离前A对B一直做正功
C.此过程B物体一直在加速
D.此过程摩擦产生的热量为0.8 J
【答案】B
【举一反三2】如图所示，在竖直方向A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的足够长光滑斜面上。用手按住C，使细线恰好伸直但没拉力，并保证ab段细线竖直、cd段细线与斜面平行。已知物体A、B质量均为m，C的质量为 )，细线与滑轮之间摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放物体C后它沿斜面下滑，当物体A恰要离开地面时B获得最大速度(物体 B 未触及滑轮，弹簧始终处于弹性限度内)，重力加速度大小为g，求：
(1)释放物体C之前弹簧的压缩量；
(2)物体B的最大速度；
(3)从释放物体C开始，到物体A恰好要离开地面的过程中，细线对物体C所做的功。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)细线恰好伸直，绳子拉力为零，说明弹簧仅受到物体A的重力作用。根据胡克定律，设弹簧的压缩量为x，对物体B受力分析，根据共点力平衡，有mg=kx
得释放物体C之前弹簧的压缩量
(2)当A恰好要离开地面时，地面对物体A的支持力为零，设弹簧的伸长量为x′，此时弹簧的弹力等于物体A的重力，故对物体A受力分析有mg=kx′
因此物体B上升的高度和物体C沿斜面下滑的距离
设斜面倾角为α，当物体B达最大速度时，此时系统机械能守恒，有Mgsinα=2mg
以三个物体和弹簧作为研究对象，据机械能守恒定律有
解得物体B的最大速度
(3)以物体C为研究对象，释放物体C开始到物体A恰好要离开地面时，细线对物体C所做的功W可以通过动能定理求解，据动能定理有
解得细线对物体C所做的功
【举一反三3】如图所示，粗糙水平面与竖直面内的光滑半圆形轨道在B点平滑相接，一质量的小滑块(可视为质点)将弹簧压缩至A点后由静止释放，经过B点后恰好能通过最高点作平抛运动。
已知：导轨半径，小滑块的质量，小滑块与轨道间的动摩擦因数，的长度，重力加速度取。求：
(1)小滑块对圆轨道最低处B点的压力大小；
(2)弹簧压缩至A点时弹簧的弹性势能；
(3)若仅改变的长度，其他不变，滑块在半圆轨道运动时不脱离轨道，求出的可能值。
【答案】(1)；(2)；(3)或者
【解析】(1)在C点，根据牛顿第二定律有，，在B点，根据牛顿第二定律有，，小滑块从B至C根据动能定理有，，代入数据得，，根据牛顿第三定律，小滑块对圆轨道最低处点的压力大小；
(2)小滑块A至B根据功能关系有，，由(1)可得，代入数据得，
(3)物块滑上圆轨道，但不越过圆弧，设刚好到达圆弧时，轨道长，刚好到达B点时，轨道长为，则，，，代入数据解得，，故物块滑上圆轨道，但不越过圆弧的条件为：；依题意，时，刚好不脱离最高点：故物块要在整个圆弧运动要求；综上述二种情况有，或者
【题型12】与弹簧有关的系统获最大速度问题中的功能分析
【典例】如图所示，固定的竖直杆上A点处套有一质量为m的圆环，圆环与水平放置的轻质弹簧一端相连，弹簧另一端固定在竖直墙壁上的D点，弹簧水平时恰好处于原长状态。现让圆环从图示位置(距地面高度为h)由静止沿杆滑下，圆环经过C处时的速度最大，滑到杆的底端时速度恰好为零。若圆环在B处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A点。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，下列说法中正确的是(　　)
A.竖直杆可能光滑，且圆环下滑到B处时弹簧的弹性势能为mgh
B.下滑到C处，圆环受到的重力与摩擦力大小相等
C.圆环从A下滑到B的过程中克服摩擦力做的功为mv2
D.圆环上滑经过C的速度与下滑经过C的速度大小相等
【答案】C
【解析】圆环回到A点时与开始时圆环的机械能相等，圆环在B处获得一竖直向上的速度v才能回到A点，说明圆环运动过程中弹簧与圆环组成的系统的机械能有损失，而重力与弹簧弹力做功不改变系统的机械能，因此圆环在运动过程要受到摩擦力作用，竖直杆不可能光滑，A错误。圆环下滑到C处时速度最大，此时圆环所受合力为零，弹簧弹力沿竖直方向的分力与摩擦力的合力等于圆环的重力，因此圆环受到的重力大于摩擦力，B错误。圆环从A下滑到B再回到A的过程中系统损失的机械能为ΔE=mv2，由对称性可知，圆环向下运动过程与向上运动过程克服摩擦力做功相等，因此圆环从A下滑到B的过程中克服摩擦力做功为W克=mv2，故C正确。圆环从A下滑到C时有mgh'-Wf-W弹=m，从C上滑到A时，有W弹-mgh'-Wf=0-，可知vC≠v'C，故D错误。
【举一反三1】如图a所示的弹跳精灵的构造为在绘上可爱表情的圆球下方拴接弹力十足的尼龙网裙子(可看成轻弹簧)，玩的时候用力往下压，使尼龙网产生弹性形变(如图b)，然后迅速放手，玩具竖直向上飞起(如图c)。从放手至冲到最高点过程，不计空气及摩擦阻力，下列说法正确的是 (　　)
　　
A.圆球的机械能守恒
B.圆球的动能先增大后减小
C.圆球的动能与尼龙网裙的弹性势能之和一直不变
D.圆球的重力势能与尼龙网裙的弹性势能之和一直减小
【答案】B
【解析】弹跳精灵从放手至冲到最高点过程，尼龙网的弹力对圆球做功，故圆球的机械能不守恒，A错误；从放手至冲到最高点过程，圆球先做加速运动后做减速运动，圆球的动能先增大后减小，B正确；根据能量守恒，圆球的机械能与尼龙网裙的弹性势能之和一直不变，圆球的重力势能一直增大，故圆球的动能与尼龙网裙的弹性势能之和一直减小，圆球的动能先增大后减小，故圆球的重力势能与尼龙网裙的弹性势能之和先减小后增大，C、D错误。
【举一反三2】(2025·广东湛江一中高一期末)如图所示，固定在水平面上足够长的光滑斜面倾角为θ＝30°，轻质弹簧劲度系数为k，下端固定在斜面底端，上端与质量为m的物块A相连，物块A与质量也为m的物块B用跨过光滑定滑轮的细线相连。先用手托住物块B，使细线刚好拉直但无拉力，然后由静止释放物块B，在物块A向上运动的整个过程中，物块B未碰到地面。弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能大小为Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，重力加速度为g，两物块均可视为质点。求：
(1)从释放到达到最大速度过程中细线对物块A做的功；
(2)释放物块B后B能下降的最大距离。
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)开始时物块A静止，有mgsin θ＝kx0得x0＝，当A、B加速度为零时，物块A、B速度最大，即mg－mgsin θ－kx1＝0，此时弹簧伸长量x1＝，由于初态弹簧的压缩量和末态弹簧的伸长量相等，故弹簧弹性势能相等，物块A、B组成的系统机械能守恒，即
mg(x0＋x1)－mg(x0＋x1)sin θ＝(m＋m)vm2可得vm＝g
在物块A达到最大速度的过程中，弹簧对物块做功代数和为零，细线对物块A做功为W，根据动能定理
W－mg(x0＋x1)sin θ＝mvm2
解得W＝
(2)当物块A上升到最大高度时速度为零，弹簧和A、B组成的系统机械能守恒，设达到最大高度时弹簧伸长量为x2，有kx22－kx02＝mg(x0＋x2)－mg(x0＋x2)sin θ，解得x2＝3x0，
所以物块B下降的最大距离L＝x0＋x2＝。
【举一反三3】请阅读下述文字，完成下列小题
如图所示，竖直放置的内壁光滑圆筒底部固定一弹簧，质量为m的小球(直径略小于筒的内径)放在弹簧上，将小球向下按至A位置，无初速度释放，小球被弹簧弹起，当小球经过B位置时，弹簧恢复原长，小球与弹簧脱离，此后小球仅受重力作用，升至最高位置C。B、A间的高度差为，C、B间的高度差为，不计弹簧的质量和空气阻力，重力加速度为g。
1.下列说法正确的是(　　)
A．小球由A位置运动至C位置的过程中弹力做功为
B．小球由A位置运动至C位置的过程中弹力做功为
C．小球由A位置运动至B位置的过程中重力做功为
D．小球由A位置运动至B位置的过程中弹力做功为
2.小球由A位置运动至B位置的过程中，其速度随时间变化的图像正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.下列说法正确的是(　　)
A．由A位置运动至C位置的过程中，小球在B位置动能最大
B．由A位置运动至C位置的过程中，小球所受合力先增大后减小
C．由A位置运动至B位置的过程中，弹簧弹性势能的减少量大于小球动能的增加量
D．由A位置运动至B位置的过程中，弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量
【答案】1.A　　2.C　　3.C
【解析】1.小球由A位置运动至C位置的过程中，弹簧弹力做正功，重力做负功，根据动能定理可得弹力做功为；因B位置为弹簧原长位置，小球过此点后继续上升过程中弹簧将不再做功，可知小球由A位置运动至B位置的过程中弹力做功也为，在此期间重力做功为。
2.结合牛顿第二定律的基本内容与小球所受各力的变化情况分析可知，从A到B过程中，开始阶段弹力大于重力，则加速度向上，小球向上做加速运动，弹簧逐渐恢复原长，弹簧弹力减小，随弹力的减小，则加速度减小；由上述分析可知，此阶段小球加速度与速度方向同向，当加速度减小为零时速度有最大值；小球度过弹力与重力相等的位置以后，弹力小于重力，加速度向下，随弹力的减小，加速度向下增加，则仅分析小球加速度的大小变化可知，小球的加速度先减小后增加，结合加速度与速度的方向问题可知，速度先增加后减小。
3.由上述题目的分析可知，B点即为弹簧弹力为零的位置，小球速度最大的位置为弹力与重力相等的位置，故此位置在AB之间的某点，则由A位置运动至C位置的过程中，小球在B位置动能不是最大；由上述题目的分析可知，由A位置运动至B位置的过程中，小球所受合力先减小后增大，则由A位置运动至C位置的过程中，小球所受合力先减小后增大，脱离弹簧后，在空中运动仅受重力，故所受合力再不变；由题意可知，小球在上升过程中，不计弹簧的质量和空气阻力，故小球与弹簧组成的系统机械能守恒，故由A位置运动至B位置的过程中，弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量与重力势能增量之和。

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