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2026秋北师版九上数学阶段测试
第五章学业质量评价
满分120 时间120分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（C）
A. B. C. D.
2. 二次函数 的图象的顶点坐标是（D）
A. B. C. D.
3. 抛物线 与 轴的交点个数为（A）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定
4. 已知二次函数 的图象经过点 和 ，这个二次函数的表达式为（C）
A. B. C. D.
5. 已知二次函数 ，当函数值 随 值的增大而增大时， 的取值范围是（B）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 经过 和 两点，则 的值为（B）
A. B. C. D.
7. 抛物线 与直线 交于 ， 两点。若 ，则直线 一定经过（D）
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
8. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 （米）与水平距离 （米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（B）
A. 米 B. 8米 C. 10米 D. 2米
9. 新角度 逆向思维 二次函数 满足以下三个条件：① ；② ；③ ，则它的图象可能是（C）
10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为"三倍点"，如：，， 都是"三倍点"。在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个"三倍点"，则 的取值范围是（D）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 将二次函数 的图象向左平移3个单位长度，则平移后二次函数的解析式为___________.
12. 若二次函数 的图象开口向上，则 的值为___________
。
13. 如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ，，则关于 的方程 的解为___________
。
14. 某校准备在校园里利用围墙（墙长9m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形劳动实践基地（如图所示）。要使围成的两块矩形总种植面积最大，则 应设计为___________
4m。
15. 今年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度 （米）与飞行时间 （秒）的关系式为 ，则该枚烟花能达到的最大高度为___________
34米。
16. 在平面直角坐标系中，垂直于 轴的直线 分别与函数 和 的图象相交于 两点。若平移直线 可以使 都在 轴的下方，则实数 的取值范围是___________
或 。
三、解答题（共72分）
17.（6分）已知抛物线 经过点 。
（1）求 的值；
解：（1）当 时，，。
（2）若点 ， 在该抛物线上，试比较 的大小。
（2）由（1）可知抛物线的表达式为 。当 时，；当 时，。。
18.（8分）已知二次函数 的图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：
（1）求二次函数的表达式；
解：（1）将 ，， 代入 中，得 ，，，解得 ，，。 二次函数的表达式为 。
（2）求二次函数图象的顶点坐标及上表中 的值。
（2），故其顶点坐标为 。当 时，，即 的值为 。
19.（8分）如图所示的是二次函数 的图象。
（1）若点 在该二次函数的图象上，则 的值为___________
17。
（2）请根据图象，求关于 的不等式 的解集。
解：由题可得二次函数的表达式为 。令 ，解得 ，， 此二次函数的图象过点 。结合图象可知，关于 的不等式 的解集为 或 。
20.（8分）已知抛物线 。
（1）求证：不论 为何值，此抛物线与 轴总有两个不同的交点；
（1）证明：令 ，则 。，。 方程 有两个不相等的实数根。 不论 为何值，此抛物线与 轴总有两个不同的交点。
（2）若该抛物线与 轴的两个交点为 和 ，且 ，求 的值。
（2）解：由题意得 是一元二次方程 的两个根，，。，，解得 。
21.（10分）某电商平台以每件20元的价格购进了一批商品进行销售，销售时该商品的售价不低于进价且不超过28元。经市场调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）之间满足如图所示的一次函数关系。
（1）求 与 之间的函数关系式。
解：（1）设 与 之间的函数关系式为 ，由所给函数图象可知 ，，解得 ，。 与 之间的函数关系式为 。
（2）当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）设每天销售这种商品所获的利润为 元，，。， 当 时， 随 的增大而增大。， 当 时， 有最大值，最大值为1120。 销售单价定为28元/件时，销售利润最大，最大利润为1120元。
22.（10分）"动若脱兔"是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样。野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分。
（1）野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8米，最大竖直高度为0.98米，以其起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）。
解：（1）由题意得该抛物线的顶点坐标为 ，即为 ， 设该抛物线的解析式为 。由条件可得 ，解得 。 抛物线的解析式为 。
（2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为0.9米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩。若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？
（2）当 时，，， 野兔不能成功越过木桩。设起跳点向前移动 米，则新抛物线的解析式为 。令 时，，则有 。解得 ，。由二次函数的性质可知，当 时，。 野兔至少需要再向前走0.2m开始起跳才可成功越过木桩。
23.（10分）已知抛物线 （ 为常数）经过点 。
（1）求 的值。
（1）解：由条件可知 ，解得 。
（2）若点 ， 都在该抛物线上，求证：。
（2）证明：由（1）知 ， 点 ， 都在该抛物线上，，。。易知 ，即 。。
（3）当 时，二次函数 的最大值和最小值的差为5，求 的值。
（3）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。当 时，；当 时，。分以下四种情况讨论：当 时，，解得 ，符合题意；当 时，，解得 ，都不满足 ，不合题意；当 时，，解得 ，此时都不满足 ；当 时，，解得 。综上所述， 的值为 或 。
24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 ，点 为线段 上的一动点。
（1）求二次函数的表达式；
解：（1）由题意可设二次函数的表达式为 ，将 代入上式得 ，解得 ， 二次函数的表达式为 。
（2）如图①，求 周长的最小值；
（2）如图①，作点 关于直线 的对称点 ，连接 。，，，。 关于直线 对称， 四边形 为正方形。。连接 ，交 于点 ，由对称性知 ，此时 有最小值，为 的长。。 的周长为 ，， 的最小值为10， 周长的最小值为 。
（3）如图②，过动点 作 交抛物线第一象限部分于点 ，连接 ，记 与 的面积和为 ，当 取得最大值时，求点 的坐标，并求出此时 的最大值。
（3）连接 。，。设 ，。， 当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的坐标为 。
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任到
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刃
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是
A.y=2x-5
B.y=ax2十bx十c
t2
C.h
2
D.y=x2+1
2.二次函数y=一3(x十2)2一5的图象的顶点坐标是（D)
A.（2,5)
B.（2,-5)
C.（-2,5)
D.（-2,一5)
3.抛物线y=x2一5x十8与x轴的交点个数为
（A）
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
4.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（一2,8)和
(一1,5)，这个二次函数的表达式为
(C)
A.y=-x2+6x
B.y=x2+6x
C.y=-x2-6x
D.y=x2一6x/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2026秋北师版九上数学阶段测试
第五章学业质量评价
满分120 时间120分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（C）
A. B. C. D.
2. 二次函数 的图象的顶点坐标是（D）
A. B. C. D.
3. 抛物线 与 轴的交点个数为（A）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无法确定
4. 已知二次函数 的图象经过点 和 ，这个二次函数的表达式为（C）
A. B. C. D.
5. 已知二次函数 ，当函数值 随 值的增大而增大时， 的取值范围是（B）
A. B. C. D.
6. 已知抛物线 经过 和 两点，则 的值为（B）
A. B. C. D.
7. 抛物线 与直线 交于 ， 两点。若 ，则直线 一定经过（D）
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
8. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 （米）与水平距离 （米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（B）
A. 米 B. 8米 C. 10米 D. 2米
9. 新角度 逆向思维 二次函数 满足以下三个条件：① ；② ；③ ，则它的图象可能是（C）
10. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为"三倍点"，如：，， 都是"三倍点"。在 的范围内，若二次函数 的图象上至少存在一个"三倍点"，则 的取值范围是（D）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 将二次函数 的图象向左平移3个单位长度，则平移后二次函数的解析式为___________.
。
12. 若二次函数 的图象开口向上，则 的值为___________
。
13. 如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为 ，，则关于 的方程 的解为___________
。
14. 某校准备在校园里利用围墙（墙长9m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ区、Ⅱ区两块矩形劳动实践基地（如图所示）。要使围成的两块矩形总种植面积最大，则 应设计为___________
4m。
15. 今年长江文化艺术节烟花秀场面十分壮观，烟花的飞行路径可视为抛物线，在一次发射中，记录一枚烟花的飞行高度 （米）与飞行时间 （秒）的关系式为 ，则该枚烟花能达到的最大高度为___________
34米。
16. 在平面直角坐标系中，垂直于 轴的直线 分别与函数 和 的图象相交于 两点。若平移直线 可以使 都在 轴的下方，则实数 的取值范围是___________
或 。
三、解答题（共72分）
17.（6分）已知抛物线 经过点 。
（1）求 的值；
解：（1）当 时，，。
（2）若点 ， 在该抛物线上，试比较 的大小。
（2）由（1）可知抛物线的表达式为 。当 时，；当 时，。。
18.（8分）已知二次函数 的图象上部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如下表所示：
（1）求二次函数的表达式；
解：（1）将 ，， 代入 中，得 ，，，解得 ，，。 二次函数的表达式为 。
（2）求二次函数图象的顶点坐标及上表中 的值。
（2），故其顶点坐标为 。当 时，，即 的值为 。
19.（8分）如图所示的是二次函数 的图象。
（1）若点 在该二次函数的图象上，则 的值为___________
17。
（2）请根据图象，求关于 的不等式 的解集。
解：由题可得二次函数的表达式为 。令 ，解得 ，， 此二次函数的图象过点 。结合图象可知，关于 的不等式 的解集为 或 。
20.（8分）已知抛物线 。
（1）求证：不论 为何值，此抛物线与 轴总有两个不同的交点；
（1）证明：令 ，则 。，。 方程 有两个不相等的实数根。 不论 为何值，此抛物线与 轴总有两个不同的交点。
（2）若该抛物线与 轴的两个交点为 和 ，且 ，求 的值。
（2）解：由题意得 是一元二次方程 的两个根，，。，，解得 。
21.（10分）某电商平台以每件20元的价格购进了一批商品进行销售，销售时该商品的售价不低于进价且不超过28元。经市场调查发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）之间满足如图所示的一次函数关系。
（1）求 与 之间的函数关系式。
解：（1）设 与 之间的函数关系式为 ，由所给函数图象可知 ，，解得 ，。 与 之间的函数关系式为 。
（2）当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）设每天销售这种商品所获的利润为 元，，。， 当 时， 随 的增大而增大。， 当 时， 有最大值，最大值为1120。 销售单价定为28元/件时，销售利润最大，最大利润为1120元。
22.（10分）"动若脱兔"是一个汉语成语，这个成语的含义是：在行动时变得敏捷迅速，就像脱逃的兔子一样。野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分。
（1）野兔一次跳跃的最远水平距离为2.8米，最大竖直高度为0.98米，以其起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）。
解：（1）由题意得该抛物线的顶点坐标为 ，即为 ， 设该抛物线的解析式为 。由条件可得 ，解得 。 抛物线的解析式为 。
（2）若距野兔起跳点2米处有一个高度为0.9米的树桩，通过计算说明野兔是否能成功越过木桩。若不能，野兔至少需要再向前走多远开始起跳才可成功越过木桩？
（2）当 时，，， 野兔不能成功越过木桩。设起跳点向前移动 米，则新抛物线的解析式为 。令 时，，则有 。解得 ，。由二次函数的性质可知，当 时，。 野兔至少需要再向前走0.2m开始起跳才可成功越过木桩。
23.（10分）已知抛物线 （ 为常数）经过点 。
（1）求 的值。
（1）解：由条件可知 ，解得 。
（2）若点 ， 都在该抛物线上，求证：。
（2）证明：由（1）知 ， 点 ， 都在该抛物线上，，。。易知 ，即 。。
（3）当 时，二次函数 的最大值和最小值的差为5，求 的值。
（3）解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。当 时，；当 时，。分以下四种情况讨论：当 时，，解得 ，符合题意；当 时，，解得 ，都不满足 ，不合题意；当 时，，解得 ，此时都不满足 ；当 时，，解得 。综上所述， 的值为 或 。
24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与 轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 ，点 为线段 上的一动点。
（1）求二次函数的表达式；
解：（1）由题意可设二次函数的表达式为 ，将 代入上式得 ，解得 ， 二次函数的表达式为 。
（2）如图①，求 周长的最小值；
（2）如图①，作点 关于直线 的对称点 ，连接 。，，，。 关于直线 对称， 四边形 为正方形。。连接 ，交 于点 ，由对称性知 ，此时 有最小值，为 的长。。 的周长为 ，， 的最小值为10， 周长的最小值为 。
（3）如图②，过动点 作 交抛物线第一象限部分于点 ，连接 ，记 与 的面积和为 ，当 取得最大值时，求点 的坐标，并求出此时 的最大值。
（3）连接 。，。设 ，。， 当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的坐标为 。
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