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冀教版数学七年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A．x+2y=3 B． C． D．5x+2=12
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、x+2y=3，含有未知数x，y两个未知数，x，y的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义，A正确；
B、x2+3y=5，未知数x的次数是2，属于二元二次方程，不符合定义，B错误；
C、，分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，C错误；
D、5x+2=12，只含有未知数x一个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，D错误．
故答案为：A．
【分析】先根据二元一次方程的定义，明确判定三要素：整式方程，含有2个不同未知数，所有未知数最高次数为1，再根据三要素逐一分析每个选项即可．
2．下列运算结果等于a5的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a3，a2与a3不是同类项，无法合并，结果不等于a5，A错误；
B、(a2)3=a2×3=a6≠a5，B错误；
C、a7-a2，a7与a2不是同类项，无法合并，结果不等于a5 ，C错误 ；
D、(-a)2×a3=a2×a3=a2+3=a5， D正确 ．
故答案为：D .
【分析】先根据合并同类项规则，幂的乘方法则，积的乘方，同底数幂乘法法则，逐项分析或计算即可．
3．将一个三角板如图放置，直线AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数为(　　)
A．140° B．130° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：∠3=90°-∠1=40°，
∵AB//CD
∴∠4=∠3=40°，
∴∠2=180°-∠4=140°
故答案为：A.
【分析】先求出∠3=40°，再由平行线的性质可得：∠4=∠3=40°，最后由邻补角的定义计算即可得出结果.
4．据统计，截至目前中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过4243000000家，4243000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4243000000=4.243×109，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
5．如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠1+∠3=90 °；④若∠3=60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为ACB=90° 所以 ∠1+∠2=90 °
因为 ∠2=∠3（对顶角相等）
所以 ∠1+∠3=90 °
若∠3=60° ，又因为 A=30 °，所以 AB⊥MN，
因为MNPQ， 则AB⊥PQ 。
所以 ②③④ 正确，
故选：C.
【分析】根据平行线的性质，以及直角三角形的性质，过拐点作平行线将角进行转化，建立之间的数量关系。
6．某学校开展“书香校园”活动，需制作读书宣传展板.已知制作3块A型展板和2块B型展板共需280元，制作1块A型展板和4块B型展板共需260元.设A型展板单价为x元，B型展板单价为y元，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵A型展板单价为x元，B型展板单价为y元，
制作3块A型展板和2块B型展板共需280元，
∴3x+2y=280，
制作1块A型展板和4块B型展板共需260元，
∴x+4y=260，
联立得方程组．
故答案为：A．
【分析】先根据“A型展板单价x，B型展板单价y”，再根据条件“3块A型，2块B型合计280元”列出等式3x+2y=280，最后根据条件“1块A型，4块B型合计260元”列出等式x+4y=260，联立得到二元一次方程组．
7．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（　　）
A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关
C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：如图，将图形补充为一个大长方形，阴影部分面积为大长方形减去三个空白三角形的面积，
则
，
即阴影面积的值与b和c有关，与的取值无关．
故答案为：A．
【分析】本题考查几何图形的面积计算与代数化简，核心是通过割补法将阴影部分面积转化为代数表达式。
关键思路：通过拆分图形，将阴影部分表示为几个三角形面积的和差，再通过整式化简，消去变量 a。
易错点：在使用割补法时，容易遗漏或重复计算部分面积，导致化简结果错误。
8．如图，已知直线AB∥CD，点O是CD上一点，射线OE、OF 分别与直线AB 交于点 E、F，若OE⊥OF，∠1=50°，则∠2 的度数为(　　)
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°
∵∠1=50°
∴∠COF=180°-90°-50°=40°
∵AB//CD
∴∠2=∠COF=40°
故答案为：C.
【分析】由垂直的定义得∠EOF=90°，进而求出∠COF=40°，然后根据平行线的性质求解即可.
9．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（　　）
A．800cm2 B．1200cm2 C．1600cm2 D．2400cm2
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据图形信息，可得两个等量关系：
大长方形的高度：x+2y=100
小长方形的长与宽的关系：x=3y
将x=3y代入x+2y=100，得3y+2y=100，解得y=200．
则x=3×20=60．
因此，每个小长方形的面积为：xy=60×20=1200cm2．
故答案为：B．
【分析】先根据图形中大长方形的总高度100厘米，得出等量关系x+2y=100；再根据图形中间部分的拼接方式，得出小长方形的长是宽的3倍，即x=3y；接着将x=3y代入第一个方程，解出y=20，再求出x=60；最后根据长方形面积公式S=xy，计算出面积为1200cm2．
10．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，由得：，当，解得：，故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误，
综上所述：①②正确.
故答案为：A.
【分析】将a=1代入原方程组求解得出x、y的值，再根据二元一次方程解的定义，将x、y的值代入x-y=2a-1算出a的值即可判断①正确；将原方程组的两个方程相加得到5x+y=6+3a，再结合5x+y=3可得关于字母a的方程求出a的值，即可判定②正确；设令x+y=0，并将x+y=0代入原方程组求出a的值，进而再算出此时x、y的值，即可判断③错误；将a作为字母参数解出原方程组的解进而求出该方程组的自然数解，即可判断④错误.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．关于和的二元一次方程组的解是　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①②得，
即
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
故答案为：.
【分析】
先通过加减消元法消去未知数y，求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值.
12．若，则　 　．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式展开可得，然后移项解答即可．
13．如图，直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1=36°，则∠2的度数为 　 　 .
【答案】36°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等和对顶角相等，可得：
故答案为：
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等，可得
14．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】
先根据同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，将待求值的式子变形得到：，再将已知的对应数值代入变形后的式子计算，即可得到结果.
15．如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF=218°，那么∠F=　 　．
【答案】38°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长AC，如图，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADH=180°．
∵∠A+∠ADF=218°，
∴∠HDF=218°-180°=38°．
∵CD∥EF，
∴∠F=∠HDF=38°．
故答案为：38°．
【分析】根据已知，添加辅助线延长AC，利用平行线的性质，可证得∠A+∠ADH=180°，再由∠A+∠ADF=218°，就可求出∠HDF的度数，再利用平行线的性质，可证得∠F=∠HDF，即可求出∠F的度数。
16．在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是用算筹表示的，若图①所示的算筹图表示的方程组为 则图②表示的方程组的解为　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：类比图 1 的算筹表示规则，可推出图 2 对应的方程组为
由①得，代入②得：
，
，
，
。
将代入①，得，解得。
因此方程组的解为。
故答案为：
【分析】本题考查算筹表示的二元一次方程组求解，需先类比规则列出方程组再求解。解题时先根据已知的算筹与方程组的对应关系，归纳出算筹的计数规则，进而写出图 2 对应的二元一次方程组；再选用代入消元法，通过变形代入、去括号、移项合并等步骤，依次求出和的值，得到方程组的解。
三、解答题（共9题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）（x+2y)（x-2y)-（x+4y)2；
（4）
【答案】（1）解： 原式 = -1 + 1 + 4 = 4
故答案为：4
（2）解：
原式 = x6 - 4x6 + x6 = (1 - 4 + 1)x6 = -2x6
故答案为：-2x6
（3）解：原式 = (x2 - 4y2) - (x2 + 8xy + 16y2)
= x2 - 4y2 - x2 - 8xy - 16y2
= -8xy - 20y2
故答案为：-20y2 - 8xy
（4）解：原式 = (x2y2 - 2xy) + 4xy = x2y2 + 2xy
故答案为：x2y2 + 2xy
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】这组题目考查的是实数运算、幂的运算法则、乘法公式与整式混合运算，属于初中代数基础核心内容：
(1)综合考查负数奇次幂、零指数幂、负整数指数幂，关键是牢记定义，尤其注意“非零数的零次幂为1”，以及负指数幂的倒数转化。
(2)考查“同底数幂相乘/除”、“积的乘方”、“幂的乘方”，务必分步化简，避免符号或指数错误，最后合并同类项是关键。
(3)考查“平方差公式”与“完全平方公式”的准确展开，再做减法时注意括号前是负号，必须逐项变号，最后合并同类项不可遗漏。
(4)考查单项式乘多项式、单项式除法（转化为乘倒数），尤其注意除法运算中系数与字母分别处理，最后合并时保留所有项，勿漏常数项或变号。
18．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：将①代入②得2x+3x-4=1，
解得x=1，
再将x=1代入①中，得y=-1
所以方程组的解是.
（2）解：②×2，得10x+4y=12③，
①+③，得17x=34，
解得x=2，
再将x=2代入②中，得y=-2，
，所以方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用带入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简式子，再代入x，y的值计算.
20．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，已知DF∥CA，DE∥AB.
若∠A=60°，求∠FDE.
解：∵DE∥AB（已知），
∴∠FDE= ▲ （ ▲ ），
∵DF∥CA（已知），
∴∠A= ▲ （ ▲ ），
∴∠FDE=∠A（ ▲ ），
∵∠A=60°（已知），
∴∠FDE= ▲ .
【答案】∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等；等量代换；60°．
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： ∵DE∥AB（已知），
∴∠FDE=∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∵DF∥CA（已知），
∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠FDE=∠A（等量代换），
∵∠A=60° （已知） ，
故答案为：∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等；等量代换；60°．
【分析】先根据DE∥AB，利用平行线内错角相等得到∠FDE=∠BFD，再根据DF∥CA，利用平行线同位角相等得到∠A=∠BFD，再根据等量代换推出∠FDE=∠A，最后根据∠A=60°，求出∠FDE=60°．
21．将完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题.试通过完全平方公式变形，解决下列问题.
（1）已知a2+b2=56，（a+b）2=100，求ab的值；
（2）已知（7-x）（x-4）=1，求（7-x）2+（x-4）2的值.
【答案】（1）解：∵a2+b2=56，（a+b）2=100
∴（a+b）2=a2+b2+2ab
∵a2+b2=56，
∴2ab=100-56=44
∴ab=22
（2）解：设 m = 7 - x ， n = x - 4 ，则：
m + n = (7 - x) + (x - 4) = 3
已知 mn = 1 ，根据完全平方公式变形：
m2+ n2 = (m + n)2- 2mn
代入 m + n = 3、mn = 1：
m2 + n2 = 32 - 2 ×1 = 9 - 2 = 7
即：(7 - x)2 + (x - 4)2 = 7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式，整体代入已知条件可得，
（2）设 m = 7 - x ， n = x - 4，将完全平方公式变形，可得m2 + n2 = 32 - 2 ×1 = 9 - 2 = 7，最终得出答案。
22．如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF.若∠DAC=62°，求∠F的度数.
【答案】解：由题知，
∵三角形DEF由三角形ABC沿射线BC方向平移得到，
∴AC//DF，AD//CF
∴∠DAC+∠ADF=180° ，∠ADF+∠F=180°
∴∠F=∠DAC
又∵∠DAC=62°，
∴∠F=62°
【知识点】平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据平移的性质进行计算即可.
23．长沙市某学校组织七年级学生开展“红色研学”活动，前往韶山毛泽东同志纪念馆参观.旅行社推出两种研学大巴车：45座中型客车和60座大型客车.
（1）已知租用2辆中型客车和3辆大型客车共需费用6900元，租用3辆中型客车和1辆大型客车共需费用5100元.每辆中型客车和大型客车的租用费用分别是多少元
（2）本次研学共有师生945人，旅行社推出优惠方案：租车总数量超过15辆时，所有车辆的租用费用均打九折.学校计划租用中型客车和大型客车共19辆，且刚好坐满所有车辆，请问按照优惠方案，学校本次租车共需要支付多少元
【答案】（1）解：设每辆中型客车和大型客车的租用费用分别为x，y元，
根据题意，得
解得
答：每辆中型客车的租用费用为1200元，每辆大型客车的租用费用为1500元.
（2）解：设租用中型客车a辆，租用大型客车（19-a）辆，
根据题意，得45a+60×（19-a）=945，
解得a=13.
租用中型客车13辆，租用大型客车6辆，共需花费为0.9×（1200×13+1500×6）=22140元
故学校本次租车需支付22140元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】(1)先根据2辆中型+3辆大型花费6900，3辆中型+1辆大型花费5100，设未知数列出二元一次方程组，解得，即可得到两种车型单价；
(2)先根据车辆总数19辆设中型车a辆，大型车(19-a)辆，再根据座位总数945列一元一次方程45a+60×（19-a）=945，解方程得a=13，算出两种车辆数量，最后结合(1)的单价算出原价，乘0.9得到优惠后总费用．
24．综合与实践
【问题背景】
如图，这是某省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术.如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点 P.
（1）【探索发现】
如图1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD， ∠ABP 和∠CDP 之间存在的数量关系
是 　 　；
（2） 如图2，AB∥CD， 点M，N分别在AB， CD上， 点P是AB， CD之间， 且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN， ∠AMP 与∠CNP 之间的数量关系，并写出解答过程；
（3）【拓展延伸】
如图3， 在（2） 的条件下， 在AB， CD之间，MN 左侧再取一点Q， 连接QM，QN. 若使 求∠P 与∠Q之间的数量关系.
【答案】（1）∠ABP+∠CDP=∠BPD；
（2）解：∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°
解： 如图2所示，过点 P 作 PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠HPN+∠CNP=180°， ∠AMP+∠HPM=180°
∴∠HPN+∠CNP+∠AMP+∠HPM=360°
∴∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°
（3）解：如图3， 由(1) 知，
∠Q=∠AMQ+∠CNQ.
由 (2) 知，
∠P+∠AMP+∠CNP=360°
即
所以∠P与∠Q之间的数量关系是
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解（1）如图，过点P作MP∥AB，
因为AB∥CD，
所以MP∥CD，
所以∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM
所以∠ABP+∠CDP=∠BPM+∠DPM
即∠ABP+∠CDP=∠BPD；
故答案为：∠ABP+∠CDP=∠BPD；
【分析】（1）如图，过点P作MP∥AB，进而得出MP∥CD，根据平行线的性质可得出∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM，进而即可得出∠ABP+∠CDP=∠BPD；
（2）∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°。 如图2所示，过点 P 作 PH∥AB，进而得出PH∥CD，根据平行线的性质可得出∠HPN+∠CNP=180°， ∠AMP+∠HPM=180°，进而即可得出∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°；
（3）由(1) 知，∠Q=∠AMQ+∠CNQ. 由 (2) 知，∠P+∠AMP+∠CNP=360°，进而得出根据，即
25．不妨约定：关于x，y的二元一次方程αx+ by=c(a，b，c为常数，且abc≠0)，若系数满足a+b=2c，则称这个方程为“开心”方程.例如：方程4x+2y=3，其中a=4，b=2，c=3，满足a+b=2c，且abc≠0，则方程4x+2y=3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组.根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断以下方程是不是“开心”方程(填“是”或“不是”)；
①4x+y=10　 　； ②　 　； ③x-y=0　 　；
（2）若关于x，y的“开心”方程组 的解为 求P-q的值.
（3）关于x，y的“开心”方程组 满足n【答案】（1）不是；是；是
（2）解：∵关于x，y的“开心”方程组ax+y=bx+by=a+2中的两个方程都是“开心”方程，
对于方程ax+y=b，有a+1=2b；
对于方程x+by=a+2，有1+b=2(a+2).
所以a+1=2b①1+b=2a+4②
由②得b=2a+3.代入①，得a+1=2(2a+3)，a+1=4a+6，3a=－5，
∴a=－.
把a=－代入b=2a+3，得b=2×(－)+3=－+=－.
原方程组为－x+y=－与x－y=化简得－5x+3y=－1③3x－y=1④
由④得y=3x－1.代入③，得－5x+3(3x－1)=－1，－5x+9x－3=－1，4x=2，x=.
把x=代入④，得3×－y=1，－y=1，y=.
所以p=，q=，
∴p－q=0.
故答案为：0.
（3）解：∵关于x，y的“开心”方程组mx+ny=－，(t－n)x+(m－t－2k)y=1中的两个方程都是“开心”方程，
对于方程mx+ny=－，有m+n=2×(－)=－k，
∴m+n=－k①；
对于方程(t－n)x+(m－t－2k)y=1，有(t－n)+(m－t－2k)=2，
即m－n－2k=2②.
由①得n=－k－m.代入②，得m－(－k－m)－2k=2，2m－k=2，
∴k=2m－2.再代入①，得n=－(2m－2)－m=2－3m.
又∵n∴2m－2≤m，
∴m≤2.
又∵第一个方程是“开心”方程，
所以c=－≠0，即k≠0.
若m=1，则k=2×1－2=0，不符合题意；
所以m≠1.
∴m=2.把m=2代入，得k=2，n=－4.
所以原方程组为2x－4y=－1与(t+4)x－(t+2)y=1
由第一式得x－2y=－，
∴x=2y－.代入第二式，得(t+4)(2y－)－(t+2)y=1，(2t+8)y－(t+4)－(t+2)y=1，(t+6)y－(t+4)=1，(t+6)y=(t+6).
∵t+6≠0，
∴y=.
把y=代入x=2y－，得x=2×－=.
∴故答案为：m=2，方程组的解为x=，y=.
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：（1）①在方程4x+y=10中，a=4，b=1，c=10，
则a+b=4+1=5，2c=20，
∵5≠20，
∴4x+y=10不是“开心”方程；
故答案为：不是.
②在方程 中，a=，b=－，c=，
则a+b=－=，2c=，且abc≠0，
∴x－y=是“开心”方程；
故答案为：是.
③在方程x－y=0中，a=1，b=－1，c=0，
则a+b=1－1=0，2c=0，虽然a+b=2c，但c=0，
所以abc=0，
∴x－y=0不是“开心”方程.
故答案为：不是.
【分析】（1）先根据“开心”方程的定义判断.既要满足a+b=2c，又要满足abc≠0.逐个把各方程中的a，b，c找出来，再分别检验这两个条件即可.
（2）因为这个方程组是“开心”方程组，所以两个方程都满足“系数和等于常数项的2倍”.先由这个条件列出关于a，b的方程组，求出a，b，再把它们代回原方程组，解出x，y，最后求p－q.
（3）同样先利用“开心”方程的定义，分别对两个方程列出数量关系，得到关于m，n，k的方程.再结合n1 / 1冀教版数学七年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列是二元一次方程的是（　　）
A．x+2y=3 B． C． D．5x+2=12
2．下列运算结果等于a5的是(　　)
A． B． C． D．
3．将一个三角板如图放置，直线AB∥CD，若∠1=50°，则∠2的度数为(　　)
A．140° B．130° C．50° D．40°
4．据统计，截至目前中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过4243000000家，4243000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边MN，PQ之间，则下列结论中：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③∠1+∠3=90 °；④若∠3=60°，则AB⊥PQ，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．某学校开展“书香校园”活动，需制作读书宣传展板.已知制作3块A型展板和2块B型展板共需280元，制作1块A型展板和4块B型展板共需260元.设A型展板单价为x元，B型展板单价为y元，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（　　）
A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关
C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关
8．如图，已知直线AB∥CD，点O是CD上一点，射线OE、OF 分别与直线AB 交于点 E、F，若OE⊥OF，∠1=50°，则∠2 的度数为(　　)
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（　　）
A．800cm2 B．1200cm2 C．1600cm2 D．2400cm2
10．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
二、填空题（每题3分，共18分）
11．关于和的二元一次方程组的解是　 　．
12．若，则　 　．
13．如图，直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1=36°，则∠2的度数为 　 　 .
14．若，，则　 　．
15．如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF=218°，那么∠F=　 　．
16．在《九章算术》的“方程”一章中，二元一次方程组是用算筹表示的，若图①所示的算筹图表示的方程组为 则图②表示的方程组的解为　 　.
三、解答题（共9题，共72分）
17．计算：
（1）
（2）
（3）（x+2y)（x-2y)-（x+4y)2；
（4）
18．解下列方程组：
（1）
（2）
19．先化简，再求值：，其中，．
20．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，已知DF∥CA，DE∥AB.
若∠A=60°，求∠FDE.
解：∵DE∥AB（已知），
∴∠FDE= ▲ （ ▲ ），
∵DF∥CA（已知），
∴∠A= ▲ （ ▲ ），
∴∠FDE=∠A（ ▲ ），
∵∠A=60°（已知），
∴∠FDE= ▲ .
21．将完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2通过适当的变形，可以解决很多数学问题.试通过完全平方公式变形，解决下列问题.
（1）已知a2+b2=56，（a+b）2=100，求ab的值；
（2）已知（7-x）（x-4）=1，求（7-x）2+（x-4）2的值.
22．如图，将三角形ABC沿射线BC方向平移得到三角形DEF.若∠DAC=62°，求∠F的度数.
23．长沙市某学校组织七年级学生开展“红色研学”活动，前往韶山毛泽东同志纪念馆参观.旅行社推出两种研学大巴车：45座中型客车和60座大型客车.
（1）已知租用2辆中型客车和3辆大型客车共需费用6900元，租用3辆中型客车和1辆大型客车共需费用5100元.每辆中型客车和大型客车的租用费用分别是多少元
（2）本次研学共有师生945人，旅行社推出优惠方案：租车总数量超过15辆时，所有车辆的租用费用均打九折.学校计划租用中型客车和大型客车共19辆，且刚好坐满所有车辆，请问按照优惠方案，学校本次租车共需要支付多少元
24．综合与实践
【问题背景】
如图，这是某省北部部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术.如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线AB和CD经过凹面镜的反射后，反射光线BE，DF交于一点 P.
（1）【探索发现】
如图1，太阳光线AB，CD平行，利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究，则∠BPD， ∠ABP 和∠CDP 之间存在的数量关系
是 　 　；
（2） 如图2，AB∥CD， 点M，N分别在AB， CD上， 点P是AB， CD之间， 且位于MN右侧的任意一点，连接PM，PN，试探究∠MPN， ∠AMP 与∠CNP 之间的数量关系，并写出解答过程；
（3）【拓展延伸】
如图3， 在（2） 的条件下， 在AB， CD之间，MN 左侧再取一点Q， 连接QM，QN. 若使 求∠P 与∠Q之间的数量关系.
25．不妨约定：关于x，y的二元一次方程αx+ by=c(a，b，c为常数，且abc≠0)，若系数满足a+b=2c，则称这个方程为“开心”方程.例如：方程4x+2y=3，其中a=4，b=2，c=3，满足a+b=2c，且abc≠0，则方程4x+2y=3是“开心”方程，由两个“开心”方程组成的方程组称作“开心”方程组.根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断以下方程是不是“开心”方程(填“是”或“不是”)；
①4x+y=10　 　； ②　 　； ③x-y=0　 　；
（2）若关于x，y的“开心”方程组 的解为 求P-q的值.
（3）关于x，y的“开心”方程组 满足n答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、x+2y=3，含有未知数x，y两个未知数，x，y的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义，A正确；
B、x2+3y=5，未知数x的次数是2，属于二元二次方程，不符合定义，B错误；
C、，分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，C错误；
D、5x+2=12，只含有未知数x一个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，D错误．
故答案为：A．
【分析】先根据二元一次方程的定义，明确判定三要素：整式方程，含有2个不同未知数，所有未知数最高次数为1，再根据三要素逐一分析每个选项即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+a3，a2与a3不是同类项，无法合并，结果不等于a5，A错误；
B、(a2)3=a2×3=a6≠a5，B错误；
C、a7-a2，a7与a2不是同类项，无法合并，结果不等于a5 ，C错误 ；
D、(-a)2×a3=a2×a3=a2+3=a5， D正确 ．
故答案为：D .
【分析】先根据合并同类项规则，幂的乘方法则，积的乘方，同底数幂乘法法则，逐项分析或计算即可．
3．【答案】A
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：∠3=90°-∠1=40°，
∵AB//CD
∴∠4=∠3=40°，
∴∠2=180°-∠4=140°
故答案为：A.
【分析】先求出∠3=40°，再由平行线的性质可得：∠4=∠3=40°，最后由邻补角的定义计算即可得出结果.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4243000000=4.243×109，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：因为ACB=90° 所以 ∠1+∠2=90 °
因为 ∠2=∠3（对顶角相等）
所以 ∠1+∠3=90 °
若∠3=60° ，又因为 A=30 °，所以 AB⊥MN，
因为MNPQ， 则AB⊥PQ 。
所以 ②③④ 正确，
故选：C.
【分析】根据平行线的性质，以及直角三角形的性质，过拐点作平行线将角进行转化，建立之间的数量关系。
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵A型展板单价为x元，B型展板单价为y元，
制作3块A型展板和2块B型展板共需280元，
∴3x+2y=280，
制作1块A型展板和4块B型展板共需260元，
∴x+4y=260，
联立得方程组．
故答案为：A．
【分析】先根据“A型展板单价x，B型展板单价y”，再根据条件“3块A型，2块B型合计280元”列出等式3x+2y=280，最后根据条件“1块A型，4块B型合计260元”列出等式x+4y=260，联立得到二元一次方程组．
7．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：如图，将图形补充为一个大长方形，阴影部分面积为大长方形减去三个空白三角形的面积，
则
，
即阴影面积的值与b和c有关，与的取值无关．
故答案为：A．
【分析】本题考查几何图形的面积计算与代数化简，核心是通过割补法将阴影部分面积转化为代数表达式。
关键思路：通过拆分图形，将阴影部分表示为几个三角形面积的和差，再通过整式化简，消去变量 a。
易错点：在使用割补法时，容易遗漏或重复计算部分面积，导致化简结果错误。
8．【答案】C
【知识点】垂线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°
∵∠1=50°
∴∠COF=180°-90°-50°=40°
∵AB//CD
∴∠2=∠COF=40°
故答案为：C.
【分析】由垂直的定义得∠EOF=90°，进而求出∠COF=40°，然后根据平行线的性质求解即可.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据图形信息，可得两个等量关系：
大长方形的高度：x+2y=100
小长方形的长与宽的关系：x=3y
将x=3y代入x+2y=100，得3y+2y=100，解得y=200．
则x=3×20=60．
因此，每个小长方形的面积为：xy=60×20=1200cm2．
故答案为：B．
【分析】先根据图形中大长方形的总高度100厘米，得出等量关系x+2y=100；再根据图形中间部分的拼接方式，得出小长方形的长是宽的3倍，即x=3y；接着将x=3y代入第一个方程，解出y=20，再求出x=60；最后根据长方形面积公式S=xy，计算出面积为1200cm2．
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，由得：，当，解得：，故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误，
综上所述：①②正确.
故答案为：A.
【分析】将a=1代入原方程组求解得出x、y的值，再根据二元一次方程解的定义，将x、y的值代入x-y=2a-1算出a的值即可判断①正确；将原方程组的两个方程相加得到5x+y=6+3a，再结合5x+y=3可得关于字母a的方程求出a的值，即可判定②正确；设令x+y=0，并将x+y=0代入原方程组求出a的值，进而再算出此时x、y的值，即可判断③错误；将a作为字母参数解出原方程组的解进而求出该方程组的自然数解，即可判断④错误.
11．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①②得，
即
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为：
故答案为：.
【分析】
先通过加减消元法消去未知数y，求出x的值，再将x的值代入原方程求出y的值.
12．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式展开可得，然后移项解答即可．
13．【答案】36°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等和对顶角相等，可得：
故答案为：
【分析】根据平行线的性质和对顶角相等，可得
14．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】
先根据同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，将待求值的式子变形得到：，再将已知的对应数值代入变形后的式子计算，即可得到结果.
15．【答案】38°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长AC，如图，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADH=180°．
∵∠A+∠ADF=218°，
∴∠HDF=218°-180°=38°．
∵CD∥EF，
∴∠F=∠HDF=38°．
故答案为：38°．
【分析】根据已知，添加辅助线延长AC，利用平行线的性质，可证得∠A+∠ADH=180°，再由∠A+∠ADF=218°，就可求出∠HDF的度数，再利用平行线的性质，可证得∠F=∠HDF，即可求出∠F的度数。
16．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：类比图 1 的算筹表示规则，可推出图 2 对应的方程组为
由①得，代入②得：
，
，
，
。
将代入①，得，解得。
因此方程组的解为。
故答案为：
【分析】本题考查算筹表示的二元一次方程组求解，需先类比规则列出方程组再求解。解题时先根据已知的算筹与方程组的对应关系，归纳出算筹的计数规则，进而写出图 2 对应的二元一次方程组；再选用代入消元法，通过变形代入、去括号、移项合并等步骤，依次求出和的值，得到方程组的解。
17．【答案】（1）解： 原式 = -1 + 1 + 4 = 4
故答案为：4
（2）解：
原式 = x6 - 4x6 + x6 = (1 - 4 + 1)x6 = -2x6
故答案为：-2x6
（3）解：原式 = (x2 - 4y2) - (x2 + 8xy + 16y2)
= x2 - 4y2 - x2 - 8xy - 16y2
= -8xy - 20y2
故答案为：-20y2 - 8xy
（4）解：原式 = (x2y2 - 2xy) + 4xy = x2y2 + 2xy
故答案为：x2y2 + 2xy
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】这组题目考查的是实数运算、幂的运算法则、乘法公式与整式混合运算，属于初中代数基础核心内容：
(1)综合考查负数奇次幂、零指数幂、负整数指数幂，关键是牢记定义，尤其注意“非零数的零次幂为1”，以及负指数幂的倒数转化。
(2)考查“同底数幂相乘/除”、“积的乘方”、“幂的乘方”，务必分步化简，避免符号或指数错误，最后合并同类项是关键。
(3)考查“平方差公式”与“完全平方公式”的准确展开，再做减法时注意括号前是负号，必须逐项变号，最后合并同类项不可遗漏。
(4)考查单项式乘多项式、单项式除法（转化为乘倒数），尤其注意除法运算中系数与字母分别处理，最后合并时保留所有项，勿漏常数项或变号。
18．【答案】（1）解：将①代入②得2x+3x-4=1，
解得x=1，
再将x=1代入①中，得y=-1
所以方程组的解是.
（2）解：②×2，得10x+4y=12③，
①+③，得17x=34，
解得x=2，
再将x=2代入②中，得y=-2，
，所以方程组的解是.
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用带入消元法解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先利用平方差公式和单项式乘多项式法则化简式子，再代入x，y的值计算.
20．【答案】∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等；等量代换；60°．
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解： ∵DE∥AB（已知），
∴∠FDE=∠BFD（两直线平行，内错角相等），
∵DF∥CA（已知），
∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∴∠FDE=∠A（等量代换），
∵∠A=60° （已知） ，
故答案为：∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等；等量代换；60°．
【分析】先根据DE∥AB，利用平行线内错角相等得到∠FDE=∠BFD，再根据DF∥CA，利用平行线同位角相等得到∠A=∠BFD，再根据等量代换推出∠FDE=∠A，最后根据∠A=60°，求出∠FDE=60°．
21．【答案】（1）解：∵a2+b2=56，（a+b）2=100
∴（a+b）2=a2+b2+2ab
∵a2+b2=56，
∴2ab=100-56=44
∴ab=22
（2）解：设 m = 7 - x ， n = x - 4 ，则：
m + n = (7 - x) + (x - 4) = 3
已知 mn = 1 ，根据完全平方公式变形：
m2+ n2 = (m + n)2- 2mn
代入 m + n = 3、mn = 1：
m2 + n2 = 32 - 2 ×1 = 9 - 2 = 7
即：(7 - x)2 + (x - 4)2 = 7
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式，整体代入已知条件可得，
（2）设 m = 7 - x ， n = x - 4，将完全平方公式变形，可得m2 + n2 = 32 - 2 ×1 = 9 - 2 = 7，最终得出答案。
22．【答案】解：由题知，
∵三角形DEF由三角形ABC沿射线BC方向平移得到，
∴AC//DF，AD//CF
∴∠DAC+∠ADF=180° ，∠ADF+∠F=180°
∴∠F=∠DAC
又∵∠DAC=62°，
∴∠F=62°
【知识点】平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】根据平移的性质进行计算即可.
23．【答案】（1）解：设每辆中型客车和大型客车的租用费用分别为x，y元，
根据题意，得
解得
答：每辆中型客车的租用费用为1200元，每辆大型客车的租用费用为1500元.
（2）解：设租用中型客车a辆，租用大型客车（19-a）辆，
根据题意，得45a+60×（19-a）=945，
解得a=13.
租用中型客车13辆，租用大型客车6辆，共需花费为0.9×（1200×13+1500×6）=22140元
故学校本次租车需支付22140元.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】(1)先根据2辆中型+3辆大型花费6900，3辆中型+1辆大型花费5100，设未知数列出二元一次方程组，解得，即可得到两种车型单价；
(2)先根据车辆总数19辆设中型车a辆，大型车(19-a)辆，再根据座位总数945列一元一次方程45a+60×（19-a）=945，解方程得a=13，算出两种车辆数量，最后结合(1)的单价算出原价，乘0.9得到优惠后总费用．
24．【答案】（1）∠ABP+∠CDP=∠BPD；
（2）解：∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°
解： 如图2所示，过点 P 作 PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠HPN+∠CNP=180°， ∠AMP+∠HPM=180°
∴∠HPN+∠CNP+∠AMP+∠HPM=360°
∴∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°
（3）解：如图3， 由(1) 知，
∠Q=∠AMQ+∠CNQ.
由 (2) 知，
∠P+∠AMP+∠CNP=360°
即
所以∠P与∠Q之间的数量关系是
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解（1）如图，过点P作MP∥AB，
因为AB∥CD，
所以MP∥CD，
所以∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM
所以∠ABP+∠CDP=∠BPM+∠DPM
即∠ABP+∠CDP=∠BPD；
故答案为：∠ABP+∠CDP=∠BPD；
【分析】（1）如图，过点P作MP∥AB，进而得出MP∥CD，根据平行线的性质可得出∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM，进而即可得出∠ABP+∠CDP=∠BPD；
（2）∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°。 如图2所示，过点 P 作 PH∥AB，进而得出PH∥CD，根据平行线的性质可得出∠HPN+∠CNP=180°， ∠AMP+∠HPM=180°，进而即可得出∠MPN+∠AMP+∠CNP=360°；
（3）由(1) 知，∠Q=∠AMQ+∠CNQ. 由 (2) 知，∠P+∠AMP+∠CNP=360°，进而得出根据，即
25．【答案】（1）不是；是；是
（2）解：∵关于x，y的“开心”方程组ax+y=bx+by=a+2中的两个方程都是“开心”方程，
对于方程ax+y=b，有a+1=2b；
对于方程x+by=a+2，有1+b=2(a+2).
所以a+1=2b①1+b=2a+4②
由②得b=2a+3.代入①，得a+1=2(2a+3)，a+1=4a+6，3a=－5，
∴a=－.
把a=－代入b=2a+3，得b=2×(－)+3=－+=－.
原方程组为－x+y=－与x－y=化简得－5x+3y=－1③3x－y=1④
由④得y=3x－1.代入③，得－5x+3(3x－1)=－1，－5x+9x－3=－1，4x=2，x=.
把x=代入④，得3×－y=1，－y=1，y=.
所以p=，q=，
∴p－q=0.
故答案为：0.
（3）解：∵关于x，y的“开心”方程组mx+ny=－，(t－n)x+(m－t－2k)y=1中的两个方程都是“开心”方程，
对于方程mx+ny=－，有m+n=2×(－)=－k，
∴m+n=－k①；
对于方程(t－n)x+(m－t－2k)y=1，有(t－n)+(m－t－2k)=2，
即m－n－2k=2②.
由①得n=－k－m.代入②，得m－(－k－m)－2k=2，2m－k=2，
∴k=2m－2.再代入①，得n=－(2m－2)－m=2－3m.
又∵n∴2m－2≤m，
∴m≤2.
又∵第一个方程是“开心”方程，
所以c=－≠0，即k≠0.
若m=1，则k=2×1－2=0，不符合题意；
所以m≠1.
∴m=2.把m=2代入，得k=2，n=－4.
所以原方程组为2x－4y=－1与(t+4)x－(t+2)y=1
由第一式得x－2y=－，
∴x=2y－.代入第二式，得(t+4)(2y－)－(t+2)y=1，(2t+8)y－(t+4)－(t+2)y=1，(t+6)y－(t+4)=1，(t+6)y=(t+6).
∵t+6≠0，
∴y=.
把y=代入x=2y－，得x=2×－=.
∴故答案为：m=2，方程组的解为x=，y=.
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【解答】解：（1）①在方程4x+y=10中，a=4，b=1，c=10，
则a+b=4+1=5，2c=20，
∵5≠20，
∴4x+y=10不是“开心”方程；
故答案为：不是.
②在方程 中，a=，b=－，c=，
则a+b=－=，2c=，且abc≠0，
∴x－y=是“开心”方程；
故答案为：是.
③在方程x－y=0中，a=1，b=－1，c=0，
则a+b=1－1=0，2c=0，虽然a+b=2c，但c=0，
所以abc=0，
∴x－y=0不是“开心”方程.
故答案为：不是.
【分析】（1）先根据“开心”方程的定义判断.既要满足a+b=2c，又要满足abc≠0.逐个把各方程中的a，b，c找出来，再分别检验这两个条件即可.
（2）因为这个方程组是“开心”方程组，所以两个方程都满足“系数和等于常数项的2倍”.先由这个条件列出关于a，b的方程组，求出a，b，再把它们代回原方程组，解出x，y，最后求p－q.
（3）同样先利用“开心”方程的定义，分别对两个方程列出数量关系，得到关于m，n，k的方程.再结合n1 / 1

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