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冀教版数学七年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列计算结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(-a)6÷(-a)2=(-a)6-2=(-a)4=a4，此选项符合题意；
B、a9÷a3=a9-3=a6≠a，此选项不符合题意；
C、(a2b)2=(a2)2·b2=a4b2≠a2b2，此选项不符合题意；
D、(3ab2)2=32·a2·(b2)2=9a2b4≠6a2b4， 此选项不符合题意；
故选：A.
【分析】根据同底数幂除法法则，积的乘方、幂的乘方法则即可求解.
2．甲型H1N1流感病毒的直径约为0.000000081米，该直径用科学记数法表示为(　　)米.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000081=8.1×10-8．
故答案为：B .
【分析】先根据小于1的小数的科学记数法规则，确定形式为a×10-n，其中1≤a<10；再将原小数0.000000081的小数点向右移动8位得到a=8.1，移动位数8对应指数n=8，写出标准形式8.1×10-8．
3．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|2x-y-5|+|x+y-1|=0，
又|2x-y-5|≥0，|x+y-1|≥0，
∴，解得．
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值的非负性，得到二元一次方程组，并解得，再代入，根据有理数的乘方法则，计算得到值为1．
4．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺.问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺.问绳长、井深各是多少尺？设绳长x尺，井深y尺，则以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：将绳子折成三等份时，每份绳长为尺，此时比井深多4尺，可得方程；
将绳子折成四等份时，每份绳长为尺，此时比井深多1尺，可得方程．
因此， 列出的方程组为 ．
故答案为：A．
【分析】先根据题意分析“折成三等份”的情况，找出等量关系，分别列出方程和即可．
5．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4
C．∠2=∠4 D．∠1+∠3=180°
【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，A错误；
B、∵∠1=∠4，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，B错误；
C、∵∠2=∠4，∴AB∥CD，可以判定AB∥CD，C正确；
D、∵∠1+∠3=180°，无法判定任何两条直线平行，D错误．
故答案为：C .
【分析】根据平行线的判定定理，明确“内错角相等，同位角相等，同旁内角互补”可判定两直线平行；再依次分析每个选项即可．
6．如图 1，已知 AB 是一块平面镜，光线 PO在平面镜 AB上经点 O反射后，形成反射光线 OQ，我们称 PO为入射光线，OQ为反射光线.镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1=∠2.如图 2，OM和 ON是两块平面镜，入射光线 AB经过两次反射后，得到反射光线 CD.则下列判断错误的是(　　)
A．若α=45°，则AB⊥BC B．若BC⊥CD，则β=45°
C．若α=β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β=90°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，
∵，， ，
∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】结合反射的性质，以及平行线的判定与性质，对每个选项逐一分析判断.
7．若的乘积中不含x2项，则常数a的值为（　　）
A．5 B． C． D．-5
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】先把a当作常数，再进行多项式对多项式的乘法，再合并同类项，最后再根据题意展开式中不含二次项可知二次项系数为0，即可得关于a的一元一次方程并求解即可.
8．若方程组的解为则方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】已知方程组的解为，
∴，.
对于方程组，
将第一个方程两边同时除以5，得：，
即.
同理，第二个方程变形为：.
∴，
解得：.
故答案为：C.
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题.解题关键是观察两个方程组之间的关系，通过变形将第二个方程组转化为与第一个方程组相同的形式，然后利用已知解建立方程求解.这体现了整体思想和转化的数学思想方法.
9．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD 中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2.若知道下列条件，不能求出 值的是 （　　)
A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差
C．图1与图2 阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为x、y，
则 a＋x＝b＋y，
即：a b＝y x，
∴S1＝x2＋y2，S2＝2xy，
∴S1 S2＝x2＋y2 2xy＝（x y）2＝（a b）2＝（a＋b）2 4ab，
∵矩形的面积是ab，矩形的周长是 2（a＋b）；
故选项A、B是正确的；
∵①的面积是 （b x）（a y），
②的面积是 （a x）（b y），
∴①和②的面积差为（b x）（a y） （a x）（b y）＝（a b）（y x）＝（a b）2，
故选项C正确，
故答案为：D．
【分析】根据题意，结合图形，得到a b＝y x，结合各选项，分别表示出S1，S2，以及它们的差，即可判断各选项．
10．将一副三角尺按如图所示放置，其中∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，有下列结论：①若∠2=30°，则 AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则∠4=∠C.其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
，故①正确，符合题意；
如图，延长DA至M．
，
，
又，
，
又，
，
即，故②正确，符合题意；
，，
．
，
，故③错误，不符合题意；
，，
．
，
，
．
，
．
，
，故④正确，符合题意，
综上正确的有①②④.
故答案为：A．
【分析】本题考查平行线的判定与性质．对于①，根据“内错角相等，两直线平行”可推出AC∥DE，进而判断①；对于②，标注图形，先利用角的运算推出，再根据角之间的关系可推出结论；对于③，根据“两直线平行，内错角相等”先求出，再根据角的运算可求出答案；对于④，先利用角的运算求出的度数，进而可说明两个角的关系．
二、填空题（每题3分，共18分
11． 若m＝3-n， 则代数式 的值为　 　.
【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：若，则，
那么，
故答案为：9.
【分析】由已知条件得，将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可.
12．某班准备去采购面包和奶茶若干.现有两种不同的购买方案，如下表.采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表格中的数据，污渍盖住的地方对应的金额是　 　元
面包（个） 奶茶（杯） 金额（元）
方案一 20 10 110
方案二 50 25
【答案】275
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：设面包的单价为x元，奶茶的单价为y元，
由题意得，，
∴，
∴，
∴污渍盖住的地方对应的金额是275元．
故答案为：275.
【分析】设面包的单价为x元，奶茶的单价为y元，根据方案一得到，然后根据方案二得到，再整体代入解答即可．
13．如图，直线AB∥CD，将一副直角三角板作如图摆放，点G、P、F、N在一条直线上，过点G作GK∥AB ，已知∠GEF=60°， ∠MNP=45°，点G、P分别是三角板的直角顶点.下列结论： ①GE∥MP；②∠EFN=150°； ③∠BEF=65°； ④∠AEG+∠PMN=∠GPM.其中所有正确结论的序号为　 　.
【答案】①②④
【知识点】角的运算；平行线的性质；邻补角；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，即，
(同旁内角互补，两直线平行)，① 正确；
在中，，
∴GFE=，
∴，②正确；
GK∥AB ， AB∥CD，
GKCDAB，
(两直线平行，内错角相等)，
(两直线平行，内错角相等)，
∠BEF=③错误 ；
∠AEG+∠PMN=
∠GPM =
∠AEG+∠PMN=∠GPM ，④正确；
故①②④正确
故答案为：①②④；
【分析】由同旁内角互补，两直线平行， 判断① ；由角的和差计算，判断②；根据平性定理的推论，知GKCDAB，再根据两直线平行，内错角相等和角的和差得，∠BEF=，判断③ ；由角的和差计算 AEG+∠PMN及∠GPM的角度，判断④.
14．求=　 　
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先给原式乘以(2-1)（即1，不改变原式的值），构造平方差公式的形式(a-b)(a+b)=a2-b2；然后连续应用平方差公式，逐步消去中间项，依次得到22-1，24-1，28-1……直到最后得到264-1；最后加上原式末尾的+1，抵消-1，得到最终结果264．
15．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示(单位： cm)，则桌子的高度h=　 　cm.
【答案】105
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设长方体木块的长为xcm，宽为ycm，
根据题意可列得：
①+②得，210=2h，
∴h=105，
故答案为：105.
【分析】 设长方体木块的长为x cm，高为y cm，而桌子的高度为h cm，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可.
16． 自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为　 　；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为　 　．
【答案】29；28
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：设m的十位数字为a，个位数字为b，则
m=10a+b，n=10a+9-b，
∴mn=100a2+90a+20ab+9b-b2
∵m与n的乘积为三位数，
∴100≤100a2+90a+20ab+9b-b2＜1000.
当a=1时，有100≤190+29b-b2＜1000，
解不等式100≤190+29b-b2，由于b是个位数，故可得0≤b≤9，
解不等式190+29b-b2＜1000，根据判别式可知，该不等式恒成立.
当a=2时，有100≤580+49b-b2＜1000，
解得0≤b≤9；
当a=3时，有100≤1170+69b-b2＜1000，
此时，该不等式无解，
所以a的最大值为2.
所以m+n=10a+b+10a+9-b=20a+9，当a=1，b=0时，m+n的值最小，最小值为20×1+9=29；
k2=m2-n2=（m+n）（m-n）=（20a+9）（2b-9）
因为m＞n，b为个位数，所以b的值可能为5，6，7，8，9.
逐一验证，可得满足条件的k 的值为7和21 ，所以它们的和为28.
故填：29；28.
【分析】第（1）空：设m的十位数字为a，个位数字为b，可利用代数式的表示方法表示出m和n，再根据m与n的乘积为三位数列出不等式，求出a的取值范围，进而求出m +n的最小值；
第（2）空：先根据平方差公式将k2 = m2 - n2进行变形，再结合m与n的关系求出k的表达式，最后根据m与n的取值范围求出满足条件的k的值，进而求出所有k的值之和.
三、解答题（共9题，共72分）
17． 先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式=(x-y)2-(x3y2÷xy2+xy4÷xy2)
=x2-2xy+y2-(x2+y2)
=x2-2xy+y2-x2-y2
=-2xy.
当x=3，时，
原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】运用完全平方公式和整式除法的运算法则，先将原式化简，再代入x、y的值计算即可得到结果.
18．已知关于x，y的方程组
（1）用含a的式子表示方程的解；
（2） 若x>y， 且2x+y<0， 求a的取值范围.
【答案】（1）解：(1)
①+②，得3x=6a+3，
系数化为1，得x=2a+1，
把x=2a+1代入①，得2a+1-y=a+3，
移项，合并同类项，得y=a-2，
∴方程组的解为
（2）解：∵x>y，
∴2a+1>a-2，
移项，合并同类项，得a>-3，
∵2x+y=5a，且2x+y<0，
∴5a<0，
系数化为1，得a<0，
联立两个不等式的解集，得-3【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】(1)先根据加减消元法，将方程组两个方程相加消去y，求出用含a表示的x，再把x=2a+1代入方程①，求出用含a表示的y，最终得到方程组的解；
(2)先根据条件x>y，将x，y的代数式代入列出一元一次不等式2a+1>a-2，解出a的取值下限a>-3，再结合原方程2x+y=5a，把2x+y<0转化为关于a的不等式，解出a的取值上限a<0，最后取两个解集的公共部分，得到-319．在下面括号内，填上推理的依据.
如图， 已知DE⊥BC于点E， ∠BGF=∠BAC， ∠1+∠2=180°.
求证AF⊥BC.
证明： ∵∠BGF=∠BAC，
∴AC∥GF　 　.
∴∠1=∠3　 　.
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°　 　.
∴ AF∥DE　 　.
∴∠AFC=∠DEC.
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°.
∴∠AFC=90°.
∴AF⊥BC　 　.
【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；垂直的定义
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵∠BGF=∠BAC，
∴AC∥GF同位角相等，两直线平行.
∴∠1=∠3两直线平行，内错角相等.
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°等量代换.
∴ AF∥DE同旁内角互补，两直线平行.
∴∠AFC=∠DEC.
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°.
∴∠AFC=90°.
∴AF⊥BC垂直的定义
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；垂直的定义.
【分析】证明AC//GF，由平行线的性质得出∠1=∠3，证出∠2+∠3=180°，得出AF//DE，由平行线的性质进而即可得出结论.
20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形ABCD的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，点E是格点，在线段BC上作点F，连接EF，使EF∥AB；
（2）图②中，点F是非格点，在线段BC上作点G，使CG=AF；
（3）图③中，点E是格点，连接BD，在线段AB上作点H，连接EH，使EH∥BD．
【答案】（1）解：如图，EF即为所求；
（2）解：如图，点G即为所求；
（3）解：如图，EH即为所求；

【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)图①中，取格点F，使AE∥BF且AE=BF，连接EF，
∵AE∥BF，AE=BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴EF∥AB，EF即为所求．
(2)图②中，连接AC，BD交于点O，连接FO并延长交BC于点G，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFO=∠CGO，∠FAO=∠GCO，
∴△AOF≌△COG（AAS），
∴CG=AF，点G即为所求．
(3)图③中，取格点M，使BM∥ED且BM=ED，连接EM交BC于点H，
∵BM=ED=1，BM∥ED，
∴四边形DEMB为平行四边形，
∴EH∥BD，EH即为所求．
【分析】(1)先根据平行四边形的判定定理，在BC上取格点F，使AE与BF平行且相等；再由平行四边形的性质，得到EF∥AB，完成作图；
(2)先连接平行四边形ABCD的对角线AC，BD，得到交点O（平行四边形对角线互相平分）；再利用平行线的性质和AAS证明△AOF≌△COG，得到CG=AF，从而确定点G的位置；
(3)先在网格中构造平行四边形DEMB，使BM与ED平行且相等；再根据平行四边形的对边平行，得到EH∥BD，完成作图．
21．某景区计划改造一块边长为(3x+9y)米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为(3x+4y)米，宽为(3x-4y)米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为2y米的装饰区域，其余区域铺设为走道.
（1）分别计算花坛和装饰区域的面积；
（2）若x=4，y=1，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用.
【答案】（1）解：花坛的面积： 平方米，
装饰区域和花坛的面积：
(3x-4y+2y+2y)(3x+4y+2y+2y)=3x(3x+8y)=(9x2+24xy)平方米，
装饰区域的面积：
平方米.
答：花坛的面积为 平方米，装饰区域的面积为 平方米
（2）解：走道的面积：
(平方米)，当x=4， y=1时， (平方米)，201×30=6030 (元) ，
答：铺设走道的总费用为6030元
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用长方形面积公式计算花坛面积，再通过确定包含花坛和装饰区域的大长方形尺寸，计算其面积后减去花坛面积得到装饰区域面积；
(2)先求出正方形空地面积，再减去花坛与装饰区域的总面积得到走道面积，代入x，y值计算走道面积，最后结合每平方米费用求出总费用。
22．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元．
（1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
【答案】（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元．
根据题意，得
解得
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．
根据题意，得，
．
由题意得m，n均为正整数，
或或．
学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；
方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；
方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元．利用“ 已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．利用“ 该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球 ”列出方程求解即可.
（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元．
根据题意，得
解得
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．
根据题意，得，
．
由题意得m，n均为正整数，
或或．
学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；
方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；
方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个．
23．综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有n条直线两两相交，设它们最多有m个交点，相交所成的最小角为α.某数学学习小组提出了下列探究问题.
问题一：m与n的关系；
问题二：α的最大值与n的关系.
【特例感知】
如题图1，当n＝2时，学习小组发现m＝1，α的最大值为90°.
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当n＝3时的两种情况，如题图2，题图3.
步骤二：观察分析
（一）由题图1，题图3得m＝3；
（二）在题图2中，α的最大值为60°；
（三）在题图3中，α的最大值为360°+6＝60°.
（1）【规律探索】
完成下表：
n 2 3 4 5
m 1 3 　 　
α的最大值 90° 60° 　 　
（2）【解决问题】
①用关于n的代数式表示m，直接写出即可；
②α的最大值与n的关系是什么 写出并说明理由.
【答案】（1）6；10；45°；36°
（2）解：①
②α 的最大值为，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，
设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n
则∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°，
∵最小角为α，
∴∠A1≥， ∠A2≥， ∠A3≥， ...，∠An≥
∴∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°≥
解得：
【知识点】直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：（1）（1）2条直线相交，最多有1个交点，a的最大值为360°÷(2×2)=90°
3条直线相交，最多有1+2=3个交点，a的最大值为360°÷(3×2)=60°
4条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，Q的最大值为360°÷(4×2)=45°
5条直线相交，最多有1+2+3+4＝10个交点，a的最大值为360°÷(5×2)=36°
填表如下：
n 2 3 4 5
m 1 3 6 10
α的最大值 90° 60° 45° 36°
故答案为：6；10；45°；36°
(2)①由（1）规律可得，m=1+2+3+……+(n-1)=
【分析】（1）根据前三条直线的交点，总结规律即可求出答案.
（2）①根据①中规律计算即可求出答案.
②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n，结合角之间的关系即可求出答案.
24．综合与实践：
在《设计自己的运算程序中》，小明发现：对一个多位数按特定规则反复运算，最终会得到一个固定的数或进入循环．请阅读材料，继续探索运算程序中的奥秘．
材料一：数字的“位值记法”．我们习惯把一个两位数记为 ，它表示的是：十位数字m乘以10，加上个位数字n，易知 同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如
材料二：任取一个两位数，例如45，将它重复，可得到四位数4545，该四位数还可表示为45×100+45．
（1）【基础感知】
若 则x=　 　；
（2）【规律探究】
小明在运算过程中发现：一个两位数 交换十位与个位得新的两位数 已知 且a>b，求这个两位数．
（3）【创新设计】
有这样一个运算程序：输入任意一个三位数，如325，重复该数，得到325325，将该数除以 1001，结果又回到原来输入的数．
请你仿照以上程序，设计一个“数字魔术”程序，要求：
以五位数为起始数；
重复该数得到一个新数；
再通过除以一个数，最终回到原数．
①用一个具体的五位数演示你的程序．
输入数字(五位数)： ▲
第一步： ▲
第二步： ▲
②小明猜想：输入任意一个k位数，重复该数，再除以一个除数，就一定能回到原数．请写出这个除数 ▲ (用含k的式子表示)，并证明你的猜想．
【答案】（1）3
（2）解：
∴10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)=72
∴a-b=8且a>b， a，b都是正整数，
∴这样的两位数是91．
（3）① 举出具体例子即可．
输入数字(五位数)： 12345
第一步：重复该数，得到1234512345
第二步：该数除以 100001，回到原来五位数12345
② 写出除数：
证明：设k位数为n，重复后的2k位数为
故结果回到原数．
【知识点】整式的加减运算；解二元一次方程；二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）
所以30+x+10x+4=67，
解得：x=3
故答案为：3；
【分析】 （1）把转化成30+x+10x+4=67，解方程即可；
（2）根据 可得出10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)=72，整理得：a-b=8且a>b，进而根据 a，b都是正整数，即可求解；
（3）列举出一个符合题意的数进行验证即可；设k位数为n，重复后的2k位数为 故结果回到原数．
25．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1、图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1：　 　；图2：　 　．
（2）【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是　 　．
（3）【解决问题】如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG．已知AB＝8，两正方形的面积和为34，求△AFC的面积．
（4）【知识迁移】已知 ，求 的值是多少？写出计算过程。
【答案】（1）a2+b2+2ab=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
（2）(a b)2=(a+b)2 4ab
（3）解：设 AC=a，BC=b，则a+b=8，a2+b2=34，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab=64
∴ab=[(a+b)2 (a2+b2)]÷2=(64 34)÷2=15，
∴S△AFC=ab=7.5
（4）解：设u=2026 x，v=x 2029，u+v= 3，uv= 6，(2x 4055)2=(v u)2=(u+v)2 4uv=9+24=49
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)图1阴影部分面积可以看成由一个边长为a的正方形的面积和一个边长为b的正方形的面积以及两个长和宽分别为a，b的长方形的面积的和，也能看成一个边长为a+b的正方形的面积，故可以表示为a2+b2+2ab=(a+b)2；
图2阴影部分面积可以看成由一个边长为a的正方形的面积减去两个长和宽分别为a，b的长方形的面积再加上一个边长为b的正方形面积，也能看成一个边长为a-b的正方形的面积，故可以表示为a2-2ab+b2=(a-b)2；
(2)图3阴影部分面积可以看成边长为a+b的正方形的面积减去4个长和宽分别为a.b的长方形面积，也可以看成边长为a-b的正方形面积，故可以表示为(a+b)2-4ab=(a-b)2；
(3)设 AC=a，BC=b，则S△AFC=ab，根据a+b=8，a2+b2=34，得到ab=[(a+b)2 (a2+b2)]÷2即可求出△AFC的面积；
(4)观察发现2x-4055=x-2029-2026+x，所以设u=2026 x，v=x 2029
则u+v= 3，uv= 6，
所以(2x 4055)2=(v u)2=(u+v)2 4uv=9+24=49。
1 / 1冀教版数学七年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-3章）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列计算结果正确的是(　　)
A． B． C． D．
2．甲型H1N1流感病毒的直径约为0.000000081米，该直径用科学记数法表示为(　　)米.
A． B． C． D．
3．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺.问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺.问绳长、井深各是多少尺？设绳长x尺，井深y尺，则以下列出的方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠4
C．∠2=∠4 D．∠1+∠3=180°
6．如图 1，已知 AB 是一块平面镜，光线 PO在平面镜 AB上经点 O反射后，形成反射光线 OQ，我们称 PO为入射光线，OQ为反射光线.镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠1=∠2.如图 2，OM和 ON是两块平面镜，入射光线 AB经过两次反射后，得到反射光线 CD.则下列判断错误的是(　　)
A．若α=45°，则AB⊥BC B．若BC⊥CD，则β=45°
C．若α=β，则AB∥CD D．若AB∥CD，则α+β=90°
7．若的乘积中不含x2项，则常数a的值为（　　）
A．5 B． C． D．-5
8．若方程组的解为则方程组的解为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD 中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为S1和S2.若知道下列条件，不能求出 值的是 （　　)
A．长方形纸片的周长和面积 B．②的长与宽之差
C．图1与图2 阴影部分的面积差 D．长方形纸片和②的面积差
10．将一副三角尺按如图所示放置，其中∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°，有下列结论：①若∠2=30°，则 AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③若BC∥AD，则∠2=30°；④若∠CAD=150°，则∠4=∠C.其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共18分
11． 若m＝3-n， 则代数式 的值为　 　.
12．某班准备去采购面包和奶茶若干.现有两种不同的购买方案，如下表.采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表格中的数据，污渍盖住的地方对应的金额是　 　元
面包（个） 奶茶（杯） 金额（元）
方案一 20 10 110
方案二 50 25
13．如图，直线AB∥CD，将一副直角三角板作如图摆放，点G、P、F、N在一条直线上，过点G作GK∥AB ，已知∠GEF=60°， ∠MNP=45°，点G、P分别是三角板的直角顶点.下列结论： ①GE∥MP；②∠EFN=150°； ③∠BEF=65°； ④∠AEG+∠PMN=∠GPM.其中所有正确结论的序号为　 　.
14．求=　 　
15．将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示(单位： cm)，则桌子的高度h=　 　cm.
16． 自然数与均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且与的乘积为三位数．的最小值为　 　；当时，存在正整数，使得，则满足条件的所有的值之和为　 　．
三、解答题（共9题，共72分）
17． 先化简，再求值：，其中，．
18．已知关于x，y的方程组
（1）用含a的式子表示方程的解；
（2） 若x>y， 且2x+y<0， 求a的取值范围.
19．在下面括号内，填上推理的依据.
如图， 已知DE⊥BC于点E， ∠BGF=∠BAC， ∠1+∠2=180°.
求证AF⊥BC.
证明： ∵∠BGF=∠BAC，
∴AC∥GF　 　.
∴∠1=∠3　 　.
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°　 　.
∴ AF∥DE　 　.
∴∠AFC=∠DEC.
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°.
∴∠AFC=90°.
∴AF⊥BC　 　.
20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形ABCD的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，点E是格点，在线段BC上作点F，连接EF，使EF∥AB；
（2）图②中，点F是非格点，在线段BC上作点G，使CG=AF；
（3）图③中，点E是格点，连接BD，在线段AB上作点H，连接EH，使EH∥BD．
21．某景区计划改造一块边长为(3x+9y)米的正方形空地，如图，在空地中间修建一个长为(3x+4y)米，宽为(3x-4y)米的长方形花坛，在花坛的四周留出一条宽度为2y米的装饰区域，其余区域铺设为走道.
（1）分别计算花坛和装饰区域的面积；
（2）若x=4，y=1，每平方米的走道铺设费用为30元，计算铺设走道的总费用.
22．为积极响应国家关于加强青少年体质健康的号召，某中学准备购进A，B两种品牌的排球．已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元．
（1）求A，B两种品牌的排球的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购进一批排球，正好赶上商场对排球的价格进行调整，每个A品牌排球的售价比第一次购买时提高了10元，每个B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售．如果该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球（两种排球均购买），则学校共有几种购进方案？并列出所有可行的方案．
23．综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有n条直线两两相交，设它们最多有m个交点，相交所成的最小角为α.某数学学习小组提出了下列探究问题.
问题一：m与n的关系；
问题二：α的最大值与n的关系.
【特例感知】
如题图1，当n＝2时，学习小组发现m＝1，α的最大值为90°.
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当n＝3时的两种情况，如题图2，题图3.
步骤二：观察分析
（一）由题图1，题图3得m＝3；
（二）在题图2中，α的最大值为60°；
（三）在题图3中，α的最大值为360°+6＝60°.
（1）【规律探索】
完成下表：
n 2 3 4 5
m 1 3 　 　
α的最大值 90° 60° 　 　
（2）【解决问题】
①用关于n的代数式表示m，直接写出即可；
②α的最大值与n的关系是什么 写出并说明理由.
24．综合与实践：
在《设计自己的运算程序中》，小明发现：对一个多位数按特定规则反复运算，最终会得到一个固定的数或进入循环．请阅读材料，继续探索运算程序中的奥秘．
材料一：数字的“位值记法”．我们习惯把一个两位数记为 ，它表示的是：十位数字m乘以10，加上个位数字n，易知 同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如
材料二：任取一个两位数，例如45，将它重复，可得到四位数4545，该四位数还可表示为45×100+45．
（1）【基础感知】
若 则x=　 　；
（2）【规律探究】
小明在运算过程中发现：一个两位数 交换十位与个位得新的两位数 已知 且a>b，求这个两位数．
（3）【创新设计】
有这样一个运算程序：输入任意一个三位数，如325，重复该数，得到325325，将该数除以 1001，结果又回到原来输入的数．
请你仿照以上程序，设计一个“数字魔术”程序，要求：
以五位数为起始数；
重复该数得到一个新数；
再通过除以一个数，最终回到原数．
①用一个具体的五位数演示你的程序．
输入数字(五位数)： ▲
第一步： ▲
第二步： ▲
②小明猜想：输入任意一个k位数，重复该数，再除以一个除数，就一定能回到原数．请写出这个除数 ▲ (用含k的式子表示)，并证明你的猜想．
25．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1、图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1：　 　；图2：　 　．
（2）【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是　 　．
（3）【解决问题】如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG．已知AB＝8，两正方形的面积和为34，求△AFC的面积．
（4）【知识迁移】已知 ，求 的值是多少？写出计算过程。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(-a)6÷(-a)2=(-a)6-2=(-a)4=a4，此选项符合题意；
B、a9÷a3=a9-3=a6≠a，此选项不符合题意；
C、(a2b)2=(a2)2·b2=a4b2≠a2b2，此选项不符合题意；
D、(3ab2)2=32·a2·(b2)2=9a2b4≠6a2b4， 此选项不符合题意；
故选：A.
【分析】根据同底数幂除法法则，积的乘方、幂的乘方法则即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000000081=8.1×10-8．
故答案为：B .
【分析】先根据小于1的小数的科学记数法规则，确定形式为a×10-n，其中1≤a<10；再将原小数0.000000081的小数点向右移动8位得到a=8.1，移动位数8对应指数n=8，写出标准形式8.1×10-8．
3．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组；有理数的乘方法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵|2x-y-5|+|x+y-1|=0，
又|2x-y-5|≥0，|x+y-1|≥0，
∴，解得．
∴．
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值的非负性，得到二元一次方程组，并解得，再代入，根据有理数的乘方法则，计算得到值为1．
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：将绳子折成三等份时，每份绳长为尺，此时比井深多4尺，可得方程；
将绳子折成四等份时，每份绳长为尺，此时比井深多1尺，可得方程．
因此， 列出的方程组为 ．
故答案为：A．
【分析】先根据题意分析“折成三等份”的情况，找出等量关系，分别列出方程和即可．
5．【答案】C
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，A错误；
B、∵∠1=∠4，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，B错误；
C、∵∠2=∠4，∴AB∥CD，可以判定AB∥CD，C正确；
D、∵∠1+∠3=180°，无法判定任何两条直线平行，D错误．
故答案为：C .
【分析】根据平行线的判定定理，明确“内错角相等，同位角相等，同旁内角互补”可判定两直线平行；再依次分析每个选项即可．
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，
∴，
∵，， ，
∴，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】结合反射的性质，以及平行线的判定与性质，对每个选项逐一分析判断.
7．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C
【分析】先把a当作常数，再进行多项式对多项式的乘法，再合并同类项，最后再根据题意展开式中不含二次项可知二次项系数为0，即可得关于a的一元一次方程并求解即可.
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】已知方程组的解为，
∴，.
对于方程组，
将第一个方程两边同时除以5，得：，
即.
同理，第二个方程变形为：.
∴，
解得：.
故答案为：C.
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题.解题关键是观察两个方程组之间的关系，通过变形将第二个方程组转化为与第一个方程组相同的形式，然后利用已知解建立方程求解.这体现了整体思想和转化的数学思想方法.
9．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：如图，设矩形的两边长分别是a、b；阴影部分的长分别为x、y，
则 a＋x＝b＋y，
即：a b＝y x，
∴S1＝x2＋y2，S2＝2xy，
∴S1 S2＝x2＋y2 2xy＝（x y）2＝（a b）2＝（a＋b）2 4ab，
∵矩形的面积是ab，矩形的周长是 2（a＋b）；
故选项A、B是正确的；
∵①的面积是 （b x）（a y），
②的面积是 （a x）（b y），
∴①和②的面积差为（b x）（a y） （a x）（b y）＝（a b）（y x）＝（a b）2，
故选项C正确，
故答案为：D．
【分析】根据题意，结合图形，得到a b＝y x，结合各选项，分别表示出S1，S2，以及它们的差，即可判断各选项．
10．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：，
，
，故①正确，符合题意；
如图，延长DA至M．
，
，
又，
，
又，
，
即，故②正确，符合题意；
，，
．
，
，故③错误，不符合题意；
，，
．
，
，
．
，
．
，
，故④正确，符合题意，
综上正确的有①②④.
故答案为：A．
【分析】本题考查平行线的判定与性质．对于①，根据“内错角相等，两直线平行”可推出AC∥DE，进而判断①；对于②，标注图形，先利用角的运算推出，再根据角之间的关系可推出结论；对于③，根据“两直线平行，内错角相等”先求出，再根据角的运算可求出答案；对于④，先利用角的运算求出的度数，进而可说明两个角的关系．
11．【答案】9
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：若，则，
那么，
故答案为：9.
【分析】由已知条件得，将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可.
12．【答案】275
【知识点】二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：设面包的单价为x元，奶茶的单价为y元，
由题意得，，
∴，
∴，
∴污渍盖住的地方对应的金额是275元．
故答案为：275.
【分析】设面包的单价为x元，奶茶的单价为y元，根据方案一得到，然后根据方案二得到，再整体代入解答即可．
13．【答案】①②④
【知识点】角的运算；平行线的性质；邻补角；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，即，
(同旁内角互补，两直线平行)，① 正确；
在中，，
∴GFE=，
∴，②正确；
GK∥AB ， AB∥CD，
GKCDAB，
(两直线平行，内错角相等)，
(两直线平行，内错角相等)，
∠BEF=③错误 ；
∠AEG+∠PMN=
∠GPM =
∠AEG+∠PMN=∠GPM ，④正确；
故①②④正确
故答案为：①②④；
【分析】由同旁内角互补，两直线平行， 判断① ；由角的和差计算，判断②；根据平性定理的推论，知GKCDAB，再根据两直线平行，内错角相等和角的和差得，∠BEF=，判断③ ；由角的和差计算 AEG+∠PMN及∠GPM的角度，判断④.
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】先给原式乘以(2-1)（即1，不改变原式的值），构造平方差公式的形式(a-b)(a+b)=a2-b2；然后连续应用平方差公式，逐步消去中间项，依次得到22-1，24-1，28-1……直到最后得到264-1；最后加上原式末尾的+1，抵消-1，得到最终结果264．
15．【答案】105
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设长方体木块的长为xcm，宽为ycm，
根据题意可列得：
①+②得，210=2h，
∴h=105，
故答案为：105.
【分析】 设长方体木块的长为x cm，高为y cm，而桌子的高度为h cm，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可.
16．【答案】29；28
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：设m的十位数字为a，个位数字为b，则
m=10a+b，n=10a+9-b，
∴mn=100a2+90a+20ab+9b-b2
∵m与n的乘积为三位数，
∴100≤100a2+90a+20ab+9b-b2＜1000.
当a=1时，有100≤190+29b-b2＜1000，
解不等式100≤190+29b-b2，由于b是个位数，故可得0≤b≤9，
解不等式190+29b-b2＜1000，根据判别式可知，该不等式恒成立.
当a=2时，有100≤580+49b-b2＜1000，
解得0≤b≤9；
当a=3时，有100≤1170+69b-b2＜1000，
此时，该不等式无解，
所以a的最大值为2.
所以m+n=10a+b+10a+9-b=20a+9，当a=1，b=0时，m+n的值最小，最小值为20×1+9=29；
k2=m2-n2=（m+n）（m-n）=（20a+9）（2b-9）
因为m＞n，b为个位数，所以b的值可能为5，6，7，8，9.
逐一验证，可得满足条件的k 的值为7和21 ，所以它们的和为28.
故填：29；28.
【分析】第（1）空：设m的十位数字为a，个位数字为b，可利用代数式的表示方法表示出m和n，再根据m与n的乘积为三位数列出不等式，求出a的取值范围，进而求出m +n的最小值；
第（2）空：先根据平方差公式将k2 = m2 - n2进行变形，再结合m与n的关系求出k的表达式，最后根据m与n的取值范围求出满足条件的k的值，进而求出所有k的值之和.
17．【答案】解：原式=(x-y)2-(x3y2÷xy2+xy4÷xy2)
=x2-2xy+y2-(x2+y2)
=x2-2xy+y2-x2-y2
=-2xy.
当x=3，时，
原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】运用完全平方公式和整式除法的运算法则，先将原式化简，再代入x、y的值计算即可得到结果.
18．【答案】（1）解：(1)
①+②，得3x=6a+3，
系数化为1，得x=2a+1，
把x=2a+1代入①，得2a+1-y=a+3，
移项，合并同类项，得y=a-2，
∴方程组的解为
（2）解：∵x>y，
∴2a+1>a-2，
移项，合并同类项，得a>-3，
∵2x+y=5a，且2x+y<0，
∴5a<0，
系数化为1，得a<0，
联立两个不等式的解集，得-3【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【分析】(1)先根据加减消元法，将方程组两个方程相加消去y，求出用含a表示的x，再把x=2a+1代入方程①，求出用含a表示的y，最终得到方程组的解；
(2)先根据条件x>y，将x，y的代数式代入列出一元一次不等式2a+1>a-2，解出a的取值下限a>-3，再结合原方程2x+y=5a，把2x+y<0转化为关于a的不等式，解出a的取值上限a<0，最后取两个解集的公共部分，得到-319．【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；垂直的定义
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵∠BGF=∠BAC，
∴AC∥GF同位角相等，两直线平行.
∴∠1=∠3两直线平行，内错角相等.
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠3=180°等量代换.
∴ AF∥DE同旁内角互补，两直线平行.
∴∠AFC=∠DEC.
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°.
∴∠AFC=90°.
∴AF⊥BC垂直的定义
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；垂直的定义.
【分析】证明AC//GF，由平行线的性质得出∠1=∠3，证出∠2+∠3=180°，得出AF//DE，由平行线的性质进而即可得出结论.
20．【答案】（1）解：如图，EF即为所求；
（2）解：如图，点G即为所求；
（3）解：如图，EH即为所求；

【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：(1)图①中，取格点F，使AE∥BF且AE=BF，连接EF，
∵AE∥BF，AE=BF，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴EF∥AB，EF即为所求．
(2)图②中，连接AC，BD交于点O，连接FO并延长交BC于点G，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFO=∠CGO，∠FAO=∠GCO，
∴△AOF≌△COG（AAS），
∴CG=AF，点G即为所求．
(3)图③中，取格点M，使BM∥ED且BM=ED，连接EM交BC于点H，
∵BM=ED=1，BM∥ED，
∴四边形DEMB为平行四边形，
∴EH∥BD，EH即为所求．
【分析】(1)先根据平行四边形的判定定理，在BC上取格点F，使AE与BF平行且相等；再由平行四边形的性质，得到EF∥AB，完成作图；
(2)先连接平行四边形ABCD的对角线AC，BD，得到交点O（平行四边形对角线互相平分）；再利用平行线的性质和AAS证明△AOF≌△COG，得到CG=AF，从而确定点G的位置；
(3)先在网格中构造平行四边形DEMB，使BM与ED平行且相等；再根据平行四边形的对边平行，得到EH∥BD，完成作图．
21．【答案】（1）解：花坛的面积： 平方米，
装饰区域和花坛的面积：
(3x-4y+2y+2y)(3x+4y+2y+2y)=3x(3x+8y)=(9x2+24xy)平方米，
装饰区域的面积：
平方米.
答：花坛的面积为 平方米，装饰区域的面积为 平方米
（2）解：走道的面积：
(平方米)，当x=4， y=1时， (平方米)，201×30=6030 (元) ，
答：铺设走道的总费用为6030元
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】(1)利用长方形面积公式计算花坛面积，再通过确定包含花坛和装饰区域的大长方形尺寸，计算其面积后减去花坛面积得到装饰区域面积；
(2)先求出正方形空地面积，再减去花坛与装饰区域的总面积得到走道面积，代入x，y值计算走道面积，最后结合每平方米费用求出总费用。
22．【答案】（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元．
根据题意，得
解得
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．
根据题意，得，
．
由题意得m，n均为正整数，
或或．
学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；
方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；
方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元．利用“ 已知购进60个A品牌排球和20个B品牌排球，一共花费4600元；购进50个A品牌排球和30个B品牌排球，一共花费4900元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．利用“ 该校计划出资1200元全部用于购进A，B两种品牌的排球 ”列出方程求解即可.
（1）解：设A品牌排球的单价是x元，B品牌排球的单价是y元．
根据题意，得
解得
答：A品牌排球的单价是50元，B品牌排球的单价是80元．
（2）解：设购进A品牌排球m个，B品牌排球n个．
根据题意，得，
．
由题意得m，n均为正整数，
或或．
学校共有三种购进方案：
方案一：购进A品牌排球14个，B品牌排球5个；
方案二：购进A品牌排球8个，B品牌排球10个；
方案三：购进A品牌排球2个，B品牌排球15个．
23．【答案】（1）6；10；45°；36°
（2）解：①
②α 的最大值为，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，
设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n
则∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°，
∵最小角为α，
∴∠A1≥， ∠A2≥， ∠A3≥， ...，∠An≥
∴∠A1+∠A2+∠A3+….+∠A2n=360°≥
解得：
【知识点】直线相交的交点个数问题
【解析】【解答】解：（1）（1）2条直线相交，最多有1个交点，a的最大值为360°÷(2×2)=90°
3条直线相交，最多有1+2=3个交点，a的最大值为360°÷(3×2)=60°
4条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，Q的最大值为360°÷(4×2)=45°
5条直线相交，最多有1+2+3+4＝10个交点，a的最大值为360°÷(5×2)=36°
填表如下：
n 2 3 4 5
m 1 3 6 10
α的最大值 90° 60° 45° 36°
故答案为：6；10；45°；36°
(2)①由（1）规律可得，m=1+2+3+……+(n-1)=
【分析】（1）根据前三条直线的交点，总结规律即可求出答案.
（2）①根据①中规律计算即可求出答案.
②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n条直线将周角360°分割为2n个相邻的角（对顶角两两相等)，设为∠A1，∠A2，∠A3，......，∠A2n，结合角之间的关系即可求出答案.
24．【答案】（1）3
（2）解：
∴10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)=72
∴a-b=8且a>b， a，b都是正整数，
∴这样的两位数是91．
（3）① 举出具体例子即可．
输入数字(五位数)： 12345
第一步：重复该数，得到1234512345
第二步：该数除以 100001，回到原来五位数12345
② 写出除数：
证明：设k位数为n，重复后的2k位数为
故结果回到原数．
【知识点】整式的加减运算；解二元一次方程；二元一次方程的应用；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）
所以30+x+10x+4=67，
解得：x=3
故答案为：3；
【分析】 （1）把转化成30+x+10x+4=67，解方程即可；
（2）根据 可得出10a+b-(10b+a)=9a-9b=9(a-b)=72，整理得：a-b=8且a>b，进而根据 a，b都是正整数，即可求解；
（3）列举出一个符合题意的数进行验证即可；设k位数为n，重复后的2k位数为 故结果回到原数．
25．【答案】（1）a2+b2+2ab=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2
（2）(a b)2=(a+b)2 4ab
（3）解：设 AC=a，BC=b，则a+b=8，a2+b2=34，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab=64
∴ab=[(a+b)2 (a2+b2)]÷2=(64 34)÷2=15，
∴S△AFC=ab=7.5
（4）解：设u=2026 x，v=x 2029，u+v= 3，uv= 6，(2x 4055)2=(v u)2=(u+v)2 4uv=9+24=49
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】(1)图1阴影部分面积可以看成由一个边长为a的正方形的面积和一个边长为b的正方形的面积以及两个长和宽分别为a，b的长方形的面积的和，也能看成一个边长为a+b的正方形的面积，故可以表示为a2+b2+2ab=(a+b)2；
图2阴影部分面积可以看成由一个边长为a的正方形的面积减去两个长和宽分别为a，b的长方形的面积再加上一个边长为b的正方形面积，也能看成一个边长为a-b的正方形的面积，故可以表示为a2-2ab+b2=(a-b)2；
(2)图3阴影部分面积可以看成边长为a+b的正方形的面积减去4个长和宽分别为a.b的长方形面积，也可以看成边长为a-b的正方形面积，故可以表示为(a+b)2-4ab=(a-b)2；
(3)设 AC=a，BC=b，则S△AFC=ab，根据a+b=8，a2+b2=34，得到ab=[(a+b)2 (a2+b2)]÷2即可求出△AFC的面积；
(4)观察发现2x-4055=x-2029-2026+x，所以设u=2026 x，v=x 2029
则u+v= 3，uv= 6，
所以(2x 4055)2=(v u)2=(u+v)2 4uv=9+24=49。
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