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莆田一中 2026—2027学年度上学期高三第二次月考数学参考答案
1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．A 9．AB
10．ACD 11．BC
12．
13．
14．答案： ，
15．【详解】（1）因为 ，所以 ， 1分
当 时， 有极值，所以 ，所以 ， 3分
解得 ． 4分
所以 ，所以 ， 4分
令 ，解得 或 ，即 在 ， 上单调递增；
令 ，解得 ，即 在 上单调递减，
所以 在 处取得极小值， 6分
（2）由（1） ，得 ， 7分
在 ， 上单调递增，在 上是单调递减．
当 时，得 在 上是单调递增，在 上是单调递减； 8分
在 上的最小值为 ， 9分
又 ， 10分
， 11分
在 上的最大值为 20， 12分
综上可知， 在 上的最小值为 0，最大值为 20． 13分
16．【解】（1）设 周期为 ，则由题知 ，即 ， 1分
所以 2分
若选①②，则 ， 3分
， ，
即 ， ， 5分
因为 ，所以 ， 6分
所以 ； 7分
若选①③，则 ， 3分
，即 ， 4分
因为 ，所以 ， 5分
所以 ，得 ， 6分
所以 ； 7分
若选②③， ， ，即 ， ， 3分
因为 ，所以 ， 4分
此时 ，
因为 ， ， ， 5分
解得 ， 6分
所以 ． 7分
（2）由（1）知 ，所以 ，即
8分
因为 ，所以 ， 9分
所以 ． 10分
而 ． 11分
所以
． 14分
所以 ，
因此 的值为 ． 15分
17．（1）由题知 的定义域为 1分
当 时， ，则 ，
所以 ，
得 ， 2分
令 ，解得 ，即 在 上单调递增，
令 ，解得 ，即 在 上单调递减． 3分
又由 ，所以 在 上只有一个零点． 4分
又 ， ， 5分
在 上单调递增，
所以存在唯一的零点 ，使得 ，
综上，函数在 有两个零点． 6分
（2） 在区间 上恒成立，即 ，对 ，
即 ，对 ，
令 ，只需 ， 7分
， ， 8分
（1）当 时，有 ，则 ，
在 上单调递减，
符合题意，
（2）当 时，令 ，
其对应方程 的判别式 ， 9分
①若 即 时，有 ，即 ，
在 上单调递减，
符合题意， 10分
②若 即 时， ，对称轴 ，又 ，
11分
方程 的大于 1的根为 ， 12分
， ，即 ，
， ，即 ， 13分
所以函数 在 上单调递增， ，不合题意 14分
综上， 在区间 上恒成立，实数 的取值范围为 15分
法 2． ， ，
， 7分
， 8分
①若 ， 9分
则 ， 在 单调递减， ，
在 单调递减， 符合题意； 11分
②若 ， 12分
，当 时， ，
在 上单调递增，
所以 在 单调递增， ，不合题意 14分
综上， 15分
18．（1）解法一：依题意得 ， 2分
即 ， 3分
所以 ； 4分
（2）证明：任取曲线 上点 ，点 绕原点 逆时针旋转 后得到点 ，则
点 在 上，依题意得 ，即 ，
6分
代入 ，整理得 ， 7分
所以曲线 的方程为 ，
联立 ，整理得 ， 8分
所以 ， ，即 ， ，
所以直线 与 有无数多个公共点； 9分
解法二：将直线 顺时针旋转 ，即逆时针旋转 得到 ，则 与 的交点个数与直线
与 的交点个数相同， 5分
任取 上一点 ，设点 绕原点 逆时针旋转 后对应的点为 ，
则 在直线 上，
依题意得 ， 6分
代入 可得 ，所以直线 的方程为 ， 7分
联立 ，整理得 ， 8分
所以 ， ，所以 ， ，
所以直线 与 有无数多个公共点，即直线 与 有无数多个公共点； 9分
（3）曲线 上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形． 10分
理由如下：
设曲线 绕原点 逆时针旋转角 后得到 ， 上点 绕原点 逆时针旋转角 后得到点
，则 ，
当 ， 时，
由 ，整理得 ， 11分
由 ，整理得 ， 12分
代入 ，得
， 13分
取 可得曲线 的方程为 ， 14分
取 与直线 的两个交点 ， ， 15分
取 与直线 的两个交点 ， ， 16分
由 ， 且 可得四边形 为等腰梯形， 17分
所以曲线 上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形，
即曲线 上存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形．
19．（1）记 ， 1分
函数 在 上的值域为 ， 2分
即 ． 3分
（2）设 在 上的最小值 ．…………4分
．
当 时， ， 严格增；当 时， ， 严格减；
当 时， ， 严格增．当 时 取得极小值． 5分
当 时， ，舍去．…………………7分
当 时， ， ．
综上， ． 9分
（3）（充分性）若 是增函数，则 ， 的最小值为 ，而
，
故对任意 ，都有 ， 10分
即 与 是相同函数．故 是增函数，所以 增函数，
故对任意 ， 的零点个数有限． 11分
（必要性）对任意 ，都有 ，故 ， 的值域为 ，
即 在 上的最小值为 ． 12分
（ⅰ）先证 是增函数．
对任意 ，函数 ， 和 ， 的最小值分别为 和 ，
则由最小值的定义， ．
假设存在 ，使得 ，则对任意 ，均有 ，
从而方程 的解有无限多个，与条件“对任意 ，函数 零点个数均有限”矛
盾．故假设不成立，从而 是增函数． 14分
（ⅱ）再证对任意 ，函数 ， 的最小值为 ．
假设存在 使得 ，取 ，则 ， 的最小值为 ．
由于 为增函数，知 ．而 ，故 ，矛盾．
所以假设不成立，对任意 ，函数 ， 的最小值为 ． 16分
另证：再证对任意 ，函数 ， 的最小值为 ．
．假设 ，则由 在 上的最小值为 ，
存在 使得 ，故 在 上的最小值为 ．
取 ，则 在 上的最小值为 ，
故 ．但由 为严格增函数，知 ，矛盾．
所以假设不成立，所以 ．
即对任意 ，函数 ， 的最小值为 】．
而对任意 ， ， 的值域为 ，故 ．
于是 与 是相同函数，所以 是增函数． 17分莆田一中 2026—2027学年度上学期第二次月考考试试卷
高三数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分．考试时间 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．
A． B． C． D．
2．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
3．下侧图象对应的函数解析式可能是
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，则
A． 是奇函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
6．在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积 （单位： ）与搜索时间 （单位： ）满足关系式
，其中 为目标区域总面积， 为常数．某次演练中，搜索 和 后的未覆盖面积分别为
和 ．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标 的参考范围，则此次演
练的地形属于
地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面
评判指标
参考数据： ， ．
A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面
7．已知 ， ，则
A． B． C． D．
8．已知 是边长为 2的等边三角形，若 ， ，则 的最小值为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．若 ， ，且 ，则
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则
A． 在 上有两个零点
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递增
D． 在 上的最小值为
11．已知函数 ， ，记 ， 的图象分别为曲线 ， ，则
A．不存在 使得曲线 ， 有公共点
B．当 时， ， 分别为曲线 ， 上的动点，则 的最小值为
C．若 且 ， ，则 的最小值为为
D．存在 ，使得曲线 ， 有两条公切线
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知函数 ，则满足 的 取值范围是______________
13．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点 ，且
，则 的一个取值为______________．
14．以 表示数集 中最大的数．设 ，当 ， 时， 的最小值为
______________；当 ， 时， 的最小值为______________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数 ，当 时， 取得极值．
（1）求实数 的值；
（2）求 在区间 上的最值．
16．已知函数 ，且 图象的相邻两条对称轴之间的
距离为 ，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 的图象的一个对称中心为 ；
条件③： 的图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）若 ，且 ，求 的值．
17．已知函数 ．
（1）当 时，设 ，证明：函数 有两个零点；
（2）若 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
18．已知对任意平面向量 ，把 绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 角得到向量
，叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 ．
（1）已知平面内点 ，把点 绕坐标原点 沿逆时针方向旋转 后得到点 ，求点 的坐
标；
（2）若曲线 绕原点 逆时针旋转 得到曲线 ，证明：直线 与 有无
数多个公共点；
（3）曲线 上是否存在四个点，使得以这四个点为顶点的四边形为等腰梯形？证明
你的结论．
19．对于定义在 上的函数 和 ， ，设 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ， ， ，求实数 的取值范围；
（3）已知对任意 ，均有 ，记 ，
证明：“对任意 ，函数 零点个数均有限”的充要条件是“ 是 上的增函数”．

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